专题三角函数的图像与性质(教学案)

1、学习好资料欢迎下载专題06三角函数的图像与性质(教学案)1三角函数 y= Asin (3x+$)(A0 ,30)的图象变换，周期及单调性是高考热点.2备考时应掌握 y= sin x, y= cos x, y=tan x 的图象与性质，并熟练掌握函数y= Asin (wx+妨(A0,w0)的值域、单调性、周期性等.1.任意角和弧度制(1)终边相同的角：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合 S= f3|3= a+ k360 k Z.把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角.弧长公式：I = | a|r,1 1o扇形的面积公式：S= lr = 2| a|r .2任意角的三角函

2、数(1)设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x, y)，那么 sina=y, cosa=x, tana=y沖).各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦.3诱导公式公式一sin(2kn+a)=sina,cos(2kn+ a)=cosa,tan( 2kn+a)=tana公式二sin(n+ a) = sina,cos(n+ a)=cosa,tan(n+ a) =tana公式三sin( a) = sina,cos(a =cosa ,tan( a = tana公式四sin(n a) =sina,cos(n a) = cosa ,tan(n a)= tana公式五n isin

3、辽a j=cosa,COS 辽a丿=Sina公式八sin + a尸 cosa,COS Q+ a尸Sina口诀奇变偶不变，符号看象限学习好资料欢迎下载4.同角三角函数基本关系式22sinasina+cosa=1,tana=cosacosa5 正弦、余弦、正切函数的性质函数y= sinxy= cosxy= tanx定义域RRx|x 亏+kn,kZ值域1,11,1R奇偶性奇函数偶函数奇函数最小正周期2n2nn在一n+2knn+2 2在一n +2kn ,2kn(k Z)上递2kn(k Z)上递增.在(亍+ k儿1n,2+单调性/ 、n f3 n在；7 +2kn ,牙+增.在 2kn n+2kn(k Z

4、)上递kn（k Z）上递增2 22kn（k Z）上递减减rn当 x= - +2knkZ当 x=2kn,kZ时，y 取得最大值时，y 取得最大值 1.1.最值rn当 x= ；+2kn,无最值2 ，当 x= n+2kn,k Z 时，y 取得最小k Z 时，y 取得值1最小值1对称中心：（kn,对称中心：（n+对称性0)(k Z).kn0)(kZ).对称中心：/ kn对称轴：x=n+对称轴：x =0)(k Z)knkZ)knkZ)6.函数 y = Asinx+ $)的图象（1）五点法”作图设 z=3X+札令 z= 0、n n、2n,求出 x 的值与相应的 y 的值，描点连线可得.学习好资料欢迎下载C

5、.y=2sinx+ fD.y=2sinx+【答案】：A所以 A = 2,且 2+ 0=2kn+ n（k Z），故0=2kn$【变式探究】(1)函数 f(x) = C0S(3x+0)的部分图象如图所示，贝Uf(x)的单调递减区间为()（2）图象变换小 . 向左 3）或向右（*0）、- sim.人少.hj- sin （x+ 0,o 0).横坐标不变横坐标变为原来的丄倍(1)-小丄一一-穿 =sintor纵坐标不变7向左30)或向右( (爭爭 纵坐标变为原来的A倍0).横坐标不变高频考点突破考点一三角函数图象及其变换例 1、(2016 高考全国甲卷)函数 y= Asin(wx+妨的部分图象如图所示，

6、贝U().y= 2sin 2x 3【解析】 ： 根据图象上点的坐标及函数最值点,确定A,3与0的值.由图象知T-3rn，故T=n因此2n3=n= 2又图象的一个最高点坐标为nn，2，(k Z)，结合选项可知 y= 2sin?x冒)学习好资料欢迎下载B. 2kn4,2kn+4,kZC.k4，k+4，kcZD. 2k4,2k+4,kZ【答案】：D【解析】：基本法：由国数图象知）=2寻2,即皿由 熾+护韦+血，不妨设甲二手2ti Z7故选D.速解法：由题图可=|-J=b结合豳可姐 在-玄月（心）的一个周期问 函数您的单斓翻区间为（-由加訓2为周A向左平移12 个单位B 向右平移 12 个单位nnc.

