高中数学-平面向量及常见题型

1、高中数学-平面向量及常见题型向量知识点零向量：长度为0的向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向量平行.单位向量：模为i个单位长度的向量. 向量a0为单位向量I a0 I =i.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量平行向量也称为共线向量 *uuu uuin uuur向量加法AB BC = AC向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：uuuuuuruuur uuinuuuuuuABBCCDL PQQRAR,但这时必须“首尾相连”.实数与向量的积：实数人与向量a的积是一个向量，记作入a,它的长度与方向规定如下：（I） 1a | | |a ;（n）当 0时，入a的方向与a的方向相同；

2、当 0时，入a的方向与a的方向相反；当 0时，a 0,方向是任意的两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b = a平面向量的基本定理：如果ei,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数i, 2使:aiei232,其中不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。平面向量的坐标运算:%X2y2 ,“ r b rarrr r(i)若 a %, y1 ,b ”, y2 ，则 a buur若 A Xi, yi , B X2, y2，则 AB % NMVi 若 a =(x,y),则 a =( x, y)r,ri r /Xi

3、y2X2 %0(4)右 aK,y1 ,b ”,丫2 ,则 ab，、什r（5）右 arX,yi ,b”, y2 ,贝U a b , Xi X2, y 0向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质两个向量的数量积:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为rI b I cos,r=叫做a与b的数量积（或内积）.规定r向量的投影：I bI cosr r a b |a|R,称为向量r rb在a方向上的投影，投影的绝对值称为射影数量积的几何意义:r b等于a的长度与向量的模与平方的关系:2ar 2 |a|乘法公式成立:-2rb2,rb在a万向上的投影的乘积，r r 2

4、 r2 a b a2a br r2a b向量的夹角:已知两个非零向量uurra 与 b，作 OA = a ,uuu rOB = b，则 / aob=(0°0,. 一 r ,180 )叫做向量a与cos = cosa,br ra?b当且仅当两个非零向量量之间不谈夹角这一问题补充:线段的定比分点设 P1 x1 , y1l上且不同于P1、PlP2所成的比（X1 X21r a ?b2XiX1X2y1y2222 y1X2y2a与b同方向时,P2 X2,e =00 ,当且仅当 a与b反方向时er=1800 ,同时0与其它任何非零向y2 ,分点Px, y ,设P1、P2是直线l上两点，P点在P2,

5、若存在一实数使PlPPP2 ,则叫做P分有向线段0, P在线段P1P2内,0, P在P|P2外），且XP为P|P2中点时，Xi X22yi y22如：ABC, A %, y1 , BX2, y2 , C X3,、3则ABC重心G的坐标是x1 x2 x3, y1 y2 y333经典例题.i例1 .已知口是Zi/BC所在平面内一点，A为3ct边中点，且204+08+。C = 0，那么（）a. AQ= 0DB. A0=2ODc. A0 = 30Dd. 2AO=OD命题意图：本题考查能够结合图形进行向量计算的能力解：U 一一；二二二.一 2OA + 2OD 二可总。=00 .故选人.例2.在平行四边形

6、ZHCjD中，儿5三兄。三瓦儿, M为BC的中点，则_=.（用表示）命题意图：本题主要考查向量的加法和减法，以及实数与向量的积. -”一 :、 AM = a-b由所3NC得43=弘yg+3),23-1 1 -1 1 MV=-+-(LT + y) = -U-F-£例3.如图所示，口是 ABC的边AB上的中点，则向量 UD=（）(A)2(B)二IC-14(0 一(D)二命题意图：本题主要考查向量的加法和减法运算能力而二无+而=-就+工成解：-,故选A.例4.设平面向量4、%、%的和/+% +的-° .如果向量4、与、当，满足 且里顺时针旋转3y后与自同向，其中1二1,23,则（

7、）二 d（B）与-%+%(C)11，；,-二。（D）瓦+瓦+& 二。命题意图：本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念-1Mb-fc* -常规解法：: *1 +与+电=0 , . 2佝+ 2町+2电二口.故把2/（i=i,2,3）,分别按顺时针旋转30后与 出重合，故"+&三°，应选D.巧妙解法：令飞二°,则5LW ,由题意知马三一电，从而排除B, C,同理排除A,故选D.点评：巧妙解法巧在取 研三。，使问题简单化.本题也可通过画图，利用数形结合的方法来解决例5.设向量厘与彳的夹角为日，且二'，I '' I，

8、I ,贝 U 匚。，" 命题意图：本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积，以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.解:设三（3）,由潴-彳=2（"）-（3.3）=（*3,匕-3） = （-1）cqs云 =。时，M1+M2_3而字十于十2一年3回,故填10例6.已知抛物线N =4尸的焦点为F A、B是抛物线上的两动点，且 ”=刘峭 （%>0）,过A、B两 点分别作抛物线的切线，设其交点为M.（I）证明BM- AB为定值；（n）设 ABM的面积为S,写出$ = /（兄）的表达式，并求 S的最小值.命题意图：本小题主要考查平面向量的计算方法、和圆锥曲线方程，以及

