2013年四川省成都市中考真题数学（2）

1、2013年四川省成都市中考真题数学(2)四、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，)21.(4分)已知点(3，5)在直线y=ax+b(a，b为常数，且a0)上，则的值为_.解析：将点(3，5)代入直线解析式，可得出b-5的值，继而代入可得出答案.答案：点(3，5)在直线y=ax+b上，5=3a+b，b-5=-3a，则=.故答案为：-.22.(4分)若正整数n使得在计算n+(n+1)+(n+2)的过程中，各数位均不产生进位现象，则称n为“本位数”.例如2和30是“本位数”，而5和91不是“本位数”.现从所有大于0且小于100的“本位数”中，随机抽取一个数，抽到偶数的概率为_.解析：先确

2、定出所有大于0且小于100的“本位数”，再根据概率公式计算即可得解.答案：所有大于0且小于100的“本位数”有：1、2、10、11、12、20、21、22、30、31、32，共有11个，7个偶数，4个奇数，所以，P(抽到偶数)=.故答案为：.23.(4分)若关于t的不等式组，恰有三个整数解，则关于x的一次函数的图象与反比例函数的图象的公共点的个数为.解析：不等式组的解为：at，不等式组恰有3个整数解，-2a-1.联立方程组，得：x2-ax-3a-2=0，=a2+3a+2=(a+)2-=(a+1)(a+2)这是一个二次函数，开口向上，与x轴交点为(-2，0)和(-1，0)，对称轴为直线a=-，其

3、图象如下图所示：由图象可见：当a=-1时，=0，此时一元二次方程有两个相等的根，即一次函数与反比例函数有一个交点；当-2a-1时，0，此时一元二次方程无实数根，即一次函数与反比例函数没有交点.交点的个数为：1或0.答案：1或0.24.(4分)在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx(k为常数)与抛物线y=x2-2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点的坐标为(0，-4)，连接PA，PB.有以下说法：PO2=PA·PB；当k0时，(PA+AO)(PB-BO)的值随k的增大而增大；当k=时，BP2=BO·BA；PAB面积的最小值为.其中正确的是.(写出所有正确说法的序号)解析：设

4、A(m，km)，B(n，kn)，其中m0，n0.联立y=x2-2与y=kx得：x2-2=kx，即x2-3kx-6=0，m+n=3k，mn=-6.设直线PA的解析式为y=ax+b，将P(0，-4)，A(m，km)代入得：，解得a=，b=-4，y=()x-4.令y=0，得x=，直线PA与x轴的交点坐标为(，0).同理可得，直线PB的解析式为y=()x-4，直线PB与x轴交点坐标为(，0).+=0，直线PA、PB与x轴的交点关于y轴对称，即直线PA、PB关于y轴对称.(1)说法错误.理由如下：如答图1所示，PA、PB关于y轴对称，点A关于y轴的对称点A落在PB上.连接OA，则OA=OA，POA=PO

5、A.假设结论：PO2=PA·PB成立，即PO2=PA·PB，又BPO=BPO，POAPBO，POA=PBO，AOP=PBO.而AOP是PBO的外角，AOPPBO，矛盾，说法错误.(2)说法错误.理由如下：易知：=-，OB=-OA.由对称可知，PO为APB的角平分线，PB=-PA.(PA+AO)(PB-BO)=(PA+AO)-PA-(-OA)=-(PA+AO)(PA-OA)=-(PA2-AO2).如答图2所示，过点A作ADy轴于点D，则OD=-km，PD=4+km.PA2-AO2=(PD2+AD2)-(OD2+AD2)=PD2-OD2=(4+km)2-(-km)2=8km+1

6、6，m+n=3k，k=(m+n)，PA2-AO2=8·(m+n)·m+16=m2+mn+16=m2+×(-6)+16=m2.(PA+AO)(PB-BO)=-(PA2-AO2)=-·m2=-mn=-×(-6)=16.即：(PA+AO)(PB-BO)为定值，所以说法错误.(3)说法正确.理由如下：当k=时，联立方程组：，得A(，2)，B(，-1)，BP2=12，BO·BA=2×6=12，BP2=BO·BA，故说法正确.(4)说法正确.理由如下：SPAB=SPAO+SPBO=OP·(-m)+OP·n=

