《命题、定理与证明》（课堂PPT）

1、1华师大版初中数学八年级上册华师大版初中数学八年级上册第1课第十三章2问题问题1请同学读出下列语句请同学读出下列语句（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两 条直线也互相平行。条直线也互相平行。（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。（3）对顶角相等。）对顶角相等。（4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式。）等式两边都加同一个数，结果仍是等式。像这样判断一件事情的语句，叫做命题（像这样判断一件事情的语句，叫做命题（proposition）命题的概念命题的概念3下列语句在表述形式上，哪些是对事情作

2、了判下列语句在表述形式上，哪些是对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？断？哪些没有对事情作出判断？1 1对顶角相等。对顶角相等。2 2画一个角等于已知角。画一个角等于已知角。3 3两直线平行，同位角相等。两直线平行，同位角相等。4 4a a、b b两条直线平行吗？两条直线平行吗？5 5温柔的小明。温柔的小明。6 6玫瑰花是动物。玫瑰花是动物。否是否否是是4如：画线段如：画线段AB=CDAB=CD。判断一件事情的语句叫做判断一件事情的语句叫做命题命题。注意：注意： 1只要对一件事情作出了只要对一件事情作出了判断判断，不管正确，不管正确与否，都是与否，都是命题命题。如：如：相等的角是对顶角。相等

3、的角是对顶角。 2如果一个句子没有对某一件事情作出任如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。何判断，那么它就不是命题。5下列语句是命题吗？下列语句是命题吗？熊猫没有翅膀。熊猫没有翅膀。大象是红色的。大象是红色的。同位角相等。同位角相等。连接连接A A、B B两点。两点。你多大了？你多大了？句子句子 能判断一件事情。能判断一件事情。 是命题是命题句子句子 不能判断一件事情不能判断一件事情.。 不是命题不是命题 请你吃饭。请你吃饭。6 问题问题 判断下列语句是不是命题？判断下列语句是不是命题？（1）你饭吃了吗？（）你饭吃了吗？（ ）（2）两点之间，线段最短。（）两点之间，线段最

4、短。（ ）（3）请画出两条互相平行的直线。）请画出两条互相平行的直线。 （ ）（4）过直线外一点作已知直线的垂线。）过直线外一点作已知直线的垂线。 （ ）（5）如果两个角的和是）如果两个角的和是90 ，那么这两个角互余。（，那么这两个角互余。（ ）（6）对顶角不相等。（）对顶角不相等。（ ） 7命题的结构在数学中，许多命题是由条件、在数学中，许多命题是由条件、结论结论两部分组成的，条件两部分组成的，条件是已知事项；结论是由已知事项推出的事项，这样的命题是已知事项；结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成常可写成“如果如果，那么，那么”的形式，用的形式，用“如果如果”开始开始的部分就是条件

5、，而用的部分就是条件，而用“那么那么”开始的部分就是结论。开始的部分就是结论。（1 1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；条件条件结论结论（2 2）如果两个角是直角，那么这两个角相等。）如果两个角是直角，那么这两个角相等。条件条件结论结论8例例1 1 把命题把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成改写成“如果如果，那么，那么”的形式，并分别指出命题的条件与的形式，并分别指出命题的条件与结论。结论。 解：这个命题可以写成解：这个命题可以写成“如果如果一个三角形的三个角都相等，一个三角形的三个角都相等，那么那么这个

6、三角形是等边三角形这个三角形是等边三角形”。这个命题的条件是这个命题的条件是“一个三角形的三个角都相等一个三角形的三个角都相等”，结论，结论是是“这个三角形是等边三角形这个三角形是等边三角形”。注意注意：添加添加“如果如果”、“那么那么”后后，命题的意义不能改变，改命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺写的句子要完整，语句要通顺，使命题的条件和结论更明朗，使命题的条件和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语。易于分辨，改写过程中，要适当增加词语。9 下列命题中的条件是什么？结论是什么？下列命题中的条件是什么？结论是什么？ 如果如果ab，bc，那么，那么a=c 条件是条件是：

7、 如果两个角是邻补角，那么如果两个角是邻补角，那么这两个角这两个角互补互补结论是结论是：条件是条件是：结论是结论是：两个角是邻补角两个角是邻补角这两个角这两个角互补互补ab，bca=c10 下列命题中的条件是什么？结论是什么？下列命题中的条件是什么？结论是什么？ 如果如果两个角是对顶角两个角是对顶角，那么，那么这两个角相等这两个角相等.条件是条件是：对顶角相等。对顶角相等。结论是结论是：条件是条件是：结论是结论是：同位角相等。同位角相等。如果如果两个角是同位角，两个角是同位角，那么那么这两个角相等。这两个角相等。两个角是对顶角两个角是对顶角这两个角相等这两个角相等两个角是同位角两个角是同位角这

8、两个角相等这两个角相等11指出下列各命题的指出下列各命题的条件条件和和结论结论，并改写成并改写成“如如果果那么那么”的形式。的形式。1 1对顶角相等。对顶角相等。2 2等角的补角相等。等角的补角相等。3 3两平行线被第三直线所截，同位角相等。两平行线被第三直线所截，同位角相等。4 4正数与负数的和为正数与负数的和为0 0. .5 5同平行于一直线的两直线平行。同平行于一直线的两直线平行。6 6直角三角形的两个锐角互余。直角三角形的两个锐角互余。12有些命题如果题设成立，那么结论一定成立；而有些有些命题如果题设成立，那么结论一定成立；而有些命题题设成立时，结论不一定成立。命题题设成立时，结论不一

