一次函数与反比例函数综合问题

1、学习好资料欢迎下载一次函数和反比例函数是两类重要的函数，也是历年中考命题的热点内容. 在各类考试 中，常常出现两类函数的图象融合在一起的题目.2例 1 如图 1，点P为反比例函数y上的一动点,X2y图象上，所以ab= 2,又x1因为P点在第一象限，所以POD的面积为k=-ab=1，则一次函数的解析式为 yX1,它的图象与两坐标轴的交点分别是（1,0）和（0,1），应选（A）.例 2 在同一直角坐标系中，函数y二仝（k = 0）与y=kxk（k=0）的图象大致是（）x析解：在同一坐标系中，同时确定一次函数与反比例函数的图象，解答这类问题一般使用排除法，对每一个选项进行讨论. 先根据选项中其中一个

2、函数图象的位置特点确定k的符号，再根据k的符号确定另一个函数图象的位置.在选项（A）与（C） 中，由反比例 函数的图象知k0,则一次函数y = kx k（k =0）的图象应当过第一、 二、三象限，（A）中的一次函数图象不合题意，（C）中的一次函数图象符合题意；在选项（E）与（D）中由反比例函数的图象知kvo,则一次函数y二kx k（k = 0）的图象应当过第二、 三、四象限,但（E）与（D）中的一次函数图象都不符合题意故答案选（C）面积为k,则函数y = kx一1的图象为（ ）D,POD的作PD _ x轴于点析解：设P点坐标为（a, b）,因为P点在反比例函数A.xB.C.).xD.学习好资料

3、欢迎下载kPCAOB 的中位线，PC 的延长线交反比例函数y (k 0)的图象于 Q,SOQCx则 k 的值和 Q 点的坐标分别为_ .分析：由一次函数求得点 A、B 的坐标，从而点 P 坐标可得，因一 一3、PQ/y轴,则点 Q 坐标可表示 再由SOQC,列方程则冋题可解.7 +07参考答案:1.B;2.A;3.D.例 3.如图，一次函数1y x -22的图象分别交 x 轴、y 轴于 A、B, P 为 AB 上一点且k2. 函数y =kx1与函数y在同一坐标系中的大致图象是下图中的xy丿xOC.x学习好资料欢迎下载2PC 的延长线交反比例函数y (k 0)的图象于 Q,贝 y Q 点的坐标为

4、(2,二)，x231k33由SOQC-_，即 2二一,得到k二3,从而点 Q 的坐标为(2,).22222评注:本例涉及到直线与坐标轴交点坐标，中点坐标;与y轴平行的直线上点的横坐标，根1据点 Q 与点 P 的横坐标相等，可得点 Q 的坐标，由SOQCOC CQ布列方程可得 k 的值.2进而求得 Q 点的坐标.例 4 已知：如图 1，在平面直角坐标系xOy中，Rt OCD 勺一边 OC 在x轴上，/ C=90, 点 D 在第一象限，OC=3 DC=4 反比例函数的图象经过 OD 的中点 A.1解:对一次函数y x-2，令y=0 得x=4 令x=0 得y=-2;2得到点 A、B 的坐标分别为(4

5、,0)和(0,-2).P 为 AB 上一点且 PC AOB 的中位线，得到 P(2,-1)k学习好资料欢迎下载设过A3.例 5 如图 2,反比例函数yB( 2, n )，次函数图像与(1) 求一次函数解析式；(2) 求 C 点的坐标；的图像与一次函数y = kx b的图像交于点 A( m, 2)，点xy 轴的交点为 C.,需先计算点 A 横坐标 m 和点 B 的纵坐标 n,只需把点 A( m, 2),2即可;(2)令(1)中的一次函数解析式中x=0 计算 y 即可得到 Cx点的坐标；(3)解：由题意：把y =-中得xm =1n - T二 A (1 , 2) AOC 的面积是 OC(C 点的纵坐

