人教版九年级数学上册第22章：二次函数专题重要知识考点提示及例题分析(期末复习)

1、九年级数学上册专题：二次函数考点提示及例题分析二次函数高频考点及考查题型考点常见题型二次函数及其图像确疋二次函数表达式解答题借助图像理解性质选择题解答题二次函数的性质和应用用二次函数解决实际问题填空题解答题解决二次函数和其它知识综合的有关冋题解答题考点知识提示1 1判断一个函数是否是二次函数要关注 3 3 点：（1 1）等号右边是否是整式；（2 2）自变量的最高次数是否是 2 2；（ 3 3）二次函数的系数是否 不为 0 0。例题：下列四个函数中，一定是二次函数的是（）2 2 2 2A. y=1/x+xB.y=ax+bx+c C.y=x （x+7）D.y=（x+1）（2x 1）分析：A.自变量

2、的最高次数不是 2,故错误；B. a=0 时，不是二次函数，故错误；C. 原方程可得 y=14x49,是一次函数，故错误；D. 原方程可得 y=2x2+x 1,符合二次函数的定义，故正确2.2.二次函数是解决现实问题的一个工具，要特别注意实际问题中自变量的取值范围。例题：某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为 6 千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润 yi（元）与国内销 售数量 x（103件）的关系为：(5x+90(0 x 2) yi=彳彳I 5x+130(2 x6)若在国外销售,平均每件产品的利润 y2(元)与国外的销售数量 t

3、 (103件)的关系为：广 100 (0tW2)y2= v(5t+110(2wt6)(1) 用的代式表示 t 为 t=_ 。当 0 xw4 时，y2与 x 的函数关系为 y2=_ ;当4 x_时，y2=100(2) 求每年该公司钠售这种健身产品的总利润 w(103元)与国内的钠售数量 x(103件)的函数关系式，并指出 x 的取值范围。解：(1)由题意，得 X+t=6，故 t=6-X100 (0vtw2)y2=(5t+110(2Wt6)当 0 xw4 时,2W6-x6,即 2t6此时 y2与的函数关系为：y2=5(6-X)+110=5X+80当 4Wx6 时，0W6-x4，即 0tw2此时 y

4、2=100故答案为:6-X ; 5X+80; 6(2) 分三种情况1当 0 xw2 时 W=(15x+90)x+(5x+80)(6-x)=10 x2+40 x+4802当 2x 4 时 W=(-5x+130)x+(5x+80)(6-x)= -10 x +80 x+4803当 4x6 时,W=(-5x+130)x+100(6-x)= -5x2+30 x+600/ 210X2+40X+480(0XW 2)W=-10X2+80X+480(2X 4)-5X2+30X+600(4X0 0 时，开口向上，a av0 0 时，开口向下。例题：若函数 y=mxm2-2是关于X的二次函数，且图像开口向上则 m

5、的值为多少？分析：因为是二次函数，所以 m2-2=2，解得 m= 2又因为函数图像开口向上，所 m0，故取 m=2。5 5易错提示：注意位于不同象限的抛物线上的点的横纵坐标的正负号。如：已知 P(m，a)是抛物线 y=ax2(a 0)上的点，且点 P 在第一象限，求 m 的值。分析：将点 P 坐标代入 y=ax2，可得 a=am2，解得 m= 1，因为点 P 在第一象限，所以 m=1。6.6.二次函数 y=y= axax2 2+c+c 的图像可以通过 y=axy=ax2 2的图像向上或向下得到，当 c c0 0 时，向上平移 c c 个单位，c cv0 0 时，向下平移丨 c c 丨个单位。例

6、题：已知点 P (-1, m)在二次函数 y=x2 1 的图像上，贝 U m 的值为_ ;平移此二次函数的图像，是点 P 与(-1,2)重合，贝 U U 平移后的函数图像所对应的解析式为 _ 。分析：将点 p (-1，m)坐标值代入 y=x2 1，可得 m=0；可知此时点 P 坐标为(-1,0)，若要与(-1,2)重合，则要向上平移 2 个单位，则平移后的函 数图像所对应的解析式为 y=x21+2，即 y=x2+1。易错提示：当用运动的视角描述图像的平移时，要准确确定原图像和新图像。7 7用二次函数 y=y= axax2 2+c+c 的图像解决实际问题时，注意要根据题目的条件结合图像选择合适的

