高中数学导数知识点归纳的总结及例题

1、实用标准文案导数考试内容：导数的背影.导数的概念.多项式函数的导数.利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值.考试要求：(1) 了解导数概念的某些实际背景.(2)理解导数的几何意义.(3)掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n C N+)的导数公式，会求多项式函数的导数.(4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值.(5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值.§14.导数知识要点1 .导数(导函数的简称)的定义：设X0是函数y = f(x)定义域的一点，如果自变量x在X0处 有增量山

2、，则函数值y也引起相应的增量Ay = f (x0 +Ax)-f (x0);比值 生= f(x0 %)-f(xo)称为函数y = f (x)在点xo到xo +&之间的平均变化率；如果极限xLxlim a = lim f(x0 +&)-f(xo)存在,则称函数y = f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做 .x0 x .xoxy = f (x)在 xo处的导数，记作 f (xo)或 y，即 f (xo) = my = Jim-(x0x"x0") .注：及是增量，我们也称为 改变量”，因为及可正，可负，但不为零.以知函数y = f(x)定义域为A, y=f

3、9;(x)的定义域为B ,则A与B关系为A3B .2.函数y=f(x)在点xo处连续与点xo处可导的关系：函数y = f (x)在点xo处连续是y = f (x)在点xo处可导的必要不充分条件.可以证明，如果 y = f(x)在点xo处可导，那么y = f(x)点xo处连续.事实上，令 x=xo+&,则xTxo相当于 Axto.于是 Jim f (x) = lim f(xox) = limjf(x xo) -f(xo) f(xo)“XmJf (X0 x) - f(xo)=xT(x0) = limpf(Xo二 X) - f(Xo)xlim - limQ f(x0) = f (x0) 0-

4、 f(x0) = f(x0).如果y =f(x)点X0处连续，那么y = f(x)在点X0处可导，是不成立的.例：f(x)=|x|在点xo =0处连续，但在点xo =0处不可导，因为 2=巴，当Ax>0时, X. .X包=1；当s<0时，曳=_1,故lim包不存在.X=XLJ0 A注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3 .导数的几何意义：函数y =f(x)在点xo处的导数的几何意义就是曲线y = f(x)在点(xo, f (x)处的切线的斜率 也就是说，曲线y = f(x)在点P(%,f(x)处的切线的斜率是f'(Xo),切线方程为y -

5、yo = f (x)(x -xo).4 .求导数的四则运算法则：, . ' ' ' . . ' ' .' . . ' (u 二v) =u 二v =. y = f1(x) f2 (x) . fn (x) =- y = f1 (x) f2 (x) ,. fn (x)(uv) =vu +v u = (cv) =c v +cv =cv ( c为常数)u vu - v u , c、2 (v 二 o)vv注：u,v必须是可导函数.若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.22例如：设 f (x

6、) =2sin x十一，g(x) =cosx-,则f (x), g(x)在x=o处均不可导，但匕们和 XXf(x) +g(x) =sinx+cosx在 x=o处均可导.5 .复合函数的求导法则：fx'(*(x) =f'(u)O(x)或 y'x =y'u u'x复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形6 .函数单调性：函数单调性的判定方法：设函数y = f(x)在某个区间内可导，如果f'(x) >0,则y = f(x)为增函数；如果f'(x) <0,则y=f(x)为减函数.常数的判定方法；如果函数y=f(x)在区间I内恒有f

7、'(x)=0,则y = f(x)为常数.注：f(x)M。是f (x)递增的充分条件，但不是必要条件，如y=2x3在(q,依)上并不是都有f(x) »0 ,有一个点例外即x=0时f (x) = 0,同样”*)。是£ (x)递减的充分非必 要条件.一般地，如果f (x)在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正(或负)，那么 f (x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的 7 .极值的判别方法：(极值是在x0附近所有的点，者B有f (x) < f (x0),则f(x0)是函数f(x) 的极大值，极小值同理)当函数f (x)在点xo处连续时， 如果在X0附近的左

8、侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(Xo)是极大值;如果在xo附近的左侧f (x) <0,右侧f (x) >0,那么f(xo)是极小值.也就是说xo是极值点的充分条件是 xo点两侧导数异号，而不是 f'(x)=o.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点 .当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确 定的，即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同) 注： 若点xo是可导函数f(x)的极值点，则f'(x)=0.但反过来不一定成立.对于可导函 数，其一点X0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零 例如：函

9、数y=f(x)=x3, x =0使f'(x)=o,但x=o不是极值点.例如：函数y=f(x)=|x|,在点x=0处不可导，但点x=0是函数的极小值点.8 .极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进 行比较.注：函数的极值点一定有意义 .9 .几种常见的函数导数：I. C =0 ( C为常数)(sin x) =cosx,.、,1(arcsin x)=.1 - x2(xn)' =nxn4 ( nWR)(cos x) = - sin x(arccos x) - - 一1 一 ,1-x21II. (ln x)=- x,、,1,(log a x) =-

