2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷湖南文含详解

1、2008 高考湖南文科数学试题及全解全析 选择题：本大题共 1010 小题，每小题 5 5 分，共 5050 分，在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 1 1.已知 U J.2,3,4,5,6,7 ；, M A A. M 门 N 4,6： C C. (CuN) M =U 【答案】 B B 【解析】 由 U =S,3,4,5,6,7?, = 3,4,5,71，N =E,4,5,6?，贝U ( ( ) ) B. M UN =u D. D. (CuM ) N = N M 3,4,5,71, N =2,4,5,6?，易知 B B 正确. . 2 2“ x1 2”是“ XC3”的( (

2、) ) A A .充分不必要条件 B.B.必要不充分条件 C C.充分必要条件 D.D.既不充分也不必要条件 【答案】A A 【解析】由x 1 C2得1xc3，所以易知选 A.A. X, 3 3.已条变量x, y满足 y兰2, 则x + y的最小值是( ( x-0, A A. 4 4 B.3B.3 C.2C.2 D.1D.1 【答案】C C 【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点 分别为(1,1),(1,2),(2,2),代入验证知在点 (1,1)时，x y最小值是1=2.故选 C.C. 2 4.4.函数f(X)=X(X岂0)的反函数是( ( ) ) A f x) yx(x _ 0) B

3、. f (x) 一$x(x 0) C. f 4 (x) = - 一 - x( x 一 0) 【答案】B B D. f (x) 一x2(x 空 0) 【解析】用特殊点法 , ,取原函数过点(-1,1),则其反函数过点(1,-1),验证知只有答案 B B 满足. . 也可用直接法或利用“原函数与反函数的定义域、值域互换”来解答。 ) ) 5.5.已知直线 m m、n n 和平面：、满足m _ n,m _，：_ -, ,则（ ) ) 【答案】C C 【解析】 用直接法： c3c； +c3c； +C；c5 =15 +30+15 =60, 或用间接法： 2 2 2 2 C4C6 -C3C5 =90 -3

4、0 =60,故选c . . 9 9.长方体ABCD -ABQ1D1的 8 8 个顶点在同一个球面上，且 AB=2 AB=2 , AD=AD=，3 , i - J J2 2 兀 A A . 4 【答案】B B 【解析】TBU = AG =2R =2、一2, R= 2,设 BD| 门 AC1 =0,则 OA = OB = R = 、2, 二 AOB , I 二 Rv 一 = 2 ,故选 E 2 2B. n/ l：i,或 n 二 C.n .1 :- 【答案】D D 【解析】易知 D D 正确. . 6 6.下面不等式成立的是（ ） A A . Iog3 2 ：. log 2 3 : log B B

5、. log 3 2 ：. log 2 5 ： log C.C. log 2 3 : log 3 2 . log 2 5 D.D. log2 3 . log 2 5 . log 32 【答案】A A 【解析】由 log3 2 : 1 log 2 3 . log2 5 , ,故选 A.A. 7 7.在 ABC 中，AB=AB=3 3 , AC=2 AC=2 , BC= BC= 10，贝U AB AC 二( ( 3 2 2 A A . B B. C.C.- - 2 3 3 【答案】D D T T 1 3 【解析】由余弦定理得 cos CAB ,所以ABAC =3 2 ,选D . . 4 4 2 &a

6、mp; &某市拟从 4 4 个重点项目和 6 6 个一般项目中各选 2 2 个项目作为本年度启动的项目, 则重点项目 A A 和一般项目 B B 至少有一个被选中的不同选法种数是 A A . 1515 B B. 4 45 5 C C . 6060 D D . 7575 AA1 -1，则顶点 A A、B B 间的球面距离是（ ） X y2 1010.双曲线 牙=1(a . 0,b . 0)的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等, a2 b 则双曲线离心率的取值范围是 ( ( ) ) A A. (1八 2 B B. .2, ：) C C. (1,.2 1 D D .辽 1,：) 【

7、答案】C C 2 2 2 a a a 【解析】 Texola =x0 (e1)x) a a_(e1)a, c c c .e1 叮 a =1 ，=e2 2e1 乞0, = 1 .2 乞 e 乞1 、.2, c e 而双曲线的离心率e .1,. en(1,、21,故选c . . 二、填空题：本大题共 5 5 小题，每小题 5 5 分，共 2525 分。把答案填在对应题号后的横线上。 - L 一 斗寸 11.11. 已知向量 a = (1,U3) , b=(2,0)，则 |a+b|= = _ . . 【答案】2 【解析】由 h；a ；=( -1, 3),. I a b ：V32. 12.12. 从某

