“元数学”悖论、“不可判定”悖论与“哥德尔定理”悖论

1、“元数学”悖论、“不可判定”悖论与“哥德尔定理”悖论沈卫国昨天刚刚说的，昨发一篇关于悖论的文章是我学术生涯“最后一篇”的“收官之作”，今后不会主动再写文的，没想到今天就被打破了。只是突然想到，关于所谓的“元数学”这个概念，尽管前期文章中早就讨论的够不够了，但似乎有必要再多说几句。“元数学”这个概念，大概是希尔伯特首先提出的。也就是关于形式系统自身的评论、判断命题。比如“形式系统X是一致的”，这个命题就属于所谓的“元数学”（见参考文献1）。按此种思路，我们甚至可以有也必须有所谓的“原生物学”、“元精神分析学”（见参考文献1），就连我们平时说话的自然语言，也会有所谓的“元语言”等等。但是，自从盘古

2、开天地，自从我们的老祖宗会说话时候起，谁人关心过甚至提出、区分、使用过这种所谓的、独出新裁的“元语言”？这种东西之所以被“需要”，不过是为了解决（其实是回避）系统中的悖论问题，一如罗素为了解决罗素悖论搞出的现在公认是失败的“分支类型论”。这种叠床架屋、捉襟见肘的东西，一听就知道不妙。但却被很多人视为圭臬，无限地顶礼膜拜。显然，如果对形式系统自身或其某一个命题、断语的判定只能在该系统之外的“元系统”中进行的话，那么我们其实根本就无法做出任何判断。甚至连这句“根本就无法做出任何判断”都无法判断。因为很简单，在“元系统1”中的判断，这个判断语句本身在“元系统1”中也不可判断，那么我们又不得不需要“更

3、高一层”的“元系统2”，或“元元系统”，.依次类推，可至无穷。甚至是不可数无穷（如果真的有的话）。那么，问题又来了，对所有这些无穷多的元系统（或元数学）的总和，有没有一个判断？如有，那么就会有更高的层次的“元系统”。按此思路，必然导致类似康托超限数这样的东西：自然数1、2、3、.，视为，然后又+1、+2、.，视为2，.，等等，又有2，.等等。没完了。总之，有多少超限数，就有多少个“元系统”或“元数学”或“元生物学”或“元精神分析学”或“元语言”。而且这些无穷多的“元系统”到此为止起码还都是“可数的”，如果再考虑上什么康托的第一、第二、第三“生成原则”，还会有不可数，不不可数，不不不可数（不可数

4、上面还有更不可数的！）无穷多个或无穷多层“元系统”（元数学）。再往上，又会有不可数无穷多层.。这种东西，不叫个“荒唐”，还能叫个什么？而这一切，居然为以往论者故意忽略。他们只是提到一层元数学就为止了，以后的事不管了（可能倒是哥德尔本人除外，他应该起码对他的定理会导致有可数无穷层的元数学是知道的）。实际上，只要有一个元数学、元系统，潘多拉盒子就算打开了，魔鬼就算放出来了。其结果只能与罗素的“分支类型论”的命运一样：被抛弃。更何况，我们会问（没有任何人可以不许我们问），所有这些元系统（元数学），可不可以看成是一个整体？也就是，这些无穷多的、甚至超穷多的、甚至不可数无穷多的、更不可数无穷多的不可数无

5、穷多的元系统层次（元数学层次），是不是实无穷意义的，还是只能是潜无穷意义的（不可能被看成一个整体）？这个问题，实际上与康托的整体无穷悖论等价，也就是有没有“全体集合的集合”？这必然构成悖论（不详述了），为现有形式公理系统所禁止。在元系统这个问题上，如果有这样的“最终元系统”存在，则任何其下层的元系统都是该最终元系统的一个某层的子元系统，在这个意义上，都是最终元系统内的，因此哥德尔定理不成立。它就是一个最终元系统、最终元数学中的悖论。而按哥德尔的说法，这一切就可以导致整个系统不一致（有矛盾）。而如果把这些元系统层次看成是无终结的，则哥德尔定理得到的命题“本命题不可判定”本身根本就也不可判定。理由

6、很简单，按哥德尔的说法，在形式系统中该命题不可判定，但又是真的，这个判断（关于形式系统本身的）只能是在元数学层次进行。而这个在元数学层次得到的真命题“本命题不可判定”本身，凭什么就可以为真？它作为一个元命题，难道就可以在元数学中判定吗？当然不行。于是又需要一个第二层的元元数学，或元数学2。依次类推。可到无穷层。而且无穷尽，不能看成有完结或成为一个整体（理由前面已经讨论了），既然如此，那个“本命题不可判定”的断语，只能由上一层的“元系统”（元数学）来确定，但上一层的这个确定，又必须由更上一层来确定。但这个所谓的“层”是无尽头的，没有个完的，于是我们只能得出结论，关于“不可判定”本身的判定，是无法