10、 loga e x,、1(arctan x)=-x 1xx(e ) = e(ax)= ax In a,、,1(arc cot x)= x2 1精彩文档III.求导的常见方法：yjx-aax-agx-an)两(xbi)(xb2).(x-bn)1 L吊用结论：(ln|x|)=一.形如 y =(xa-)(xa2)(xan)或 x边同取自然对数，可转化求代数和形式.无理函数或形如 y=xx这类函数，如y=xx取自然对数之后可变形为lny=xlnx,对两边求导可得 y = In x x -= y = yln x y= y = xx In x xx. yx导数中的切线问题例题1:已知切点，求曲线的切线方程

11、32曲线y=x 3x +1在点（1,-1）处的切线方程为（）例题2:已知斜率，求曲线的切线方程与直线2x y +4 =0的平行的抛物线 y =x2的切线方程是（）注意：此题所给的曲线是抛物线， 故也可利用法加以解决，即设切线方程为y=2x + b, 代入y =x2,得x2 2xb=0 ,又因为0=Q,得b = 1 ,故选D.例题3:已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法.求过曲线y =x3 2x上的点（1, 1）的切线方程.例题4:已知过曲线外一点，求切线方程 求过点（2,0）且与曲线y=1相切的直线方程.x练习题：已知函数y=x

12、33x,过点A（0,16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程.看看几个高考题x1. (2009全国卷n)曲线 y =在点(1,1)处的切线万程为2x -1 .一22 .(2010江西卷)设函数 f(x) = g(x) + x ,曲线y = g(x)在点(1,g(1)处的切线万程为y = 2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处切线的斜率为x3 . (2009宁夏海南卷)曲线y = xe +2x+1在点(0,1)处的切线万程为 。324 .(2009浙江)(本题满分 15分)已知函数 f (x) = x +(1a)x a(a+2)x +b (a,b= R).(I)若函数f(x)的图象

13、过原点，且在原点处的切线斜率是-3,求a,b的值；5 . (2009北京)(本小题共 14分)设函数 f (x) = x3 -3ax b(a = 0).(I)若曲线y = f(x)在点(2,f(x)处与直线y=8相切，求a,b的值；6 1函数的单调性和导数1 .利用导数的符号来判断函数单调性：一般地，设函数 y = f (x)在某个区间可导， '如果在这个区间内 f (x)>0,则y = f (x)为这个区间内的 ；如果在这个区间内 f'(x) <0 ,则y = f (x)为这个区间内的 2 .利用导数确定函数的单调性的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求

14、出函数的导数；(3)解不等式f'(x)>0,得函数的单调递增区间；解不等式f'(x)<0,得函数的单调递减区间.【例题讲解】.3a) 求证：y =x +1在(-«,0)上是增函数。b) 确定函数f(x)=2x36x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数【课堂练习】1 .确定下列函数的单调区间(1)y=x39x2+24x (2)y=3x x3f .已知函数 f (x) =x ln x ,则()A.在(0,48)上递增 B.在(0,)上递减J 1/1 1C.在0,- 上递增 D.在0,- |上递减< e>< eJ3 .函数f (x)

15、=x3_3x2 _5的单调递增区间是 函数图象及其导函数图象1 .函数y = f(x)在定义域(-万,3)内可导，其图象如图，记y = f (x)的导函数为y=f/(x),则不等3,式f /(x) <0的解集为 2 .函数f(x)的定义域为开区间 (-|，3),导函数3 f (x)在(,3)内的图象如图所不，则函数 f(x)2的单调增区间是叮y =(x)力G'/A3 > j/0 ' /i in - *3.如图为函数 f (x) = ax3+bx2+cx+d的图象，f'(x)为函数f(x)的导函数，则不等式 x吁'(x) <0的解集为 4.若函数

16、f (x) =x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则其导函数tr tvvtz3/ 33 !y« jlL -F F xf '(x)的图象是() fy厂卜AB5.函数y = f (x)的图象过原点且它的导函数 条直线，则y = f (x)图象的顶点在()CDf '(x)的图象是如图所示的一y fA. A象限B .第二象限C .第三象限6.(2007年广东佛山)设f '(x)是函数f(x)的导函数y易如右图所示，则 y yfx)的图象最后可能的是y(td .第四象限LX一,y t y=f'(x)的图 /)y y oN4>2Xip4X O DA7.设函

17、数f(x)在定义域内可导， 为()2 2 /to. 、一b 1 4X/O 1sSi 2 ZBCDy=f(x)的图象如卜左图所不，则导函数y=f (x)的图象可能8.(安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科)函数y = f (x)的图像如下右图所示，则y = f '(x)的图像可能是9.(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已知函数f(x)的导函数f (x) =ax2+bx+c的图象如右图，贝Uf(x)的图象可能是()11. (2008广州二模文、理)已知二次函数f(x)的图象如图1所示，则其导函数f (x)的图象大致形状是()I卞I 1IJ.12.(2009

18、湖南卷文)若函数y = f (x)的号邺处在区间a,b上是增函数，则函数y=f(x)在区间a,b上的图象可能是13.(福建卷11)如果函数y= f(x)的图象如右图，那么导函数y = f'(x)的图象可能是()14. ( 2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x) 的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是()15. (2008珠海一模文、理)设f'(x)是函数f(x)的导函数，将y = f(x4Dy= f'(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是()16.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数yy = f (x)的导函数y = 函数f (x)有1个极大值点 函数f (x)有2个极大值点 函数f (X)有3个极大值