第4章-频域变换20161014

1、第四章第四章 频域变换频域变换Chapter 4 Fourier TransformContents背景知识傅里叶变换离散傅里叶变换二维离散傅里叶变换的性质快速傅里叶变换利用正变换算法计算傅里叶逆变换3背景知识背景知识三棱镜可以将白色入射光分解成单色光。一窄束白色光入射到透明棱镜，一小部分光被反射，其余大部分因折射分解为其组成光谱颜色的光，这也是彩虹的颜色。每一种光谱颜色的光对应可见光光谱中具体的频率，光的分解实际上是一种频率分析。傅里叶变换可以看成是傅里叶变换可以看成是数学的棱镜数学的棱镜，将一个函数分解成不同的频率成分。可以通过频率成分来分析一个函数，这是线性滤波的重要概念。4Jean B

2、aptiste Joseph FourierFourier was born in Auxerre, France in 1768 Most famous for his work “La Thorie Analitique de la Chaleur” published in 1822 Translated into English in 1878: “The Analytic Theory of Heat”Nobody paid much attention when the work was first publishedOne of the most important mathem

3、atical theories in modern engineering5The Big Idea=Any function that periodically repeats itself can be expressed as a sum of sines and cosines of different frequencies each multiplied by a different coefficient a Fourier series6The Big Idea (cont)Notice how we get closer and closer to the original

4、function as we add more and more frequenciesTaken from www.tfh-berlin.de/schwenk/hobby/fourier/Welcome.html7连续函数连续函数傅里叶变换傅里叶变换连续函数傅里叶变换及其逆变换连续函数傅里叶变换及其逆变换 一维连续函数 的傅里叶变换 及其逆变换为 二二维连续函数 的傅里叶变换 及其逆变换为8连续函数连续函数傅里叶变换傅里叶变换图像本身为空域，图像信号的频率为其组成函数中各个正弦分量的频率。对于具有纯频率的正弦函数：该正弦函数的频率只在 和对称位置 存在非零值。在频域中，频率坐标 和 处有两个

5、脉冲。频域中频率系数实际上反映的是空域图像和不同频率的正弦分量 的相关性，由频率系数的模值可以看出图像中相应频率成分的能量。模值越大，表明图像中相应频率成分的灰度变化越多。频率系数的相位反映不同频率正弦分量的相移。9 (u0, v0) = (8, 0) 连续函数连续函数傅里叶变换傅里叶变换空间频率的直观解释 10 (u0, v0) = (0, 4) 连续函数连续函数傅里叶变换傅里叶变换空间频率的直观解释 11(u0, v0) = (8, -4) 连续函数连续函数傅里叶变换傅里叶变换空间频率的直观解释 12连续函数连续函数傅里叶变换傅里叶变换二维矩形函数及其傅里叶系数的模值 二维矩形函数 傅里叶

6、系数的模值13离散函数离散函数傅里叶变换傅里叶变换离散离散函数傅里叶变换及其逆变换函数傅里叶变换及其逆变换 一维离散函数 的傅里叶变换 及其逆变换为 是周期为1的复值、连续函数。 二维离散函数 的傅里叶变换 及其逆变换为14 是周期为1的周期函数，在基本频率区间 内抽取 个等间距采样点，采样间隔为 ， 为频率采样的样本数。离散傅里叶变换离散傅里叶变换离散函数傅里叶变换具有连续谱。由于，计算机只能处理离散数据；傅里叶变换计算具有很大的计算量，需要对连续谱采样而获得离散谱。傅里叶变换的频域采样15一维离散函数 的离散傅里叶变换及其逆变换为常量 可以放在正变换前，也可以放在逆变换前。傅里叶变换 是复

7、数，在极坐标下表示为复数的模值称为幅度谱，相角称为相位谱，傅里叶变换的功率谱定义为离散傅里叶变换离散傅里叶变换16离散傅里叶变换离散傅里叶变换二维离散函数 的二维离散傅里叶变换及其逆变换为二维离散傅里叶变换的幅度谱 、相位谱 、功率谱 定义为17二维矩形图像的傅里叶变换离散傅里叶变换离散傅里叶变换白色矩形沿水平方向的灰度级剖面是窄脉冲，沿垂直方向的灰度级剖面是宽脉冲，窄脉冲比宽脉冲具有更多的高频成分。二维矩形图像 傅里叶谱DFTThe DFT of a two dimensional image can be visualised by showing the spectrum of the