7、向左平移 3 个单位D向右平移 3 个单位【答案】：B【解析】：基本法：根据三角函数图象的变换关系求解.由 y= sin 4x3 = sin 4 x得，只需将 y= sin 4x 的图象向右平移个单位即可，故选B.明的周期固数可知，皿的单调递滴区间为 a-若（2）要得到函数y= sin 4x 的图象，只需将函数M+亂0,故选Dy= sin 4x 的图象（）学习好资料欢迎下载考点二三角函数性质及应用例 2、如图，长方形 ABCD 的边 AB= 2, BC = 1, O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC, CD 与 DA 运动，记/ BOP =x.将动点 P 到 A, B 两点距离之和表示为

8、 x 的函数 f(x)，则 y= f(x)的图 象大致为()【解析】：基本法：用排除法排除错误选项.当争寸，人=血天+寸4+远2小團象不会是直线段，从而排除AC.證)=2返T2你1 +出甸冶)=7(乎从而排除D,故选B.速解法：当尸鄴h眉)=1+点尸刖寸，廐)=2迈,显然囲爲非除C、D.又丁兀为角度，用)不是一次函数，排除A,故选B函数 f(x) = sin(x+ 2 ) 2sin $cos(x+ $)的最大值为 _ 【答案】：1【解析】：基本法：利用三角恒等变换将原式化简成只含一种三角函数的形式.sin速解法：将函数y= sin 4x 的图象向右平移1；个单位可得到函数4x 3 的图象故选B

9、.y= sin 4【答案】：B学习好资料欢迎下载/ f(x) = sin(x+ 2 妨2sin(j)cos(x+ $)=sin(x+ 0)+ 02sin$cos(x+ $)=sin(x+ 0)cos0+cos(x+ 0)sin02sin0cos(x+ 0)=sin(x+ 0)cos0 cos(x+ 0)sin0学习好资料欢迎下载=si n(x+ 0) 0=sin x, f(x)的最大值为 1.速解法：0为常数，令0=0 时，f(x)= sin x.若o=n6猜想 f(x) = sin xf(x)max=1.则()A. f(x)在 0, 2 单调递减B. f(x)在 43n单调递减C. f(x)

10、在 0, 2 单调递增D.f(x)在 4,3n单调递增【答案】：A【解析】：基本法：y(x)=3iDc+卩) +oos(ajx+卩)=siiix+卩 + 扌)，又人一町=金)，即用)为偶函数右板+至 汗&岭得址WrCAjt+m Z.ja)在0, D上单调递减，故选入 速解法：由走)二寸鮎!仏+卩卡験D了=李兀,血o为偶函数，二卩+中=二卩=*X：x)=&os2r依据图象特征可得加)在(0,牺减区间.【变式探究】(2016 高考全国甲卷)函数 f(x)= cos 2x + 6cos2-x 的最大值为()-cosx+6 = sin x,贝Vf(x) = sin x+ 3(3)设函数

11、 f(x)= sin(必+0) + cosx+0)0,i0in的最小正周期为n,且 f(x)=f(x),兀一又/XJC)=/2* sinflr+x/icos 2x,令2ta2ry5co5x的團像至少向右平移警个单位长度得n13 文数】在AABC中，B=上，BC边上的高等于-BC,则cosA=(43【答案】CAB二2ADcosAB2ACfC22AD25AD9AD22AB AC【答案】D_厲 打 -Ji1且cos 2 -：= cos 2：二sin2-i,故选 D.14丿123217.【2016 高考新课标 3 文数】若tan，则cos - 2sin2二4【答案】A【解析】由题意得,n n1n1t

12、=sin(2)，当 s 最小时，P所对应的点为(一，一)，此43212 2疔詰，故选 A.时s.=nin ,414.【2016 高考新课标 3 文数】函数y=s in x-、3cosx的图像可由函数y =sinx 3cosx的图像至少向右平移个单位长度得到.15.【2016 高考新课标(A)日10(B)卫(C)10远(D)-辽10 10【解析】 设BC边上的高为AD，贝U BC =3AD，所以AC二.NDDC216.【2016 高考新课标兀32文数】若cos(T5，则sin2：(A)251(B)-51(C)-5(D)25【解析】cos 2 I M= 2cos2一卜1=2冷f15.丿-1 =25

