人教版高中数学选修2-1第三章单元测试(一)-Word版含答案

1、2018-2019学年选修2-1第三章训练卷空间向量与立体几何（一）注意事项：1 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并 将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3 非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的）V .如图所

2、示，在平行六面体 ABCD -ABIGD!中，M 为 AG 与 BiDi的交点.A. 2B . -2C . 2 或D . 2 或255555.已知空间四边形ABCD 每条边和对角线长都等于a,点E、F、G 分别是AB、AD、DC 的中点，则 a2是下列哪个选项的计算结果（）uuv uuvuuu uuvuuv uuuuiv uwA. 2BC CAB. 2AD DBC . 2FG ACD . 2EFCB6.若 Ax,5 x,2x/ ), B(1,x + 2,2x)，当AB取最小值时，x的值等于（)8819A . 19B .C .D .77147.已知 ABCD ,ABEF是边长为 1 的止方形，F

3、A丄平面 ABCD则异面直线 AC与EF所成的角为（)A . 30 B . 45 C . 60 D . 90 4.若 a 二 1,2 ,b= 2,-1,2，且a, b 的夹角的余弦值为書，则等于（）uuv uuv右 AB= a , AD = b ,uuvAA,uuv uuv&如图所示，正方体 ABCD -ABCD 中，M是AB的中点，贝 U sin. DB,CM.的值为（ ）号证考准名姓级班C.D.已知 a = -5,6,1 , b = 6,5,0，则a与 b (A .垂直C.平行且同向rxB .不垂直也不平行D .平行且反向3.已知 a = 2,-1,3 ,b 42, x , cm-

4、x，2，若 a b 一 c，则x等于()1A 4B-4C D62A.B .化CD .2153159 .如图，AB = AC = BD=1,AB面M, AC 面M,BD _ AB,BD与面M成30。角，则C、D间的距离为（）B.10.在以下命题中，不正确的个数为（）1a| |b=a b 是a、b 共线的充要条件；2若 a/ b，则存在唯一的实数 ，使 a =汕;3对空间任意一点 0 和不共线的三点 A、B、C,若 020_2 O-OC1， P、A、B、C 四点共面；4若 a,b,c?为空间的一个基底，则 :a b,b c,c a构成空间的另一个基底；.uuv uuv uuvuuvE 是 BD 上

5、一点，BE = 3ED，以 AB,AC,AD为基底，则 GE =_5（a b ）c = a b c .A . 2B . 3C . 4D . 511.在三棱锥 P ABC 中， ABC 为等边三角形，PA 丄平面 ABC，且 PA = AB,则二面角 A PB C 的平面角的正切值为（）A.6B.C.D.6 212如图，四棱锥 S ABCD 的底面为正方形，SD 丄底面 ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）15 .如图所示，在三棱锥 P ABC 中，PA= PB = PC= BC,且/ BAC = 90贝 U PA与底面 ABC 所成的角为_ .16 .已知点 E、F 分别在正方体 ABCD

6、- A1B1C1D1的棱 BB1、CC1上，且 B12EB ,CF =2FCj，则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于 _.三、解答题（本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤）17 . （10 分）已知向量 a= 1,-3,2 ,-2,1,1，点 A-3,-1,4, B -2,-2,2.（1）求 2a b ;一 uuv（2）在直线 AB 上，是否存在一点 E,使得 OE _ b ? （O 为原点）二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横 线上）13 .已知直线 I 的方向向量为 v= 1,-1,2

7、,平面的法向量 u= -2,-1,1,则 I 与 的夹角为.14 .如图所示，在空间四边形 ABCD 中，AC 和 BD 为对角线，G ABC 的重心,A . AC 丄 SBB . AB/ 平面 SCDC . SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角D . AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角19. （12 分）已知 M 为长方体 ACi的棱 BC 的中点，点 P 在长方体 ACi的面 CCD内，且 PM / BBiDiD，试探讨点 P 的确切位置.18 . (12 分)如图，在直三棱柱 ABC -ABiG 中，AC = 3, BC= 4, AB=

8、5, AA = 4 ,点 D 是 AB 的中点.求证：(1) AC_B。; (2) AC1/ 平面 CDB1.20.（ 12 分）在正棱锥 P ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，E, F 分别是 BC, PB 上的点，且 BE : EC= PF : FB = 1 : 2(1)平面 GEF 丄平面 PBC;(2)EG 丄 PG , EG 丄 BC .G 是厶 PAB 的重心,求证：21.( 12 分)如图，在三棱柱 ABC -中，H 是正方形 AAiBiB 的中心，AAi=2_2 ,22 .( 12 分)如图，在矩形 ABCD 中，点 E, F 分别在线段 AB, AD 上，AE = EBCiH

