高三数学——圆锥曲线的基本量

1、圆锥曲线的基本量问题自主学习回归教材1. (选修2-1P66例1改编)已知抛物线C的焦点坐标为，则抛物线C的方程为 ()A. x2=yB. x2=4yC. y2=xD. y2=4x2. (选修2-1P58例3改编)一个焦点为(0，)且渐近线为y=±x的双曲线方程是 ()A. y2-=1B. -y2=1C. -=1D. -=13. (选修2-1P40例1改编)已知椭圆C过点，且两个焦点坐标分别为(-，0)，(，0)，那么椭圆C的方程为()A. +=1B. +y2=1 C. +=1 D. +x2=14. (选修2-1P48习题4改编)已知椭圆C的一个焦点为(1，0)，且离心率为，那么椭圆

2、C的方程为. 5. (选修2-1P61习题3改编)已知双曲线C1:-=1与双曲线C2:-=1的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的最小值为. 要点导学各个击破圆锥曲线的标准方程例1(1) 若椭圆过点(4，0)，离心率e=，则椭圆的标准方程为. (2) (2013·湛江调研改编)设方程+y2=1表示曲线，现给出下列说法:“m=2”是“曲线为圆”的充要条件;“m>2”是“曲线为椭圆”的充分不必要条件;“0<m<1”是“曲线是双曲线”的必要不充分条件;其中正确的个数有()A. 0B. 1 C. 2 D. 3变式(2013·广东卷)已知中心在原点的双曲

3、线C的右焦点为F(3，0)，离心率为，则双曲线C的方程是()A. -=1B. -=1 C. -=1D. -=1圆锥曲线的几何性质例2(1) (2013·深圳摸底改编)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，AF1F2为正三角形且周长为6，那么椭圆C的方程为. (2) (2013·深圳二模改编)已知双曲线-=1的渐近线方程为y=±x，那么以它的顶点为焦点、焦点为顶点的椭圆的离心率等于()A. B. C. D. 1(3) (2013·珠海监测改编)如图，F1，F2分别是双曲线C:-=1(a>0，b>0

4、)的左、右焦点，过F1的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点.若|AB|BF2|AF2|=345，则双曲线C的离心率为. (例2(3)变式(2014·佛山一模)设F1，F2是双曲线x2-=1的两个焦点，P是双曲线与椭圆+=1的一个公共点，则PF1F2的面积等于 . 与圆锥曲线相交汇的问题例3(1) 若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+=1的离心率为()A. B. C. 或D. 或(2) 设椭圆+=1(a>0，b>0)的离心率e=，右焦点F(c，0)，方程ax2+bx-c=0的两个根分别为x1，x2，则点P(x1，x2)在()A. 圆x2+y2=2内 B. 圆x2+y

5、2=2上C. 圆x2+y2=2外 D. 以上三种情况都有可能(3) 过双曲线-=1(a>0，b>0)的左焦点F(-c，0)(c>0)，作圆x2+y2=的切线，切点为E，直线FE交双曲线右支于点P，若=(+)，则双曲线的离心率为()A. B. C. D. (4) 设平面区域D是由双曲线y2-=1的两条渐近线和抛物线y2=-8x的准线所围成的三角形(含边界与内部).若点(x，y)D，则目标函数z=x+y的最大值为. 变式设F1，F2分别是椭圆E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|

6、AB|的长为()A. B. 1C. D. 课堂评价1. (2014·茂名一模)顶点在原点，准线与x轴垂直，且经过点(1，-)的抛物线方程是()A. y2=-2x B. y2=2x C. x2=2y D. x2=-2y2. (2014·汕头二模)已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点，且直线3x+4y+2=0与圆C相切，那么圆C的方程为()A. (x-1)2+y2= B. x2+(y-1)2= C. (x-1)2+y2=1 D. x2+(y-1)2=13. (2014·惠州三模)设椭圆+=1(m>0，n>0)的右焦点与抛

7、物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为()A. +=1 B. +=1 C. +=1 D. +=14. (2014·韶关摸底)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线-=1的右焦点重合，则p的值为 . 5. (2014·湛江一模)点A(0，1)到双曲线-y2=1的渐近线的距离为. 完善提高融会贯通典例已知动点P(x，y)与两个定点M(-1，0)，N(1，0)的连线的斜率之积等于常数(0).(1) 求动点P的轨迹C的方程.(2) 试根据的取值情况讨论轨迹C的形状.(3) 当=2时，对于平面上的定点E(-，0)，F(，0)，试探究轨迹C上是否存在一点P，使