13、学习好资料欢迎下载(A ) 一 ( B) 三(C)22【答案D【解析】原式=血208号10。+820911 KT =sin30 = -,故选D_21【2015 江苏高考，8已知tan : - -2,tan，则tan -的值为【答案3n1+2【解析tantan(:)=塑 匕回皿1+ta n(a+P)ta na 2_7【2015 高考福建，文 19已知函数f(x)的图像是由函数g(x) = cosx的图像经如下变换得到：先将g(x)图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍(横坐标不变)，再将所得到的图像向右平移P个单位长度2(I)求函数f(x)的【解析式，并求其图像的对称轴方程;(n)已知关于x的方

14、程f(x) +g(x) = m在0,2p)内有两个不同的解a, b.(1)求实数 m 的取值范围;(2)证明：cos( a -2m2b)=- 1.5【答案(I)f(x)=2sin x,x = kp +P(k? Z).； (n) (1)(-、5, . 5)； (2)详见【解2析.【解析解法一： (1)将g(x) - cosx的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍(横坐标不变)得到y二2cos x的图像，再将y二2cos x的图像向右平移P个单位长度后得到2(A)64(B)4825(C) 1(嚨【答【解由tan：216cos二2sin 24 -25253 ,cos Ji5126425，故选 A.

15、3,cos :54-，所以5【2015 高考新课标 1，文 2sin 20ocos10o-cos160osin10o=(学习好资料欢迎下载y = 2cos(x-p)的图像，故f( x) = 2sin x，从而函数f(x) = 2sin x图像的对称轴方程为2x = kp +P(k? Z).2当1m、5时，a+b =2(p- j ),a - b = p - 2(b +j ); 2当-,5m1时,a+b=2(3p-j ),a - b =3p - 2(b +j );2所以cos( a - b) = - cos2(b +j ) = 2sin2(b +j解法二：（1）同解法(2)1)cosx)=_5si

16、n(x+j )(其中sinj=:,cosj依题意,sin (x+j)=在区间0,2 p）内有两个不同的解a, b当且仅当| 1，故 m的取值范围是（-.5,-、5）.2）因为a,b是方程,5sin（x+j ）=m在区间0,2p）内有两个不同的解,所以sin (a +jsin(b +j)=m5.f(x) +g(x) = 2sin x +cosx1sin x +-V55学习好资料欢迎下载(2)1)同解法一*2)因为 j fi 是方程75 sin(x+ )p在区间0.2町内育两个不同的解,当1D&VJ5B寸，&+0=2(壬炉),即a+(p二圧一(# + );2当一V5ml时，a+fi

17、=2( - = 3朮-(戸十);2所決COS(tf+(?) =一00,(0 +炉于是costly -B、= cos(r + tp)-( + tp) = cos(a 炉cos(0 +tp) + sm(2 + )新口(0 + cp)-cosa(jff +(P)+ p) sin( + p) = -1 -(弓L)*V52f兀【2015 咼考山东，文 16】设f x =sinxcosx-cos ixI 4丿(I)求f X的单调区间;(n)在锐角ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b,c,若fiA=0,a=1,求厶ABC面 辽丿积的最大值单调递减区间是+k兀3- +k兀tkZ )114 4(II)厶A

18、BC面积的最大值为3【解析】【答案】(I)单调递增区间是nK7,二 y*；学习好资料欢迎下载sin 2x 1 sin2jct-1-=sin lx 2 2况n_ jo由一-乞一+lk心kw Z -+kx- + kkeZ 2 244由-+2t2x +2fcJtEZ可得上+Jt更兰乂兰224所以函数/U）的单调递増区间是- + k+kjr （ieZ）,4411sin A 0, sinA= 2得2cosA出由题意知A为锐角，所以2由余弦定理：a2=b2 c2_2bccosA可得：1 3bc =b2c2_2bc即:be-23,当且仅当123-bcsin A -因此24（I）由题意知/（刃=兰当1+cos

19、l 2x+l 2单调递减区间是彳 +呛普+Ax ke Z)f A(n)由2所以ABC面积的最大值为2、34【2015 高考重庆，文 9】若tana =2ta n则5，则cos( )d (nsin( )5B、2【答案】C【解学习好资料欢迎下载z3用3疋，.3甌costu-) cos CCCOS-SW氐别u由珈-=-型-卫SJD( (O!-) Sin iZCOS-cosasin 455【答案】B=sin 4x的图象向右平移一个单位故选 B.12【2015 高考新课标 1，文 8】函数f (x)=cos()的部分图像如图所示，贝Uf(x)的单调递减区间为()13(A)(k： _ ,k二 一)，k Z