7、最终判定的。但是，这个结论也是一个结论，即，无法判定本身的无法判定本身，又是无法最终判定的。依次类推，连无法判定都无法判定，而“无法判定都无法判定”，也还是无法判定，.，这还有个完吗？于是只有得到，什么都无法判定，连这个结论本身都无法判定。最后是一片混沌。什么都无法判定，连它（一切都不可判定自身）都无法判定。总之，你不能得出任何结论（包括这个结论本身），任何结论都无法判定。当然，连所谓的哥德尔定理本身也不可判定，元数学的说法，等等，全部不可判定。没有是非，甚至连“没有是非”本身都没有是非。总之，如果不可判定，则必然就是一个判定，也就是可以判定；而可以判定，则这个判定不可判定，又是不可判定。这实

8、质上就还是一个悖论。因此，哥德尔定理试图摆脱的悖论，是最终无法摆脱的掉的。换言之，试图认为形式系统没有矛盾（一致性、协调性），而只是不完备来消除系统矛盾，终究是“竹篮打水一场空”。任何形式公理系统，只能通过一些公理的设立而禁止明显的矛盾出现。比如，此公理为“禁止某种类型的矛盾或可以产生矛盾的命题出现在系统中”。但通过对悖论的分析我们可以知道（见笔者前面的文章），悖论是系统中的隐蔽矛盾（在破解之前），既然是隐蔽的，就是一时看不出其表述与形式系统中对矛盾的限定公理有什么冲突。公理只能预先明确限定明显的矛盾，而不可能事先限定还没有暴露的矛盾如果可以，那还有什么“没有暴露的矛盾”这回事吗？而所谓的“未

9、暴露的、隐蔽着的矛盾”，事实上也就是未被破解的悖论。具体的例子就是那个著名的哥德尔命题（本命题非定理）。只有在我们发现它可以构成矛盾，是一个彻头彻尾的悖论后，我们才可能再去援引相应的形式系统公理去限定它，否定它。把其归于另类、废句，而不是看做定理。总之，公理不可能限制住那些不明显的，隐蔽的，尚未被发现的矛盾。它只能限制住已经明显是矛盾的矛盾。哥德尔和其后的许多人却人为，形式公理系统是可以限制住任何明显或隐蔽的矛盾（悖论）的，否则这个系统就是不协调的、含矛盾的、不一致的。其实这是个误解。系统中的矛盾，只要不是定理，就可以存在，也必然会存在。因为它已经存在于公理的表述中了，否则公理限制什么呢？还不

10、是矛盾。但在试图限制矛盾的所需公理的那个“限制矛盾”的表述语句本身中，关于矛盾的表述已然赫然在列，也就是预先存在了。已经存在的东西，才可能再被限制，否则连限制的是什么都不会知道。即使在限制矛盾的公理的表述中，也是如此的。即，连公理本身，也摆脱不了这个命运。如此，在一个公理系统中，自然也无法保证隐蔽的矛盾绝对不会出现，而只能保证当其出现后把它归于矛盾的另类集合，而不是归于系统定理，即系统中的真语句、真命题。总之，公理的隐台词是，它只能限制而保证不出现那些被其明确地限制了的“显”矛盾，或这个矛盾一旦出现，立刻将其驱逐出定理系统，给其打上非真的标签。而公理显然“预先”限制不了还一时没有暴露出来的隐蔽

11、着的“隐矛盾”，也就是悖论形式的矛盾。只能是等这些看似无矛盾的、可以构成悖论、最终是矛盾的语句、命题暴露出来后（破解后），也就是我们明白了其是一个悖论、矛盾后，再去限制其作为系统定理也就是真命题的存在。毕竟，说公理限制了矛盾，也不过是把这个矛盾表达出来后的再限制，否则都还不知道有这个矛盾，如何限制？因此与哥德尔及很多人认为的相反，不是系统一推出矛盾，或一构造出矛盾，系统就是有矛盾的、不协调的、不一致的，也就是把一个矛盾命题当成定理了。而是一旦系统推出或构造出了一个矛盾，没有相应的公理来保障将这个已经明确而非隐蔽的矛盾置于非定理的假命题的地位，才可认为这个形式系统是矛盾的、不协调的。系统公理的表