8、地区 1500015000 位老人中随机抽取 500500 人，其生活能否自理的情况如下表所示： 性 人 另U 生活能数、 否自理 男 女 匕匕 厶冃 178178 278278 不能 2323 2121 则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多 _ 人。 【答案】6060 15000 【解析】由上表得(23 -21) 2 30 =60. 500 1 1313记(2x +)n的展开式中第 m m 项的系数为bm，若b3 = 2b4，则n = _ x 【答案】5 5 【解析】由二C；(2x)z (!)r =厂 C； xnr,得2心 C： =2 2心 C；, x 1414将圆x2 y2 =1沿

9、x x 轴正向平移 1 1 个单位后所得到圆 C C,则圆 C C 的方程是 所以解得n =5. 定义处葺咒二：）1） 则CL -2,3时，函数C8的值域是 =空 故函数c；的值域是（羊28. . 3 2 3， 3 三、解答题：本大题共 6 6 小题，共 7575 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.16.（本小题满分 1212 分） 甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试 合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人 1 面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响。求： 2 （I I） 至少有一人面试合格的概

10、率； （IIII） 没有人签约的概率。【答16 28 亍，（亍旳 【解8 当“2时，C-28当心3时，1小2 若过点（3 3, 0 0）的直线|和圆 C C 相切，则直线|的斜率为 1414将圆x2 y2 =1沿 x x 轴正向平移 1 1 个单位后所得到圆 C C,则圆 C C 的方程是 解：用 A,B,CA,B,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格由题意知 A,B,CA,B,C 相互独立， 口 1 且 P(A)二 P(B)二 P(C) (I I)至少有一人面试合格的概率是 1 - P(A B C) 1 3 7 =I_P(A)P(B)P(C)=I-(2)3=8. (II)没有人签约的概率为 P

11、(A B C) P(A B C) P(A B C) P(2) P( B) P(C) P(A)P(B) P(C)P(A) B) P(C) 1 3 1 3 1 3 3 勺八)肓 17.17.(本小题满分 1212 分) 已知函数 f(xcos2-sin22 sinx. . (I)求函数f(x)的最小正周期; t 兀、 4j2 兀 (II (II )当 x。(0,)且 f(X。) 时，求 f(x。-)的值。 4 5 6 解：由题设有 f(x)二cosxsinx = -、2sin(x . 4 (I)函数f(x)的最小正周期是T =2n (II (II )由 fdojuH2 得 J2s in(Xo 十

12、n)=空2,即sin (x()+ -) = -, 5 4 5 4 5 兀 n n兀 X。 (0,4), ,所以 xo - (4,?) ，冗！ 2 , n 4 2 3 cos(x。4) - 1-sin(x0 4)j1 (5)= 5 f (x0 ) = . 2 sin(x0 n )2 sin(x0 巧一 6 4 6 4 6 二 2sin(x()亍)cos $ cos(x0 )sin $ 因为 从而 二 一3=6 必 2 5 2 5 2 1 0 18.18.（本小题满分 1212 分） E E 是 CDCD 的中点，PA PA _底面 ABCDABCD，PA = 3 。 BCD是等边三角形. .因为

13、 E E 是 CDCD 的中点，所以 BE 丄 CD,又 AB/CD,所以 BE 丄 AB, 又因为 PA PA _平面 ABCD ABCD , BE二平面 ABCD ABCD , 所以PA丄BE,而PA|AB二代因此 BE丄平面 PAB.PAB. 又BE 平面 PBEPBE，所以平面 PBE PBE _平面 PAB.PAB. （IIII）由（I I）知，BE丄平面 PAB, PAB, PB 平面 PAB,PAB,所以PB_ BE. 又AB丄BE,所以.PBA是二面角A-BE-P的平面角. PA l , 在 Rt PAB 中，tan PBA 3, PBA = 60. AB 故二面角A - BE

14、 - P的大小为60; 解法二：如图所示，以 A A 为原点，建立空间直角坐标系则相关各点的坐标分别是 A（0,0,0）, B（1,0,0）, C（|，于,0）, D（1，于，）,P（0,0, 3）, E（1_23，） （I I）因为乩（0,节,0）,平面 PABPAB 的一个法向量是二（01,0）,所以 和 7 7：共线. . 从而BE丄平面 PAB.PAB.又因为BE 平面 PBEPBE，所以平面 PBE_PBE_平面 PAB.PAB. 3 (II(II)易知 PB =(1,0,-，BE =(0, ,0),设 n(x1, y, zj是平面 PBE PBE 的一个法向量， 2如图所示，四棱锥