7、 坐标点进行计算。例题：如图为某市一条高速公路上的隧道口在平面直角坐标系上的示意图 （0 为 AA1的中点）， 隧道的截面边线由抛物线和矩形的三条边组成， 矩形的长为 16m，宽为 6m,抛物线的表达式12为 y=32X2+8.现有一辆大型货车，装载某大型设备后，其宽为4m 车载大型设备的顶部与路面的距离为 7m 它是否能安全通过这个隧道？说明理由。分析：货车是否能够安全通过隧道，要考虑其宽度，还要考虑其高度。已知货车的宽度为 4m,小于隧道宽度 6m；货车加上设备的高度为 7m，货车要安全通过隧道，就要尽量在隧道顶部的高位点下行驶， 那 么只有货车的中心线与 y 轴重合时，货车处在隧道最高处

8、的下方，已知货车宽为 4 米，那么 货车左右两边侧关于 y 轴对称，在 x 轴上的坐标分别为右边 Di（ 2,0）和左边 D（ -2,0），只需 取其中一个点的坐标即可，我们取右边 Di（2,0），那么该点向上平移，到抛物线上后横坐标仍为 2,代入抛物线的表达式为 y=32x2+8,即可求得 y 的值，只要 y 值大于货车总高即可安 全通过。12解：4 十 2=2m 将 x=2,代入 y= 宓2+8，求得 y=78 7，又 4m 0 0 时，向 右平移 h h 个单位，h hv0 0 时，向左平移Ih h|个单位，当 k k0 0 时，向上平移 k k 个单位，k kv0 0 时，向下平移丨

9、k kI个单位；其图像是一条对称轴为直线 x=hx=h，顶点坐标为(h(h，k)k)的抛物线。 例题：已知二次函数y=x24x+3.(1) 求其图像的顶点坐标和对称轴；(2) 求该函数图像与 x 轴的交点坐标；(3) 它经过怎样的平移变换，就能得到抛物线 y=x2+1.分析：用配方法将 y=x24x+3 化成 y=a(x h)2+k 形式，即 y=(x 2)2 1，(1) 由 y=(x2)2 1 可知，其图像顶点坐标为(2， 1)，对称轴为直线 x=2;(2) 该函数图像与与 x 轴的交点即 y=0，即(x2)2仁 0解得：x=3，x=1，故与 x 轴交点坐标为(3,0)和(1,0)(3)y=

10、(x2)2 1 的图像平移转换为 y=x2+1 的图像， (可以反向推断)需要向左平移 2 个单 位，再向下平移 2 个单位。结论：二次函数 y=ax2+bx+c 是通过配方法转化成 y=a(xh)2+k 的形式研究的，因此要把握住 转化思想。易错提醒：y=a(xh)2+k 中，h 前为“一”，在确定其图像的对称轴和顶点坐标时要注意符号。9 9要确定二次函数 y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c 图像的对称轴和顶点坐标，可以利用配方法，也可以利用公式bb 4ac b2 2法。公式：对称轴为直线 x=x=- -，顶点坐标为（一-，-）。2a2a 4a如：已知抛物线 y=x2+mx+m 2.

11、证明：不论 m 取何值，抛物线的顶点分析：用配方法原方程可得：y（x+2m）21n2+n 2,可知顶点坐标为用公式法可得顶点坐标：2b14ac b12XQ=2a= 2m yQ= 4a = 4m+m-2；两种方法结果是相同的，若讨论该函数图像的顶点与 x 轴的关系，只需求证顶点纵坐标的正 负性即可121 121 1 12yQ=4m+n 2=4（ m+2） 2 才才= =/（ m+2）+9可知无论 m 为何值，都有 yQV0,即顶点 Q 在 x 轴的下方。注意：在解决函数问题时，一定要数形结合，把数的精确与形的直观统一起来。10.我们求一次函数和二次函数最常用的方法是待定系数法。例题：如图是一个二

12、次函数图像，求其关于 y 轴对称的抛物线的表达式。分析：有图像抛物线可知，该二次函数与 x 轴的交点坐标分别为（1,0）和（3,0），与 y 轴的 交点坐标为（0,3），则其关于 y 轴对称的抛物线与 x 轴的交点坐标分别为（-1,3）和（-3,0）, 与 y 轴的交点坐标为（0,3）设该函数关于 y 轴对称的抛物线的表达式为 y=ax2+bx+c将以上三个坐标值分别代入表达式y=ax2+bx+c 可得：Q 总在 x 轴的下方。（2m 1n2+n2）；a-b+3=0 3a-b+1=0c=3.解组成的方程组，可得 a=1, b=4, c=3则其表达式为 y=X2+4X+3注意：二次函数的表达式有