12、述只能限制（通过预先或事后）表述明确的矛盾，而预先限制不了隐蔽的、还未被发现的矛盾（通常以看似很平常的一个命题的形式出现），只能在事后等其通过悖论的推断充分暴露其矛盾本性之后，才可能来限制。是马后炮地限制。任何形式系统，有没有一条公理，说是可以“预先”限制、杜绝所有的隐蔽的、未被发现的矛盾（未暴露前就是一个看似普通命题）。因为这种矛盾或可以引起矛盾的命题、语句实在是太多，而且不可知。谁也不敢说我们已经在系统中清除或杜绝了所有悖论（隐蔽的矛盾），今后再也不会在系统中出现悖论（隐蔽的矛盾）了。这种所谓的“公理”，甚至可以构成一个悖论，也即是它本身就是一个矛盾：说它预先限制的是隐蔽的矛盾，则这个“隐

13、蔽的”已经是非隐蔽的、很明确的了，因此是限制了非隐蔽的矛盾。构成矛盾；反之，如果它预先限制的是非隐蔽的矛盾，则公理中所的是关于预先限制隐蔽的矛盾，此时这个“非隐蔽”与表述中的“隐蔽的”不一致，因此本身就是“隐蔽的”，也矛盾。因此是个悖论。可见形式系统中的公理，只能预先限制非隐蔽的矛盾出现。总之笔者认为，哥德尔对系统的无矛盾性的理解有误，因此才会出现为了排除形式系统的无矛盾性（为了保证系统的协调性）而舍弃其完备性的问题。事实上，到头来，这种错误的无矛盾性还是没有法子被满足。完备性也不存在。只有在笔者上面的解释下，才会有形式系统真正的无矛盾性与完备性。再举一个现实中的、活生生的例子，以说明悖论实际

14、无处不在，而且隐蔽：话说有某人被爆出在微信群里聊一些不雅的东西。该人急忙做出澄清，说那些事他都没有干过，只是虚荣乱吹的。那么，究竟是怎么回事？真相如何？本来无关宏旨，但我突然想到这里面有一个与“说谎者悖论”等价的悖论，值得探讨一下。如果他在微信上发的那些有鼻子有眼的荒唐事是假的，假的、没影子的事能吹的那么活灵活现，那么就说明该人是个吹牛随口就来、说话不靠谱的人，也就是“说谎”成性的人。那么，他其后对微信所传荒唐事的否定，也可能是说谎，也不可信，因此那些荒唐事很可能就还是真的，与一开始的假设矛盾；而如果他在微信上发的那些荒唐事是真的，则他在微信上发的就是真事，说明他“实事求是”，即是一个诚实的人

15、，说真话的人。如此，其后他又否定那些事的真实性，就应该是诚实、可信的，于是，那些荒唐事就是假的，同样与本段开始的假设矛盾。以上，简直就是活脱脱的一个现实版的“说谎者悖论”。或“国产谎者悖论”。或“某网友悖论”。此例说明，说谎者悖论不仅仅是人为杜撰的、不靠谱的、无现实生活基础的文字游戏，而是在自然语言的使用中很可能会出现的。只不过经典古希腊的说谎者悖论是直截了当的本句自指“本句谎”或“本句假”。而这里的“某网友悖论”，虽然初看不是那么精炼，但既然该人否定其微信上发的话是假的、是说谎了，那么，这就等价于“本人说假话”，既然如此，这句话本身也不可信，也可能是假的。其实本质还是谎者悖论。总之，按希尔伯

16、特的说法，或所谓哥德尔定理的说法，我们只要在系统中（无论是数学形式系统还是自然语言系统还是生物学系统等等，任何系统）一对涉及系统本身的命题下断语，就涉及到元系统（元数学、元语言等等）的问题。但这种元系统是无穷层的！而且按现有集合论理论，还必然是不可数甚至更大的不可数无穷层的（至于不可数究竟有没有，是另一个问题）！比“元”的还“元”的有的是。没完。在现有理论下，不可能有最终的那个元系统！那么，任何人在当你说或谈论或断定一个涉及语言本身、系统本身的话或“命题”时，你能确定你是在第几层元系统中吗？你在哪一层都不合适！你上面还有“元”呢。你的任何断语都不可能被确定。它不会止步于某一具体的层。哥德尔其实是知道这个情况的，因此他才有“本质不完全性”一说。也就是无论多少层，都不完全。但他这个“本质不完全”就完全了吗？如果不完全，“本质不完全”本身说的就是不完全，因此是完全的，矛盾；而如果完全，则“本质不完全”完全，与原命题不一致，就是不完全，也矛盾。