20、4413(B)(2k,2k二一)，k Z4413311),k Z4【解析】由五点作图知,1+:45+423、二匚=f(x) = cosC：x)2，解得二,4，所以4,3菇* 3环3錘錘COS-b tan - cos-10】0 - 10茫茫 * *71lanCECOSsan 匚“花3甄+ 2tan sin 2tan cos sin一7T3暫心.JT . 3瓶1 F 5芯coscos 4-2 sin sin(cos +cos5105L0_210* * 耳耳n4-(cos cos-)10 101贡S1D-253coscos10【2015 高考山东，文 3】要得到函数y=si ni 4x_】 的图象，

21、只需要将函数y=s in4x的图I 3丿象()(A )向左平移石个单位(B)向右平移袒个单位(C)向左平移个单位3(D)向右平移个单位3【解析】 因为y =sin 4x -I 3丿=sin 4 i xI 12丿，所以要得到函数y = sin 4x_ 的图3象，只需将函数y学习好资料欢迎下载学习好资料欢迎下载2k二:：:二x 2k二：，k Z2k 12k3令4，解得4 v x v4,k Z，故单调减区间为132k2k -k Z，故选 D.(_4 ,4),9题】已知函数f(x)=s in (x-),且3f(x)dx=0,则函数f (x)*0JTD. x =6【解析】函数力的称轴为=+ T因为J s

22、in (x pdx. = 0 - o所以兰一卩=焉；m e=兰一福兀很卩对称卡由兀=卩+兰+占药=竺一焉議+兀（虬罔e N）335 JT则学是其中一条对称轴.故选A6【考点定位】三角函数图像、辅助角公式2.【2014 高考江苏卷第 5 题】已知函数y二cosx与函数y = sin（2x J（0乞：二），它JI们的图像有一个横坐标为的交点，贝y的值是3JI【答案】一62二12二k二【解析】由题意cos sin（2），即sin（ ）,虑：（-1）333236（k Z），因为0乞：二，所以6【考点】三角函数图象的交点与已知三角函数值求角.nn3.【2014 辽宁高考文第 9 题】将函数y=3si n

23、（ 2x，）的图象向右平移 一个单位长度，32所得图象对应的函数（）【答案】B的图象的一条对称轴是( )5兀7兀A. x =B. x -C. x =6123二7二A.在区间,上单调递减12 12C.在区间，”上单调递减n 7兀B .在区间一，匚上单调递增12 12JI JID .在区间,上单调递增1.【2014 高考湖南卷第【答案】A学习好资料欢迎下载8【解析】由题意f（x）二可Esin（2x），将其图象向右平移个单位，得【解析】将的数的團象向右平移彳个单位长度，所得图象对应的(8数解析式为-3*去2 扭7T2JT7F2 扭j7=3sin(2x),令一一+ 2JCJTt解得 T=7T.22 6

24、31234【考点定位】函数f （x）二Asin（x）的对称性、周期性，f兀）加7.【2014 高考安徽卷文第 11 题】若将函数f x；=sin 2x的图像向右平移 个单I 4丿位，所得图像关于y轴对称，则的最小正值是 _.【答案】【解【考点定位】解直角三角形、三角函数的图象.学习好资料欢迎下载. 2 si n2（ x -）=2 sin2 x-2,要使图象关于y轴对称，则44二二二k二32k二，解得，当k二-1时，取最小正值一42828【考点定位】三角函数的平移、三角函数恒等变换与图象性质8.【2014 浙江高考文第 4 题】为了得到函数y = sin3x - cos3x的图像，可以将函数y

25、= 2sin 3x的图像（）A.向右平移 二个单位B.向左平移二个单位44C.向右平移JT一个单位D.向左平移TT个单位1212【答案】D【解析】y =sin 3x - cos3x 眨sin 3x】，故只需将y2sin 3x向左平移】个单I 4丿4位.【考点定位】三角函数化简，图像平移9.【2014 陕西高考文第 2 题】函数f (x) = C0S(2x)的最小正周期是()6A.B.二C.2二D.4二2【答案】B2 H7T27T【解析】由周期公式T，又w = 2,所以函数f (x)二cos(2x )的周期T =w62故选B.【考点定位】三角函数的最小正周期.n n10.【2014 大纲高考文第