7、OP·(n-m)=2(n-m)=2=2，当k=0时，PAB面积有最小值，最小值为=.故说法正确.综上所述，正确的说法是：.答案：.25.(4分)如图，A，B，C为O上相邻的三个n等分点，=，点E在上，EF为O的直径，将O沿EF折叠，使点A与A重合，点B与B重合，连接EB，EC，EA.设EB=b，EC=c，EA=p.现探究b，c，p三者的数量关系：发现当n=3时，p=b+c.请继续探究b，c，p三者的数量关系：当n=4时，p=；当n=12时，p=.(参考数据：sin15°=cos75°=，cos15°=sin75°=)解析：如解答图所示，作辅助线

8、，构造相似三角形.首先，在AE上取一点D，使ED=EC，连接CD，则ABC与CED为顶角相等的两个等腰三角形，所以ABCCED，得到；其次，证明ACDBCE，得到；由EA=ED+DA，整理得到p的通项公式为：p=c+2cos·b.将n=4，n=12代入，即可求得答案.答案：如解答图所示，连接AB、AC、BC.由题意，点A、B、C为圆上的n等分点，AB=BC，ACB=×=(度).在等腰ABC中，过顶点B作BNAC于点N，则AC=2CN=2BC·cosACB=2cos·BC，=2cos.连接AE、BE，在AE上取一点D，使ED=EC，连接CD.ABC=CED

9、，ABC与CED为顶角相等的两个等腰三角形，ABCCED.，ACB=DCE.ACB=ACD+BCD，DCE=BCE+BCD，ACD=BCE.在ACD与BCE中，ACD=BCE，ACDBCE.，DA=·EB=2cos·EB.EA=ED+DA=EC+2cos·EB.由折叠性质可知，p=EA=EA，b=EB=EB，c=EC.p=c+2cos·b.当n=4时，p=c+2cos45°·b=c+b；当n=12时，p=c+2cos15°·b=c+b.故答案为：c+b，c+b.五、解答题(本小题共三个小题，共30分.答案写在答题卡

10、上)26.(8分)某物体从P点运动到Q点所用时间为7秒，其运动速度v(米每秒)关于时间t(秒)的函数关系如图所示.某学习小组经过探究发现：该物体前进3秒运动的路程在数值上等于矩形AODB的面积.由物理学知识还可知：该物体前t(3t7)秒运动的路程在数值上等于矩形AODB的面积与梯形BDNM的面积之和.根据以上信息，完成下列问题：(1)当3t7时，用含t的式子表示v；(2)分别求该物体在0t3和3t7时，运动的路程s(米)关于时间t(秒)的函数关系式；并求该物体从P点运动到Q总路程的时所用的时间.解析：(1)设直线BC的解析式为v=kt+b，运用待定系数法就可以求出t与v的关系式；(2)由路程=

11、速度×时间，就可以表示出物体在0t3和3t7时，运动的路程s(米)关于时间t(秒)的函数关系式，根据物体前t(3t7)秒运动的路程在数值上等于矩形AODB的面积与梯形BDNM的面积之和求出总路程，然后将其代入解析式就可以求出t值.答案：(1)设直线BC的解析式为v=kt+b，由题意，得，解得：用含t的式子表示v为v=2t-4；(2)由题意，得根据图示知，当0t3时，S=2t；当3t7时，S=6+(2+2t-4)(t-3)=t2-4t+9.综上所述，S=，P点运动到Q点的路程为：72-4×7+9=49-28+9=30，30×=21，t2-4t+9=21，整理得，t2

12、-4t-12=0，解得：t1=-2(舍去)，t2=6.故该物体从P点运动到Q点总路程的时所用的时间为6秒.27.(10分)如图，O的半径r=25，四边形ABCD内接圆O，ACBD于点H，P为CA延长线上的一点，且PDA=ABD.(1)试判断PD与O的位置关系，并说明理由；(2)若tanADB=，PA=AH，求BD的长；(3)在(2)的条件下，求四边形ABCD的面积.解析：(1)首先连接DO并延长交圆于点E，连接AE，由DE是直径，可得DAE的度数，又由PDA=ABD=E，可证得PDDO，即可得PD与圆O相切于点D；(2)首先由tanADB=，可设AH=3k，则DH=4k，又由PA=AH，易求得