8、images component frequencies18DFT的的频谱分布与统计特性频谱分布与统计特性频谱是一种在频域中描述图像特征的方法，它反映了图像的幅度和相位随频率的分布情况。频谱的低频成分取决于图像中灰度的总体分布，而高频成分取决于图像中的边缘和细节。 图像中灰度平坦或灰度变化缓慢的区域，对应频谱的低频成分； 图像中灰度突变或灰度变化快速的区域，对应频谱的高频成分。通常情况下，图像具有很强的空域相关性，换句话说，相邻像素一般具有相同或相近的灰度值，反映在频域中就是图像的能量主要集中于低频成分。19DFT的的频谱分布与统计特性频谱分布与统计特性傅里叶变换的零频率成分 等于一幅图像的像

9、素灰度值之和，也称为直流成分直流成分。傅里叶变换具有共轭对称性共轭对称性：式中， 表示复数的共轭。傅里叶谱是关于原点对称的：共轭对称性和周期性示意图20DFT的频谱分布与统计特性的频谱分布与统计特性一幅图像的傅里叶谱关于原点对称，低频成分反映在傅立叶谱的4个角部分，且由于图像的能量主要集中于低频成分，因此，4个角部分的幅度较大。为了便于观察频谱分布以及进行频域滤波等频域处理与分析，必须对频谱进行中心移位变换中心移位变换，将直流成分移动到频谱 的中心 。二维离散傅里叶谱的频率成分分布图21二维离散傅里叶变换的傅里叶谱DFT的频谱分布与统计特性的频谱分布与统计特性灰度较平坦图像 直接变换的傅里叶谱

10、 中心移位后的傅里叶谱22DFT的幅频特性和相频特性的幅频特性和相频特性傅里叶变换是作用于整幅图像的变换，每一 个 包含了所有 值。一般不能建立图像特定像素或区域与其傅里叶变换之间的直接联系。从直观上理解，傅里叶变换的频率成分与图像中的灰度变化率直接相关。 低频成分与灰度平坦或灰度变化缓慢的区域相关联； 高频成分则与灰度突变或灰度变化快速的区域相关联，图像边缘、细节和纹理具有高频成分特征。23不同细节程度图像的傅里叶谱比较DFT的的幅频特性和幅频特性和相频特性相频特性细节较丰富图像灰度较平坦图像 24DFT的幅频特性和相频特性的幅频特性和相频特性DFTScanning electron mic

11、roscope image of an integrated circuit magnified 2500 timesFourier spectrum of the image25突出频率特征的傅里叶谱DFT的幅频特性和相频特性的幅频特性和相频特性 方形仪表指针图像 圆形仪表指针图像26DFT的的幅频特性和幅频特性和相频特性相频特性离散傅里叶变换是频域滤波的基础。允许低频成分通过而限制高频成分通过的滤波器称为低通滤波器低通滤波器，具有相反特性的滤波器称为高通滤波器高通滤波器。低通滤波器的作用是滤除图像中的边缘和细节，平滑和模糊图像；而高通滤波器滤除整体灰度水平，突出灰度的变化。27由原相位谱和

12、常数幅度谱重构的图像DFT的幅频特性和相频特性的幅频特性和相频特性傅里叶变换的频谱是由幅度谱和相位谱构成，幅度谱幅度谱能够直观表现出高低频率成分的能量分布能量分布，而相位谱相位谱看似是完全随机的，没有表现出任何信息没有表现出任何信息。实际上，幅度谱表明了各个正弦分量的相对强度，而相位谱表明了在图像中各个正弦分量之间的位置关系。图像 相位谱 由相位谱重构的图像28频谱混叠二维采样理论二维采样理论：空域信号以基 延拓进行离散采样，在傅里叶域中频谱以对偶基 进行周期性重复。二维平面上的像素位置可以用二维向量空间的两个基向量的线性组合来表示，则一个规则的采样网格 可以表示为， 其倒易网格（对偶网格）