26、 16 题】若函数f (x) =cos2x asi nx在区间(一，)是减函数，6 2则a的取值范围是.【答案】-：,2 1.【解析】学习好资料欢迎下载= 2sin2x+flcosx =+sin xcosx+cosx = cos x(4 sin x+)/.x E是减函数j又cosx0.由 ff(x)0得-4sitix+aQ/.fl4shx在(彳)上恒成立,_（斗sin无）遇 xE , I匚.心2叫162JJ【考点定位】三角函数的单调性11.【2014 高考江西文第 16 题】已知函数f （x） =sin（x v） acos（x - 2），其中a R（_?，2）（1）当a = -.2,时，求f

27、（x）在区间0,二上的最大值与最小值;43T（2）若f （） =0, f（二）=1，求a,r的值.2厂a = 1【答案】（1）最大值为 ,最小值为-1. （2）-.2日=I 6【解析】（1）当a=运,二二 1 时，4JiJnf (x)二sin(x：)、.2 cos(x)Jt因为x0,兀，从而二x，一44 4J2故f （x）在0,二上的最大值为 ,最小值为-1.2【考点定位】三角函数性质12. (2014 福建卷)已知函数 f(x) = 2cos x(sin x + cos x).（2）求函数 f （x）的最小正周期及单调递增区间.【解析】Nin x Ycosx .22 2jrsin x = s

28、in(x)4(2)由2f(1f ()= 0/曰cos(1-2asi nR =02侍？2 rr，、2asin日- si a =1亠n nc又(,)知COST0,解得2 2(1)求 f于的值;时f（刃学习好资料欢迎下载思路一直接将乎代入函数式样应用三角函数诱导公式计算 应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简迈血+好+匕 得到T=y=3L宙2灯1一f(x) = 2sin xcos x + 2cos2x =25(1)将代入函数式计算;(2)T= :n=兀由 2knnx+nkn+ ，kZ,解得 knn+ ,k乙【解析】：解法一 (1)f ;n5n=2cos4sin4+cos45 冗.5nn . nn一2

29、cos4 sin4 cos4=2.2因为 f(x) = 2sin xcos x + 2cos x=sin 2x + cos 2x+ 1=2sin 2x +； + 1.2n所以 T = 2 =兀由 2knnx+*2kn+才，k Z ,3n得 kn纟 0)的图象如图所示，解法二 因为Hx)=2sinxco5 x+Zcox二sin 2x+ cos 2x+ 1由加一笋x+診k7t+, kZ，得loi:-Sxk7c+备kZ,所汉恥)的单调递增区间为皿-普血+吕kez.13. (2014 北京卷)函数 f(x) = 3sin 2x +f的部分图象如图所示.求 f(x)在区间-n，- in 上 的最大值和最

30、小值.【解析】：(1)由题意知：f(x)的最小正周期为nXo=7n，y= 3.6因为 x -n,-于，所以 2x+n-5n，o，于是 当 2x +；= 0，即 x =-$时，f(x)取得最大值 0;为了得到 y= sinox 的图象,(1)写出 f(x)的最小正周期及图中 xo、yo的值；当 2x + 6 =- 2，即卩 x=-；时，f(x)取得最小值一 3.学习好资料欢迎下载只需把 y= f(x)的图象上所有点()B .向右平移$个单位长度c.向左平移n个单位长度6D.向左平移 12 个单位长度【答案】：A【解析】：基本法；利用图象上的信息求周期到求C6利用特殊点求和确定兀解析式再平移. 由團象知：彳=誇_筝篦.又?!=警個=2.由名)=。得：2密+卩=航(上劝 即卩=就一寮上见)：|卩|0)的最小正周期为 2，则函数 f(x)的一个零点为()Anm2A.3 B.3B.2, 0 D. (0, 0)学习好资料欢迎下载【答案】：B【解析1：）=2sm（dK+）?T=y=2, .a=3E.5尸皿6+黑二当x斗寸,皿=山4.把函数 y= sin x+n图象上各点的横坐标缩小到原来的 舟（纵坐标不变），再将图象向右平 移 3 个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）【答案】：象的一条对称轴.5.已知函数 f（x） = 2sin（必+妨 0,Wl2 的图象如图所示，贝 U 函数