15、 P -ABCD的底面ABCD是边长为 1 1 的菱形, .BCD 二 600 0， （I I） 证明：平面 PBE_PBE_平面 PABPAB； （IIII） 求二面角 A A BE BE P P 的解：解法一（I I）如图所示，连结BD,由ABCD是菱形且/ BCD =60知, X 0 % -3乙=0, 得* 所以y1=0,咅=丁3弓. 0 x捲+y| + 0汉乙=0 、 2 故可取m =(. 3,0，).而平面ABE的一个法向量是n2 =(0,01). 是心拆冷 故二面角 A - BE - P的大小为60. 19.19.(本小题满分 1313 分) 已知椭圆的中心在原点，一个焦点是 F(

16、2,0)，且两条准线间的距离为 ( 4)。 (I(I)求椭圆的方程； (I(II I )若存在过点 A A( 1 1， 求的取值范围。 2a2 由条件知 c = 2,且 ，所以 a2 = , b2 = a2 -C2 =，- 4. c 2 2 故椭圆的方程是 1C 4). 4 (II(II)依题意,直线I的斜率存在且不为 0,0,记为k, ,则直线I的方程是y二k(x-1). 设点F(2,0)关于直线I的对称点为F(x, yo),则 即( -4)k 2，- 6)k? ( - 4)2 = 0. H T g PB =0, 则由 j n BE =0 0 0)的直线I，使点 F F 关于直线I的对称点在

17、椭圆上, 解：(I I)设椭圆的方程为 2 2 笃每=1(a b 0). a b W = k(心-1), 2 2 k1 X0 -2 解得 X y。 2 2， 1 k2 _ 2k 1 k2 因为点F (x。，y。)在椭圆上， 所以 Z. -4 设 k2 =t,则(-4) 2 ( -6)t ( -4)2=0. 因为 4,所以（一4） . 0.于 丸（丸4） :=2 （ -6）2-4 （ 一4）3, 当且仅当 2 C -6） 0. I扎（人一4） 上述方程存在正实根，即直线I存在. . 解（）得 16 , 16 3 所以4丸兰一. 4 九 c6. 3 即，的取值范围是4 -16. 3 2020.（本

18、小题满分 1313 分） 数列耳满足 ai = 0,a2 二 2, an .2 =（1 cos2 n二 2 . y）an 4sin 空川=1,2,3,川, 求a3,a4，并求数列：anf的通项公式； (II (II )设 Sk 二印 a? |( a2kd , Tk 二 a? a |( a?k , Wk 二2 N*), 求使Wk 1的所有 k k 的值，并说明理由。 2 : 解：(I I)因为 a1 = 0, a2 二 2,所以 a (1 cos )a1 - 4sin2?二 4 = 4, 2 2 a4 =(1 cos 二)a2 4sin 2a2 = 4, 般地， 当 n 二 2k-1(k N )

19、时, a2k 1 二1 cos2 笃1）减心 4sin2 二 即a? -a? =4.所以数列 订2k是首项为、 = a2k_i - 4, 公差为 4 4 的等差数列, 因此 a2k 4 = 4(k -1). 丄 2 2k兀 2 2k 当 n 二 2k(k N )时，a2k 1 cos2 a2k 4sin2 2a2k, 所以数列:a2k /是首项为 2 2、公比为 2 2 的等比数列，因此 a2k =2k. 2(n 1), n = 2k 1(k N *), 故数列：aj的通项公式为a.二丄 护,n = 2k(k亡 N*) (II (II )由(I I)知,Sk 二 ai a3 |( a2kj =

20、0 4 4(k -1) = 2k(k -1), 3 3 5 15 于是 W| = 0, W2 = 1, W3 , , W5 , W6 2 2 4 16 下面证明：当k _6时，Wk : 1.事实上，当k_6时， (k 1)k k(k -1) k(3-k) 2k k1 2k 又W6 ：1,所以当 k _6时，Wk ： 1. 故满足 Wk 1的所有 k k 的值为 3,4,5.3,4,5. 2121.(本小题满分 1313 分) 1 4 3 9 2 已知函数f(x) x x x cx有三个极值点。 4 2 (I) 证明：一27 ：c ： 5 ; (II) 若存在实数 C C,使函数f (x)在区间

21、a, a 2 1上单调递减，求a的取值范围。 _ 1 4 3 9 2 解：(I I)因为函数f(x) x x x cx有三个极值点， 所以f(x) =x3 - 3x2 -9x c = 0有三个互异的实根. . 设 g(x) =x3 3x2 9x c,则 g (x) =3x2 6x9 =3(x 3)(x 1), 当 x ：-3时，g (x) 0, g(x)在(-：，-3)上为增函数； 当-3 ：x 1 时，g(x) ：0, g(x)在(-3,1)上为减函数; ; 当x 1时，g (x) 0, g(x)在(1, *：)上为增函数； 所以函数g(x)在x = -3时取极大值，在x = 1时取极小值. . 当g( -3)-0或g (1)亠0时，g(x) = 0最多只有两个不同实根. . 因为g(x) =0有三个不同实根，所以g3) 0且