9、函数的导数的应用等基本知识，考查推理和运算能力.解：（I ）由已知条件，得月。1），入> 口.设a6M 1区M,则必=4乃，号=4为一二相 由万一丽，得（F，1一为"人心7即1 f = 45-1）将（1）式两边平方并把勺-4为，还-%代入得”一九色 _1_丘力，、/ 、一/口 M 二兄 内一下 l 一 片为二一如：-4凡必 =-4解（2） （ 3）式得,L , 反，且有1 33,I 3 一y = xy = x抛物线方程为4,求导得 2 .中一百二大巧小一工。 y-y2 =刀兀式工一工“所以过抛物线上 A、B两点的切线方程分别是2,上11y = x.x- -x即,二-解出两条切线

10、的交点（过+电.%町M的坐标为2' 2 即 2.前二久一）左乃-如 . ,和於中（了厂片）-2乂-如=-2（竿-工）二0所以二 一 一'_-所以期为定值，其值为0.(n )由(I )知在 ABM中，FM1 AB, 0,1),'之S-A£FM因而 £.叱i=/夸r+4=柠+号十苧十4匚旧;h+4 = |义+1-+2 = 京12 A因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线 y = - 1的距离,所以于是|为为二|月?|川0?卜必+必+2=2+4+2 =占二3加|，|拜M|二十击"JI十之之2知S>4,且当人=1时，S取得最小值4.

11、向量常见题型类型(一)：向量的夹角问题1 .平面向量a,b,满足|a 1,|b 4且满足a.b 2 ,则a与b的夹角为2 .已知非零向量 己,6满足ab,b (b 2ai)，则3与b的夹角为3 .已知平面向量a,b满足(a b.(2a b)4且3 2利 4且，则 露b的夹角为4 .设非零向量 a、6、c满足 |a|b| |c|,a b c,则 a,b 5 .已知a2,|b| 3, a bJ7,求亚b的夹角。类型(二)：向量共线问题1 .已知平面向量a (2,3x),平面向量b ( 2, 18),若a / b ,则实数x2 .设向量a (2,1) ,b (2,3)若向量a b与向量c (4, 7

12、)共线，则 3 .已知向量a (1,1),b (2, X)若a bt4b 2a平行，则实数x的值是()A. -2B. 0C. 1D. 24已知向量 OA (k,12),OB (4,5),OC ( k,10),且A, B, C三点共线， 则k -TI-I-b-¥5 .已知a=(1 , 2) , b= (-3, 2)若k a +2 b与2 a-4b共线，求实数 k的值；6 .已知a, c是同一平面内的两个向量，其中 a = (1 , 2)若c 2，5，且a / c,求c的坐标 类型(三)：向量的垂直问题1 .已知向量a (x,1),b (3,6)且ab,则实数x的值为2 .已知a= (1

13、 , 2) , b= (-3 , 2)若k a +2 b与2 a-4 b垂直，求实数 k的值 "3 .已知a (4,2)，求与a垂直的单位向量的坐标。4 .已知向量a ( 3,2),b (1,0)且向量a bwa 2b垂直，则实数的值为5 . a (3,1),b (1,3),c (k,2),若(a (c> b,则 k 6 . a(1,2) ,b(2,3),若向量c两足于(ca)/ b, c (ab),则 c 类型(四)投影问题1.已知4,，2.在 Rt ABC 中,-,AC 4,则 AB.AC 23 .关于a.ba.c且a0 ,有下列几种说法:-r -.2-a与b的夹角，则向量

14、b在向量a上的投影为3a （b c）；b c ；a.（b c） 0 b在a方向上的投影等于 c在a方向上的投影；b a ；b c其中正确的个数是 （）(A)4 个 (B)3 个 (C)2 个 (D)1 个 类型（五）求向量的模的问题5。2 则 b 1 .已知零向量 a(2,1), a.bio, a b2 .已知向量a,b满足lai 1,|b2, a b2,则a b3 .已知向量 a (1,J3), b ( 2,0),则 a b4 .已知向量a (1,sin ),b（1,cos，则a b的最大值为6.设向量a, b满足a |b 1及4a 3b 3,求3a 5b的值1.若a二(1 ,1),b =(

15、：1 , -1 ),1 3-1 - 3(A)a-b(B)a - b22223 .1 -3 -11(C)-ab(D)a b2222类型（六）平面向量基本定理的应用问题(-1 ,c =2.已知 a(1,0) ,b(1,1),c-2）,则c等于 （）(1,0)和的值，使c a b3.设八八是平面向量的一组基底,e e则当时， 0， e 23204.下列各组向量中，可以作为基底的是（(A)e1(0,0),e2(1, 2)(B)e1(1,2), e2(5,7)(C) e(3,5), e2(6,10)(D)e1(2,3), e213(?, 4)5. a(1,1) ,b ( 1,1) ,c(4,2),(A) 3a b(B) 3a b(C) a 3b (D) a 3b类型(七)平面向量与三角函数结合题irx x r x _ir r1 .已知向量 m (2sin ,cos-), n (cos-,J3),设函数 f(x) m n 424求函数f(x)的解析式(2)求f(x)的最小正周期；(3 )若0 X ，求f (x)的最大值和最小值.2 .已知 ABC的三个内角 a、b、C所对的三边分别是a、b、c,平面向量m (1,sin(B A),平面向量n (sin C sin(2A),1).(I)如果c 2,C,且 ABC的面积S V3,求a的值；3(II)若m n,请判断