13、可以表示为，定义 ，对自然图像 进行采样可以简单地表示为 ，则采样图像 的傅里叶变换可表示为，狄拉克梳状函数与采样过程狄拉克梳状函数与采样过程： 一维狄拉克梳状函数表示沿x轴分布的间隔为1、强度为1的 函数的无穷序列，可以用如下形式表示为，29 (a) 原采样网格 (b) 降采样网格 (c) (d)混叠频谱的形成Gpure(u;v)Gpure(u;v)+ Gal i as(u;v)混叠图像的复原30图6 27 采样图像频谱的组成 (a) (b) (c)G (u;v)Gpure(u;v)Gal i as(u;v)混叠图像的复原31图6 29 采样图像频谱中的错位高频信息 (a) 降采样图像频谱

14、(b) 周期延拓的降采样图像频谱混叠图像的复原32混叠图像的复原图6 30 混叠放大的解释33在线性滤波中使用在线性滤波中使用DFT由离散傅里叶变换的卷积定理可知，两个离散傅里叶变换的乘积等效于对应空域的循环卷积。线性滤波对输入图像的响应是计算线性卷积的结果。使用离散傅里叶变换无法直接在频域中进行线性滤波处理。34在线性滤波中使用在线性滤波中使用DFT 离散傅里叶变换能否应用于线性滤波中？ 答案是肯定的。 通过对信号进行零延拓使循环卷积等效于线性卷积。 在零延拓的基础上，离散函数傅里叶变换的性质可以适用于离散傅里叶变换。35在线性滤波中使用在线性滤波中使用DFT由离散函数傅里叶变换的卷积定理可

15、知，两个信号在时域中的卷积等效于这两个信号在频域中的乘积。对于离散傅里叶变换，两个信号在频域中的乘积等效于这两个信号在时域中的循环卷积。根据线性卷积的定义，若两个离散序列的长度分别为A和B，则线性卷积的序列长度等于 。36在线性滤波中使用在线性滤波中使用DFT37在线性滤波中使用在线性滤波中使用DFT通过对离散信号零延拓，可以在线性滤波中直接使用离散傅里叶变换。设 和 分别为A和B点序列。对两个序列同时补零，使它们达到相同的长度P，满足 ，循环卷积的结果等于线性卷积的结果。38在线性滤波中使用在线性滤波中使用DFT39在线性滤波中使用在线性滤波中使用DFT二维序列零延拓设 表示尺寸为AB的输入

16、图像， 表示尺寸为CD的卷积函数。在x和y方向上分别对行和列补零到相同的长度P和Q，满足对 和 零延拓的扩展表示如下：40在线性滤波中使用在线性滤波中使用DFT由卷积定理可知，在空域中输入图像与空域模板的卷积等效于在频域中图像频谱与频率响应函数的乘积。零延拓是在频域中实现空域滤波的前提，若没有执行正确的扩展，则滤波结果就是错误的。未经适当扩展的滤波图像与输入图像的尺寸相同，从图中可以看到，图像前面部分因混叠引入错误数据，后面部分则将丢失数据。未扩展的频域滤波图像适当扩展的图像适当扩展的频域滤波图像41离散傅里叶变换的零延拓在线性滤波中的应用适当扩展的频域滤波图像未扩展的频域滤波图像裁剪出的有效

17、图像区域在线性滤波中使用在线性滤波中使用DFT42离散傅里叶变换离散傅里叶变换的卷积定理的卷积定理离散函数的卷积定义为卷积定理表明空域中两个函数的卷积，等效于这两个函数在频域中的乘积，可表示为式中， 表示互为傅里叶变换。在图像处理中，空域卷积的主要作用是空域滤波。43离散傅里叶变换离散傅里叶变换的相关定理的相关定理离散函数的相关定义为空域中两个函数的相关 和频域乘积 .互为傅里叶变换对：空域相关的主要作用是图像匹配。利用 表示待检测目标或感兴趣区域，通常称为模板。若输入图像 中包含匹配的模板，则在 和 完全匹配的位置上这两个函数的相关系数达到最大值。44模板匹配示例离散傅里叶变换离散傅里叶变换

18、的相关定理的相关定理 字符图像 字符模板图(a)与图(b)相关运算的结果 阈值化处理的结果45离散傅里叶变换离散傅里叶变换的投影的投影定理定理投影定理是图像重建的基础。图像重建是利用物体在多个轴向上的一维投影数据来恢复物体二维信息。46离散傅里叶变换离散傅里叶变换的投影的投影定理定理二维函数 在x轴和y轴上的一维投影函数 和 分别定义为当 沿任意方向s投影到与其垂直的t轴时，则其一维投影函数可表示为47离散傅里叶变换离散傅里叶变换的投影定理的投影定理t、s轴与x、y轴之间的关系为当夹角 一定时， 在t轴上的投影函数 仅是关于t的函数。根据一维连续函数傅里叶变换的定义，可得 的傅里叶变换 为48