9、 平面 AAiBiB，且 GH 二 5 .(1)求异面直线 AC 与 A,Bi所成角的余弦值;(2)求二面角 AAG-Bi 的正弦值;_ 2=AF = - FD = 4 .沿直线 EF 将厶 AEF 翻折成 A EF 使平面 A E 丄平面 BEF . 3(1 )求二面角 A FD C 的余弦值；(2)点 M , N 分别在线段 FD , BC 上，若沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折, 使 C 与A重合，求线段 FM 的长.(3)设 N 为棱 BiCi的中点，点 M 在平面 AAiBiB 内，且 MN 丄平面 ABiG，求线段 BM 的长.凤32018-2019学年选修2-1第三章训

10、练卷EB空间向量与立体几何（一）答 案一、选择题1.【答案】A一，uuuu 1 uuuu 1【解析】平行六面体的性质可得：AMa b ,22Fuuuv uuv uuuv uuuuv111则 BM BA AA1AMa c a b a b e，故选 A.2、*222.【答案】A3.【答案】B【解析】a b - -2,1,3 x，由 a b _c,Aa b e = 0 .C由于EF/AB且/ BAC = 45，所以异面直线 AC 与EF所成的角为 45故选 B .&【答案】B【解析】以DA, DC ,设正方体棱长为uuv贝 y DB =1,1,1 ,r , i uuv 贝 ysin DB,9

11、.答案】C1,则DD 所在的直线分别为x,y, z 轴建立直角坐标系 Oxyz ,D 0,0,0 , B 1,1,1 , C 0,1,0 , M 1g,0 ,0.uuv uuv152,，cosDB,CM.飞，210.故选 B .15uuvCM 1,-x 2 3 x =0，得 x 二 V 故选 B .【解析】4 【答案】C【解析】a b 二 2 -%川 4 =6 23 -.解得 -2 或.故选 C.9555 .【答案】C【解析】uuv uuv _2BC CA 二-a2,A 错;uuu uuv _2AD DB a2,B 错;uu/ uuvuuv21 uu/21 uuv2uuv2I uuv . uu

12、v I uuv I uuv I uuv I uuv = CA + AB +BD = CA + AB 十 BD + 彳 CA，AB + 彳 AB，BD + 彳 CA，BD=111002 1 1 co s1 2 0=uuv uuv 122EF CBa2, D 错；只有 C 对.故选 C.26.【答案】Cuuv【解析】 AB =(1 x,2x 3,x +3 ),10.答案】C解析】错，应为充分不必要条件.错，应强调b=0 .错，T2-2-仁1.错，由数量积的运算性质判别.故选C.11.答案】A【解析】 设 PA = AB = 2，建立空间直角坐标系，平面PAB 的一个法向量是小 uuv则 AB14x

13、2-32x 19 二m= 1,0,0，平面 PBC 的一个法向量是故当uuvAB 取最小值，故选 C.7 .【答案】Bm nm |n3=1-21正切值 tan. m, n =、. 6 .故选 A .【解析】如图,12.答案】D设正方体的棱长为 3,贝 U GB = BC = 3，作 BH 丄 AG 于 H,连结 EH , I 与的夹角为 30.1 uuv i uuv 3 uuu14.【答案】AB AC AD1234uuv uuvuuuuuv2 uuuv uuu 1 uuv【解析】GE二 GA ADDE AMAD DB3421 uuv uuv uuv 1 uuv uuv 1 uuv 1 uuv

14、3 uuvAB AC AD AB - ADAB -一 AC AD ,3241234uuv 1 uuv 1 uuv 3 uuv故 GE AB-ACAD .123415.【答案】60【解析】由于 PA = PB= PC,故 P 在底面 ABC 上的射影为 ABC 外心,由于 ABC 为直角三角形，不妨设 OB = OC,所以 OP 丄面 ABC, / PAO 为所求角，1 1 不妨设 BC = 1,贝 U OA = , cos/ PAO =所以/ PAO= 60.16.答案】3解析】延长 FE、CB 相交于点 G,连结 AG ,【解析】（1） 2a b 二 2,一 6,4-2,1,1 二 0, 一

15、 5,5 ,故 2a+b = p02+（-+ 52=5/2 .uuv uu/ uuv uu/ uuv（2） OE =OA AE = OA tAB 二-3,-1,4 t 1,-1,-2 二-3 t,-1-t,4-2t , 卄 uuvuuv右 OE _ b，贝yOE b= 0 ,*9所以-2 -3-1-1 4-2tj=0，解得 t=-,5uuv1 614 2 1因此存在点 E,使得 OE _ b，此时 E 点坐标为 E ,. 55 5 /18 .答案】（1）见解析；（2）见解析.解析】（1）T直三棱柱 ABC-ABG 底面三边长 AC = 3, BC = 4, AB = 5,且 C|C 垂直底面.