13、三种形式：（1） 一般式 y=ax2+bx+c；（2） 顶点式 y=a（x h）2+k（3） 交点式：y= （X xi）（XX2）仅限于与X轴有交点（xi,0）和（x2,0）的抛物线。1111易错提示：求二次函数解析式时，若题目已知顶点坐标，则此时做好的方法是设顶点式。 如：已知二次函数 y 的顶点（1,2）和其抛物线上另一点（3,10），求其解析式。分析：已知该函数的顶点为（1,2），可设其顶点解析式为：y=a（x-1）2+2将（3,10）代入得：4a+2=10,可解得 a=2,故其解析式为 y=2（x-1）2+21212二次函数的最值与二次函数有关：a a 0 0 时，函数图像开口向上，函

14、数有最小值；a av0 0 时, 函数开口向下，函数有最大值。42如：函数 y=-2-3x2有最_ 值，为_ 。412.二次函数的增减性也与二次项系数有关：a a 0 0 时，在对称轴的左侧，y y 随 x x 的增大而减小， 在对称轴的右侧，a av0 0 时，y y 随 x x 的增大而增大；在对称轴的左侧，y y 随 x x 的增大而增大, a av0 0 时，y y 随 x x42分析：函数 y=x-2-3x2，可知 a= -3v0，函数开口向下，有最大值函数 y 最大值即其抛物线顶点的纵坐标的值，即4ac b24X(-3)X(-2)-(4)2y=4X(-3)5027的增大而减小。判断

15、函数的增减性时，要注意数形结合例题：如图所示的抛物线的顶点坐标是 P （1,3）,若 y 随着 x 的增大而增大，则 x 的取值范围分析：由图可知，抛物线是以 x=1 的直线为对称轴，开口向下的图像，则 y 随着 x 的增大而增大的部分在对称轴的左侧，即直线 x=1 的左侧，所以 x 的取值范围是 x5 时， yv0,即不等式 ax2+bx+cv0,所以不等式 的解集为 xv-1或 x 5。14.14. 在解决和实际有关的问题中，如果问题涉及最值问题，那么一定要有使用二次函数的意识。例题：某种商品每件的进价为 10 元，在销售过程中发现，平均每天的销售量 y （件）与销售(1) 求平均每天销售

16、这种商品的利润 w (元)与销售价 x 之间的函数关系式。(2) 当这种商品的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 分析：由题意知，每件商品的利润是 x10 元，每天的销售量 y=2x+60 则每天销售这种商品的利润 w=( x10)( 2x+60)，即：w= -2x5 6+80 x-600由二次函数 w=-2X2+80X-600可知，该函数的图像是开口向下的抛物线，求最大利润，就 是求该函数图像的顶点坐标值，所以当 x=2a = =20 时，y 有最大值，ymax=200.即这种商品的销售价为 20 元时，可以获得最大利润，最大利润是 200 元。15.15. 易错提示：利用

17、二次函数解决某些最值问题，通常最值在图像顶点处，但由于定义域的限 制，有时图像顶点无法直接取到，就需要具体问题具体分析。例题：如图所示，已知抛物线 y=x2+bx+c 的图像与 x 轴的一个交点 B(5,0)，另一个交点为 A， 且与y 轴交于点 C(0,5)。5求直线 BC 与抛物线的解析式；6 若点 M 是抛物线在 x 轴下方图像上的一动点，过点 M 作 MN / y 轴交直线 BC 于点 N，求 MN 的最大值。价 x(元/件)之间的关系可近似的看作一次函数y=2x+60.分析：（1）设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，将 B、C 两点的坐标代入，可得:5k+b=0，b=5，可得 k = -1，b=5,则直线 BC 的解析式为 y= -x+5再将 B、C 两点的坐标代入 y=x2+bx+c，可得：25+5b+c=0，c=5，可得 b= -6，c=5，则抛物线的解析式：y=x2-6x+5（2）由 y=x2-6x+5 可知，抛物线与 x 轴的交点 A 坐标是（1,0），B 坐标为（5,0）因为 M 在 x 轴的下方图像上，故点 M 的横坐标 x 的