8、得EPF=120°?若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.【规范解答】(1) 由题设可知PM，PN的斜率存在且不为0，所以·=(0)，即x2-=1(y0). 3分(2) 讨论如下:当>0时，轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的双曲线(除去顶点);当-1<<0时，轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的椭圆(除去长轴两个端点);当=-1时，轨迹C为以原点为圆心、1为半径的圆(除去点(-1，0)，(1，0);当<-1时，轨迹C为中心在原点、焦点在y轴上的椭圆(除去短轴两个端点).7分(3) 当=2时，轨迹C的方程为x2-=1(y0)，显然定点E，F为其左

9、、右焦点.假设存在这样的点P，使得EPF=120°，记EPF=，PE=m，PF=n，EF=2，(典例)如图，在EPF中，有. 9分整理可得2mn(1-cos)=8，则mn=，. 10分所以SEPF=mnsin120°=××=，又因为SEPF=××=，所以=，故yP=±，代入椭圆的方程可得-=1，所以xP=±，于是满足题意的点P有四个，坐标分别为. 14分【精要点评】本题是一道构思非常巧妙的试题，容易入手，但是也容易失分.以代入法求轨迹方程开始，转为曲线类型的讨论，再通过双曲线的几何性质将三角形面积公式、双曲线的定义

10、、余弦定理融合在一起，升华了对数形结合思想、函数与方程思想的考查.课后作业一、 填空题1. (2014·韶关一模)已知椭圆与双曲线-=1的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,那么椭圆的离心率为()A. B. C. D. 2. (2014·佛山二模)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的渐进线与实轴的夹角为60°,则双曲线的离心率为()A. B. 2 C. 2 D. 3. (2014·广东十校联考)已知双曲线-=1(a>0,b>0),过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M,N两点,O为坐标原点,若OMON,则双曲线

11、的离心率为()A. B. C. D. 4. (2014·茂名二模)已知点A(1,0),若曲线G上存在四个点B,C,D,E.使ABC与ADE都是正三角形,则称曲线G为“双正曲线”.给定下列四条曲线:4x+3y2=0;4x2+4y2=1; x2+2y2=2; x2-3y2=3.其中,“双正曲线”的个数是()A. 0 B. 1 C. 2D. 35. (2014·湛江调研)过抛物线y2=4x的焦点且与直线2x-y+1=0平行的直线方程是. 6. (2014·深圳一模)已知双曲线C:-=1与椭圆+=1有相同的焦点,且双曲线C的渐近线方程为y=±2x,则双曲线C的方

12、程为. 7. (2013·韶关模拟改编)设点P是双曲线-=1(a>0,b>0)与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点,其中F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若tan PF2F1=3,则双曲线的离心率为. 8. 已知点F,A,B分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点、右顶点、上顶点,且FBA为钝角,求椭圆的离心率的取值范围.9. 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两焦点为F1(-1,0),F2(1,0),并且经过点P.(1) 求椭圆C的标准方程;(2) 已知圆O:x2+y2=r2(b<r<a),若直线l与椭圆C只有一个公共点M,

13、且直线l与圆O相切于点N,求|MN|的最大值.10. (2014·佛山二模)已知焦点为F,准线为l的抛物线T:x2=2py(p>0)经过点(-2,3),其中A,B是抛物线上两个动点,O为坐标原点.(1) 求抛物线T的方程;(2) 若OAOB,求线段AB的中点P的轨迹方程;(3) 若AFB=90°,线段AB的中点为M,点M在直线l上的投影为N,求的最大值.答案与解析自主学习回归教材1. 【答案】A【解析】由题意设抛物线C:x2=2py(p>0)，则=Þp=，即x2=y.2.【答案】C【解析】由渐近线y=±x可设双曲线的方程为y2-=(>0

14、)，即-=1，其焦点为(0，)，得2+=6Þ=2，即双曲线方程为-=1.3.【答案】B【解析】设椭圆C的方程为+=1，由题意得2a=+=+=4，则a=2，又c=，所以b2=a2-c2=1，故椭圆C的方程为+y2=1.4.【答案】+y2=1【解析】由题意得c=1，=Þa=，则b2=a2-c2=1，即椭圆C的方程为+y2=1.5. 【答案】2【解析】由题意得e1·e2=·=2，当且仅当a=b时取等号.要点导学各个击破圆锥曲线的标准方程例1【分析】(1) 分椭圆的焦点在x轴、y轴上两种情况考虑.(2) 从方程+y2=1表示的曲线的类型展开讨论:曲线表示圆