16、二 AC、BC、C1C 两两垂直.如图，以 C 为坐标原点, 直线 CA , CB, GC 分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系.又 SD 丄底面 ABCD , SD 丄 AC .其中 SDABD = D , AC 丄面 SDB ,从而 AC 丄 SB.故 A 正确；易知 B 正确；设 AC 与 DB 交于 0 点，连结 SO.则 SA 与平面 SBD 所成的角为/ ASO , SC 与平面 SBD 所成的角为/ CSO,又 0A = 0C, SA = SC,./ ASO = / CSO.故 C 正确；由排除法可知选 D .则/ EHB 为所求二面角的平面角.萄 gEBBH, EB =

17、1,. tan. EHB 二-一BH、填空题313.【答案】30三、解答题【解析】cos v,u-21 _217 .答案】(1) 5,2 ; (2)存在，此时 E 点坐标为614 2,55 5 .【解析】四边形 ABCD 是正方形， AC 丄 BD .1一 a = ma2等价于 b - y = mb=-z= nc1m =21 y b2z = -nc,n R，则点 P 0,b,nc j.A 则 C0,0,0 , A 3,0,0, C10,0,4 , B 0,4,0, B10,4,4, D- ,2,0.uuvuuvuuu uuvuuuuuvAC 3,0,0, BC1= 0, 44 , AC BG

18、=0 , AC _ BC1.点 P 在面 DCCiDi的 DC 的中垂线 EF 上.20.【答案】（1 ）见解析；（2）见解析.【解析】（1）以三棱锥的顶点 P 为原点,（2）设 CB1与 C1B 的交点为 E,连接 DE，则 E 0,2,2 ,以 PA、PB、PC 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.uuu 3uuuvUUU 1 uuuvDE - - ,0,2 , AC13,0,4 , DEAC1. DE / AC1./ DE 二-DE 平 CDB , AC-平 CDB , AC / 平 CDB1.19 【答案】点 P 在面DCC1D1的 DC 的中垂线 EF 上.【

19、解析】以DA、 DC、DD1为x、y、z 轴，如图建立空间直角坐标系,设 DA =a ,DC =b ,DD 二 c令 PA= PB = PC= 3,则 A(3,0,0) , B(0,3,0), C(0,0,3) , E(0,2,1) , F(0,1,0), G(1,1,0) , P(0,0,0).uuv于是 PA 二 3,0,0 ,又 PA 丄平面 PBC,又 FG?平面 EFG ,uuuuuv, UW uuvFG 1,0,0 .故 PA = 3FG . PA/ FG . FG 丄平面 PBC .平面 EFG 丄平面 PBC .uuuuuv(2)vEG 二 1,-1,-1,PG 二 1,1,0

20、,BC 二 0,-3,3.(1根据题意可设 A a,0,0 , B(a,b,0) , D1(0,0,c), P(0,y,z)，则 M -a,b,0 .uuv uuvuuv uuv- EG PG =11=0 , EG BC =33 = 0 .又 PM / BB1D1D，根据空间向量基本定理，必存在实数对（m,n） ,uuv uuv uuuv 使得 PMmDB nDD1, EG 丄 PG , EG 丄 BC.21.【答案】(1) ： ； (2); (3).3741即严-心ma,mb, nc ,【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，点 B 为坐标原点.依题意得 A 2 2,0,0 ,B 0,0,0,

21、C 2,、2, 5, A2 . 2,2 . 2,0,耳 0,2、一 2,0 , . 2, . 2, 5.uuuun -AG = 0 同样地，设平面 AB1C1的法向量 n = x, y,z，贝Uuuuv ,n AB*!=0即 -22x2y-2 2x =02_23、5机 一 7，7=y，从而 sinm,n所以二面角 A-AG -B1的正弦值为 卫 .7土(42 342 45 (3)由N为棱 B1C1的中点，得 N.k222丿则 A(2,2,2 72), C(10,8,0 ), F (4,0,0 ), D(10,0,0 ),uuv一 uuv故 FA 2,2,2、2 , FD =6,0,0 .设n=

22、x,y,z 为平面 A FD 的一个法向量,uuuvMN 由 MN 丄平面 ABIG， 得 uuuv-22 =0uuvuuuv(1)易得 AC - - .2, -.2,、5 , A1B1 -2.2,0,0 ,uuu uuuv是 cos AC, A B1uuu uuuvAC A B1_uuu1 uuuvAC3 2.、2所以异面直线 AC 与 ABI所成角的余弦值为uuvL uuuu _(2)易知AA=0,22,0i,A1C12,-2,、5j设平面 AAG 的法向量 m 二 x,y,z，贝卩二 uuuu m AG= 0 uuu , mAA = 0无 2 2x - 2y 亠 一 5z =0-即，不妨令 x = 5，可得 mN /5,0, 2 ,22y=0422解得 -h42b =4uuv因此 BM 二，故M普,0.uu，所以线段 BM 的长B*M22 .【答案】(1)33【解析】法一：(1)取线段；(2)214EF 的中点 H，连结 AH.因为AE=AF 及 H 是 EF 的