19、离散傅里叶变换离散傅里叶变换的投影定理的投影定理投影定理表明， 在与 轴成 角的 轴上投影的傅里叶变换，等效于 的二维傅里叶变换 沿与 轴成 角度方向上的取值，也就是二维傅里叶变换的一个径向剖面。49二维二维离散傅里叶变换线性性质离散傅里叶变换线性性质线性性：傅里叶变换的线性性表明，两个或者多个函数线性组合的傅里叶变换等于各个函数傅里叶变换的线性组合。50二维二维离散傅里叶变换平移离散傅里叶变换平移性质性质平移性： (空移性) (频移性)傅里叶变换的空移性表明，图像在空域中平移 等效于在频域中频谱乘以因子 ，也就是说图像平移后，其幅度谱保持不变，而相位谱产生附加变化 。傅里叶变换的频移性表明，

20、图像乘以因子 等效于在频域中频谱平移 ，或者说在频域中将频谱平移 等效于在空域中图像乘以因子 。51二维离散傅里叶变换平移性质二维离散傅里叶变换平移性质当 和 时，则有频移性公式可简化为即为对频谱进行中心移位变换所使用的性质。52二维离散傅里叶变换尺度变换性质二维离散傅里叶变换尺度变换性质尺度变换性：傅里叶变换的尺度变换性表明在空域中图像沿空间坐标轴的压缩（ ， ）等效于在频域中沿频率轴的拉伸，同时 幅度的压缩。傅里叶变换尺度变换性示意图二维矩形图像 傅里叶谱二维矩形图像 傅里叶谱53二维离散傅里叶变换旋转性质二维离散傅里叶变换旋转性质旋转性：引入极坐标变换则 和 分别可表示为 和 傅里叶变换

21、的旋转性表明当图像在空域中旋转角度 时，在频域中频谱将旋转相同的角度 。傅里叶变换旋转性示意图二维矩形图像 傅里叶谱54离散傅里叶变换离散傅里叶变换周期和对称性质周期和对称性质周期性：对称性：傅里叶谱是关于原点对称的，即55离散傅里叶变换离散傅里叶变换可分离性质可分离性质可分离性：一维行变换一维列变换F (x;v)F (u;v)f (x;y)yx56快速快速傅里叶变换傅里叶变换一维离散傅里叶变换，其中， 称为相位因子， 。对于每一个u值，直接计算涉及N次复数乘法和N-1次复数加法，不是一种有效方法，因为它没有利用相位因子的对称性：和周期性： 利用这两个性质，基2 FFT算法适用于计算长度 的离

22、散傅里叶变换，2称为FFT算法的基数。57快速快速傅里叶变换傅里叶变换将长度为N的序列分解成2个长度分别为N/2的子序列，分别对应 中的偶数和奇数序号，N 点离散傅里叶变换用2个抽取序列的离散傅里叶变换可表示为，58快速快速傅里叶变换傅里叶变换由于 ，上式中的 简化为式中， 和 分别为偶序列 和奇序列 的傅里叶变换。由于它们是周期性的，周期为n，且59快速傅里叶变换快速傅里叶变换N点离散傅里叶变换可分解成两个部分，使用一次按时间抽取算法后，分别对 和 重复上述过程，直至将序列分解为1点序列。对于长度为 的序列，这种抽取执行 次。60快速快速傅里叶变换傅里叶变换8点序列的按时间抽取FFT算法的3

23、个阶段： 计算4个2点离散傅里叶变换； 计算2个4点离散傅里叶变换； 计算1个8点离散傅里叶变换。8点序列的按时间抽取FFT算法的三个阶段61快速傅里叶变换快速傅里叶变换第一阶段第二阶段第三阶段f (0)f (4)f (2)f (6)f (1)f (5)f (3)f (7)F (0)F (1)F (2)F (3)F (4)F (5)F (6)F (7) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1W08W18W28W38W08W28W08W28W08W08W08W088点序列的按时间抽取FFT算法的计算过程62快速快速傅里叶变换傅里叶变换蝶形运算与FFT算法 上述过程中每一阶段执行的基本运算，是对于一对复数(a,b)，将 与a相乘，然后将a与该乘积相加和