9、定成立。正确的命题叫正确的命题叫真命题真命题，错误的命题叫，错误的命题叫假命题假命题。如命题：如命题：“如果两个角互补，那么它们是邻补角如果两个角互补，那么它们是邻补角”就就是一个是一个错误错误的命题。的命题。如命题：如命题：“如果一个数能被如果一个数能被4整除，那么它也能被整除，那么它也能被2整整除除”就是一个就是一个正确正确的命题。的命题。确定一个命题真假的方法：确定一个命题真假的方法：利用已有的知识，通过利用已有的知识，通过观察观察、验证验证、推理推理、举反例举反例等等方法。方法。13 下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？命题还是假

10、命题？ 1 1. .猪有四只脚。猪有四只脚。 2 2. .内错角相等。内错角相等。 3 3. .画一条直线。画一条直线。 4 4. .四边形是正方形。四边形是正方形。 5 5. .你的作业做完了吗？你的作业做完了吗？ 6 6. .同位角相等，两直线平行。同位角相等，两直线平行。 7 7. .对顶角相等。对顶角相等。是是真命题真命题否否是是假假命题命题是是假假命题命题否否是是真真命题命题是是真真命题命题141 1数学中有些命题的正确性是人们在数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结长期实践中总结出来的，并把它们出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据作为判断其他命题真假的原始依据，这样

11、的真命题叫做这样的真命题叫做公理公理。2 2有些命题可以从公理或其他真命题出发，用有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推逻辑推理理的方法判断它们是正确的，这样的真命题叫做的方法判断它们是正确的，这样的真命题叫做定理定理。公理公理和和定理定理都可作为判断其他命题真假的都可作为判断其他命题真假的依据依据。3 3在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做才能作出判断，这个推理过程叫做证明证明。15公理举例：公理举例：经过两点有且只有一条直线。经过两点有且只有一条直线。2线段公理：线段公理：两点的所有连线中，线段最短。两

12、点的所有连线中，线段最短。4平行线判定公理：平行线判定公理：同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行。5平行线性质公理：平行线性质公理：两直线平行，同位角相等。两直线平行，同位角相等。1直线公理：直线公理：3平行公理：平行公理：经过直线外一点，有且只有一条经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。直线与已知直线平行。3垂直公理：垂直公理：经过直线外一点，有且只有一条经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。直线与已知直线垂直。16同角或等角的补角相等。同角或等角的补角相等。2余角的性质：余角的性质：同角或等角的余角相等。同角或等角的余角相等。4垂线的性质：垂线的性质：5平行公理

13、的推论：平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，那么这两条直线也互相平行。平行。1补角的性质：补角的性质：3对顶角的性质：对顶角的性质：对顶角相等。对顶角相等。垂线段最短。垂线段最短。定理举例：定理举例：17内错角相等，两直线平行。内错角相等，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。6平行线的判定定理：平行线的判定定理：7平行线的性质定理：平行线的性质定理：两直线平行，内错角相等。两直线平行，内错角相等。两直线平行，同旁内角互补。两直线平行，同旁内角互补。定理举例：定理举例：18命题命题1：在同一平面内，如果一

14、条直线垂直于两：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条（1）这个命题的题设和结论分别是什么呢？）这个命题的题设和结论分别是什么呢？ 题设题设：在同一平面内，一条直线垂直于两条平行线在同一平面内，一条直线垂直于两条平行线中中 的一条；的一条；结论：结论：这条直线也垂直于两条平行线中的另一条这条直线也垂直于两条平行线中的另一条。19（2）你能结合图形用几何语言表述命题的题设和）你能结合图形用几何语言表述命题的题设和结论吗？结论吗？命题命题1 在同一平面内，如果一条直线垂直在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么

15、它也垂直于于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条另一条.已知：已知：bc， ab 求证：求证：ac20（3）请同学们思考如何利用已经学过的定义定理来证明这个结论呢？）请同学们思考如何利用已经学过的定义定理来证明这个结论呢？已知：bc，ab 求证：ac证明： ab（已知）， 又 bc（已知）， 1=2（两直线平行，同位角相等）. 2=1=90（等量代换） 1=90 （垂直的定义） ac（垂直的定义）证明中的每一步推理都要有根据，不能想证明中的每一步推理都要有根据，不能想“当当然然”。21命题命题2 相等的角是对顶角相等的角是对顶角（2）判断这个命题的真假）判断这个命题的真假（1）这个命题题设

16、和结论分别是什么？）这个命题题设和结论分别是什么？题设：题设：两个角相等；两个角相等；结论：结论：这两个角互为对顶角这两个角互为对顶角 我们知道假命题是在条件成立的前提下，结论不一定成立，你我们知道假命题是在条件成立的前提下，结论不一定成立，你能否利用图形举出一个反例说明当两个角相等时它们不一定是对顶能否利用图形举出一个反例说明当两个角相等时它们不一定是对顶角的关系。角的关系。 判断一个命题是假命题，只判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（要举出一个例子（反例反例），它符），它符合命题的题设，但不满足结论就合命题的题设，但不满足结论就可以了。可以了。这种方法称为这种方法称为举反例举反例。22课堂小结课堂小结 1 1. .命题：判断一件事情的语句叫命题：判断一件事情的语句叫命题命题。 2 2. .公理：人们长期以来在实践中总结出来的，并作为判断公理：人们长期以来在实践中总结出来的，并作为判断其他命题真假的根据的命题，叫做其他命题真假的根据的命题，叫做公理公理。 3 3. .定理：经过推理论证为正确的命题叫定理：经过推理论证为正确的命题叫定理定理。也可作为继。也可作为继续推理的依据。续推理的依据。 4 4. .在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能在很多情况下，一个命