15、19;m-1=1;曲线表示椭圆Û0<m-1<1或m-1>1;曲线表示双曲线Ûm-1<0.(1) 【答案】+=1或+=1【解析】当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的方程为+=1.则有a=4，e=Þc=2，从而b2=a2-c2=16-8=8，所以椭圆的方程为+=1;当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆方程为+=1，则有b=4，=，所以=Þa2=32，所以椭圆的方程为+=1.综上，椭圆的标准方程为+=1或+=1.(2) 【答案】C【解析】曲线是圆Ûm-1=1，即m=2，正确;当m>2时，m-1>1，曲线是椭圆，反之，当曲线是

16、椭圆时，有m-1>1或0<m-1<1，即1<m<2或m>2，又“m>2”是“1<m<2或m>2”的充分不必要条件，故正确;当0<m<1时，m-1<0，曲线是双曲线，反之，当曲线是双曲线时，有m-1<0，即m<1，又“0<m<1”是“m<1”的充分不必要条件，故不正确.【点评】抓住椭圆中c2=a2-b2(双曲线中c2=a2+b2)及离心率e=，运用待定系数法研究圆锥曲线的标准方程是解决此类问题的基本方法，称为“基本量法”.在考虑问题时需特别注意曲线的焦点在x轴上还是y轴上，若能结合图形，数

17、形结合解决问题，效果更好.变式【答案】B【解析】由双曲线的焦点为F(3，0)，得c=3，又e=，所以a=2，b2=c2-a2=9-4=5，故所求双曲线的方程为-=1.圆锥曲线的几何性质例2【分析】(1) 从“AF1F2为正三角形且周长为6”入手，可得2c及b的值，再求a的值.(2) 可设椭圆的方程为+=1，再结合题意用a表示a'与c'(3) 设|AB|=3k，由所给的比例关系有ABF2=90°，再运用双曲线的定义得的值，再求a与c即可.(1) 【答案】+=1【解析】如图(1)，由AF1F2为正三角形且周长为6，得=2，即c=1，且=b=c=，而2a=+=4，所以a=2

18、，故椭圆的方程为+=1. (例2(1) (例2(2)(2) 【答案】A【解析】如图(2)，双曲线的渐近线方程为y=±x，则=，即b=a，所以c=2a，设椭圆的方程为+=1，则a'=c=2a，c'=a，所以椭圆的离心率e'=.(3) 【答案】【解析】由题意设=3k，则=4k，=5k，所以ABF2=90°，又2a=-=-，则+-=-，所以3k+-4k=5k-，解得=3k，从而2a=-=5k-3k=2k，所以a=k，又2c=2k，即c=k，所以双曲线C的离心率e=.【点评】将数形结合思想及方程与函数思想结合在一起研究问题，是解决与圆锥曲线几何性质相关问题的

19、关键.紧紧抓住图形的结构(性质)，从中寻求几何关系与数量关系，寻找解决问题的入口与突破口，才能有效地降低运算量，提高解题的效率.变式【答案】24【解析】由题意可得F1(-5，0)，F2(5，0)，不妨设P在第一象限，由得1+=49-y2，得y=，所以=··y=×10×=24.与圆锥曲线相交汇的问题例3【分析】(1) 由m2=16求m，再分类讨论求离心率. (2) e=Þa=2c，进而b=c，可求得x1+x2及x1x2的值，再计算+=-2x1x2的值，与2比较大小.(3) 由=(+)知E为FP的中点，又O是FF'的中点，则有OEF'

20、;P，从而FPF'P，|F'P|=a，|FF'|=2cÞ|FP|=，由双曲线的定义建立关于a，c的方程求.(4) 画出可行域，再由线性规划的方法求最大值.(1) 【答案】D【解析】由题意得m2=16，即m=±4.当m=4时，x2+=1的离心率e=，当m=-4时，x2-=1的离心率e=.(2) 【答案】A【解析】由题意有e=Þa=2c，由c2=a2-b2Þb=c，从而所以+=-2x1·x2=+2×=<2，故点P在圆内.(3) 【答案】C【解析】设双曲线的右焦点为F'，由=(+)，知E为FP的中点，又