13、P=30°，PDH=60°，连接BE，则DBE=90°，DE=2r=50，可得BD=DE·cos30°=；(3)由(2)易得HC=(-4k)，又由PD2=PA×PC，可得方程：(8k)2=(4-3)k×4k+(25-4k)，解此方程即可求得AC的长，继而求得四边形ABCD的面积.答案：(1)PD与圆O相切.理由：如图，连接DO并延长交圆于点E，连接AE，DE是直径，DAE=90°，AED+ADE=90°，PDA=ABD=AED，PDA+ADE=90°，即PDDO，PD与圆O相切于点D；(2)ta

14、nADB=可设AH=3k，则DH=4k，PA=AH，PA=(4-3)k，PH=4k，在RtPDH中，tanP=，P=30°，PDH=60°，PDDO，BDE=90°-PDH=30°，连接BE，则DBE=90°，DE=2r=50，BD=DE·cos30°=；(3)由(2)知，BH=-4k，HC=(-4k)，又PD2=PA×PC，(8k)2=(4-3)k×4k+(25-4k)，解得：k=4-3，AC=3k+(25-4k)=24+7，S四边形ABCD=BD·AC=×25×(24+7

15、)=900+.28.(12分)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c(b，c为常数)的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0，-1)，C的坐标为(4，3)，直角顶点B在第四象限.(1)如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；(2)平移(1)中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q.(i)若点M在直线AC下方，且为平移前(1)中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；(ii)取BC的中点N，连接NP，BQ.试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.解析：(1)先

16、求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；(2)(i)首先求出直线AC的解析式和线段PQ的长度，作为后续计算的基础.若MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为.此时，将直线AC向右平移4个单位后所得直线(y=x-5)与抛物线的交点，即为所求之M点；当PQ为斜边时：点M到PQ的距离为.此时，将直线AC向右平移2个单位后所得直线(y=x-3)与抛物线的交点，即为所求之M点.(ii)由(i)可知，PQ=为定值，因此当NP+BQ取最小值时，有最大值.如答图2所示，作点B关于直线AC的对称点B，由分析可知，当B、Q、F(AB中点)三点共线时，NP

17、+BQ最小，最小值为线段BF的长度.答案：(1)等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0，-1)，C的坐标为(4，3)点B的坐标为(4，-1).抛物线过A(0，-1)，B(4，-1)两点，解得：b=2，c=-1，抛物线的函数表达式为：y=x2+2x-1.(2)(i)A(0，-1)，C(4，3)，直线AC的解析式为：y=x-1.设平移前抛物线的顶点为P0，则由(1)可得P0的坐标为(2，1)，且P0在直线AC上.点P在直线AC上滑动，可设P的坐标为(m，m-1)，则平移后抛物线的函数表达式为：y=(x-m)2+m-1.解方程组：，解得，P(m，m-1)，Q(m-2，m-3).过点P作PEx轴，过

18、点Q作QFy轴，则PE=m-(m-2)=2，QF=(m-1)-(m-3)=2.PQ=AP0.若以M、P、Q三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为(即为PQ的长).由A(0，-1)，B(4，-1)，P0(2，1)可知，ABP0为等腰直角三角形，且BP0AC，BP0=.如答图1，过点B作直线l1AC，交抛物线y=x2+2x-1于点M，则M为符合条件的点.可设直线l1的解析式为：y=x+b1，B(4，-1)，-1=4+b1，解得b1=-5，直线l1的解析式为：y=x-5.解方程组，得：，M1(4，-1)，M2(-2，-7).当PQ为斜边时：MP=MQ=2，可求得点M到PQ的距离为.如答图2，取AB的中点F，则点F的坐标为(2，-1).由A(0，-1)，F(2，-1)，P0(2，1)可知：AFP0为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为.过点F作直线l2AC，交抛物线y=x2+2x-1于点M，则M为符合条件的点.可设直线l2的解析式为：y=x+b2，F(2，-1)，-1=2