6、标)与 OC 边上的高(A 点的纵坐标)积的一半.A ( m 2) , B (-2 , n)代入B (-2 ， -1 )将AB 代入y二kx，b中得求该反比例函数的解析式；若该反比例函数的图象与Rt OCD 的另一边 DC 交于点 B求过AB 两点的直线的解析式.分析:本题考查用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式解:由题意得，点 A 的坐标是(1.5,2),该反比例函数的解析式为 y=3.x(把 x=3 代入 y=1.点 B 的坐标是_泳+6 解得2=1.5k +b.(3,1).设过AB 两点y = kx b,则点 B( 2, n )坐标代入 y =学习好资料欢迎下载k b =2 k =

7、1-2k b = -1 b =1一次函数解析式为：y =x 1(2)C (0, 1)11(3)SAOC1 1 =22例 6 如图，点 A（ m， m+ 1） , B （ m + 3, m 1 ）都在反比例函数y（1）求 m , k 的值；（2） 如果 M 为 x 轴上一点，N 为 y 轴上一点，以点 A, B, M , N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线 MN 的函数表达式.分析:把点AB 的坐标代入反比例函数 y关系式，得到关于xm, k的方程组,解方程组可求得m, k的值，则点 A、B 的坐标可求.根据平行四边形的对边平行通过平移，可求得点M ,N的坐标，进而可得直线 MN 的函数表

8、达式.解：（1）由题意可知，m m 1 = m 3 m -1 .解得，m = 3. A （3, 4） , B （6, 2） ;k= 4X 3=12.（2）存在两种情况，如图：当 M 点在 x 轴的正半轴上，N 点在 y 轴的正半轴上时，设 M1点坐标为（X1, 0）, M 点坐标为（0, yj .四边形 AN1M1B 为平行四边形，线段 N1M1可看作由线段 AB 向左平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位得到的由（1）知 A 点坐标为（3, 4）, B 点坐标为（6, 2）,N1点坐标为(0, 4 2),即 N1(0 , 2);M1点坐标为(6 3 , 0),即 M1( 3 , 0).设直

9、线 M1N1的函数表达式为 y =krX 2 ,把 x= 3 , y= 0 代入，解得 k -.3直线 M1N1的函数表达式为 y = -2x 2 .3当 M 点在 x 轴的负半轴上，N 点在 y 轴的负半轴上时，设 M2点坐标为（X2, 0）, N?点坐标为（0 , y2）./ AB/ N1M1, AB/ M2N2, AB= N1M1, AB= M2N2,N1M1/ M2N2, N1M1= M2N2.y=k的图象上.学习好资料欢迎下载3线段 M2N2与线段 N1M1关于原点 O 成中心对称.M2点坐标为（-3 , 0） , N2点坐标为（0, - 2）.设直线 M2N2的函数表达式为 y=k

10、2x2 ,把 x= - 3 , y = 0 代入，解得 k2=-2,3直线 M2N2的函数表达式为学习好资料欢迎下载所以，直线 MN 的函数表达式为Y=丄2或 y=_2x_2 33评注:本例涉及到求反比例函数图象上点的坐标及点在坐标系中的平移，直线函数表达式的求法.点在坐标系内沿水平方向左右平移，其纵坐标不变，横坐标左减右加，沿竖直方向上 下平移，其横坐标不变，纵坐标上加下减；本例还涉及到了分类讨论思想 .例 7 为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒已知药物释放过 程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕a后，y与t的函数关系式为 y =

11、 T （a为常数） ， 如图所示据图中提供的信息，解答下 列问题：（1）写出从药物释放开始，y（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学：那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？1分析：. （1） 根据点 P 在反比例函数图象上，可以求得反比例函数解析式 释放结束，即室内每立方米空气中的含药量y为 1 毫克的时间，再用待定系解析式.（2）根据含药量小于0.25毫克，列不等式，求得学生才能进入教室的时间QQ3解：（i）将点P（3,2）代入函数关系式y =T，解得a二号，则有y =药所以所求反比例函数关系式为y二寻（t-号）将y=1 代入y=寻，得t =3，；再将（f，1）代入 y =kt，得k- 3，所以所求正比例函数关系式为y =21 （ 0沁乞寻）.2