21、O是FF'的中点，所以OE􀱀F'P，从而FPF'P，|F'P|=a，|FF'|=2cÞ|FP|=，由双曲线的定义得|FP|-|F'P|=2a，则-a=2a，则=Þe=.(4) 【答案】3【解析】双曲线y2-=1的两条渐近线为y=±x，抛物线y2=-8x的准线为x=2，平面区域D如图中阴影部分所示，当直线y=-x+z过点A(2，1)时，zmax=3.(例3(4)【点评】圆锥曲线问题常与数列、韦达定理、平面向量、线性规划、基本不等式等问题交汇在一起命题，解决此类问题的关键在于将圆锥曲线的基本量与这些知识

22、方法结合在一起考虑问题，通过数形结合、分类讨论等思想解决问题.变式【答案】C【解析】椭圆E:x2+=1(0<b<1)，a=1，因为|AF1|+|AF2|=2a=2，|BF1|+|BF2|=2a=2，相加得|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4，|AF2|+|BF2|=4-(|AF1|+|BF1|)=4-|AB|，因为|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，所以2|AB|=|AF2|+|BF2|，于是2|AB|=4-|AB|，所以|AB|=.课堂评价1. 【答案】B【解析】由题意设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，将(1，-)代入，得2=2pÞp=

23、1.2.【答案】C【解析】由题意知，圆C的圆心为(1，0)，即a=1，b=0，又C到直线3x+4y+2=0的距离d=1=r，所以圆C的方程为(x-1)2+y2=1.3.【答案】A【解析】抛物线的焦点为(2，0)，则22=m2-n2，又=，即m=4，所以n2=12，故椭圆的方程为+=1.4. 【答案】6【解析】因为双曲线的右焦点为(3，0)，所以=3，即p=6.5.【答案】【解析】双曲线-y2=1的渐近线方程为y=±x，取y=x，即x-2y=0，点A(0，1)到直线x-2y=0的距离d=.课后作业1. B解析:由题意,知椭圆的焦点为(-4,0),(4,0),即c=4,又2a=10,即a

24、=5,于是椭圆的离心率e=.2. B解析:由题意得=tan 60°=,又c2=a2+b2,所以c2=4a2,即e=2.3. D解析:不妨设点M在第一象限,在双曲线的方程中,令x=c,得y=±,由OMON知OMN为等腰直角三角形,则OMF也是等腰直角三角形,所以=c,则c2-a2=ac,即e2-e-1=0,解得e=或e=(舍去).4. B解析:过点A(1,0)分别作倾斜角为30°和150°的直线,直线方程为3y-x+=0和3y+x-=0.对于,易得两直线分别与曲线4x+3y2=0和4x2+4y2=1相切,能构成的等边三角形的个数为1;对于,两条直线与双曲线

25、x2-3y2=3的渐近线平行,故只能构成1个等边三角形;对于,两条直线分别与椭圆x2+2y2=2有两个交点,故能构成的等边三角形有2个.故选B.5. y=2x-2解析:抛物线的焦点为(1,0),而直线2x-y+1=0的斜率为2,故所求的直线方程为y-0=2(x-1),即y=2x-2.6. x2-=1解析:椭圆的焦点为(-,0),(,0),也是双曲线的焦点,由y=±2x,得b2=4a2,设双曲线的方程为x2-=(>0),则-=1,有=,解得=1,所以双曲线C的方程为x2-=1.7. 解析:如图,由x2+y2=a2+b2=c2,知F1F2是该圆的直径,则=3=,设|PF1|=3k,

26、|PF2|=k,则|F1F2|=k,又2a=|PF1|-|PF2|=3k-k=2k,则双曲线的离心率e=.8. 由题意,得|AF|=a+c,|BF|=a,|AB|=,又因为FBA为钝角,所以cos FBA=<0,所以|AB|2+|BF|2<|AF|2,即a2+b2+a2<(a+c)2,又c2=a2-b2,消去b,整理得c2+ac-a2>0,所以e2+e-1>0,解得e>,又0<e<1,故<e<1.9. (1) 由题意,得a2-b2=1,将点M代入+=1,得+=1,联立,解得a2=4,b2=3.故椭圆C的方程为+=1.(2) 由题意,知直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx+t,因为直线l与圆O相切,所以r=,即t2=(1+k2)r2.将y=kx+t代入+=1,整理得(3+4k2)x2+8ktx+4t2-12=0,因为直线l与椭圆C相切,所以=(8kt)2-4(3+4k2)(4t2-12)=0,即t2=3+4k2,将代入,解得x