2010届高三数学一轮复习强化训练精品――立体几何中的向量问题Ⅱ——空间角与距离

1、2010 届高三数学一轮复习强化训练精品一一立体几何中的向量问题（H）空间角与距离筋基础自测1.已知两平面的法向量分别为 （0, 1，0），n= （0，1，1），则两平面所成的二面角为答案 45或 1352. 二面角的棱上有 A B 两点，直线 ACBD 分别在这个二面角的两个半平面内， 且都垂直于则该二面角的大小为答案 603.如图所示，在棱长为2的正方体 ABCD-AiBiCiD 中，O 是底面 ABCD 勺中心，E F 分别是 CC、AD 的中点，那么异面直线 OE 和 FD 所成角的余弦值等于.答案-1554.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体 ABC（ A B C

2、D，A C 的中点 E与 AB 的中点 F 的距离为答案2a25. （ 2008 福建理，6）如图所示，在长方体 ABCD-ABQD 中，AB=BC=2, AA=1，_则 BG 与平面 BBDD所成角的正弦值为答案5典例剖析例 1（2008 海南理，18）如图所示，已知点 P 在正方体 ABCD-A B C D的对角线BD上,/ PDA=60 .（1） 求 DP 与 CC 所成角的大小；（2） 求 DP 与平面 AA D D 所成角的大小.解 如图所示，以 D 为原点，DA 为单位长度建立空间直角坐标系D xyz.则 DA= （ 1, 0, 0） , CC=（0,0,1）.连接 BDB D.A

3、B 已知 AB=4,AC=6,BD=8,CD=2yi7，CLAIE2在平面 BB D D 中，延长 DP 交 B D于 H设 DH=(mm1) ( m 0),由已知DH , DA=60R由 DA DH =| DA | DH |cosDH , DA可得 2m= . 2m21 .解得咗,所以DH=(,訂)所以DH , CC =45 ,即 DP 与 CC 所成的角为 45平面 AA D D 的一个法向量是 DC =(0,1,0).所以DH , DC =60 ,可得 DP 与平面 AA D D 所成的角为 30例 2 在三棱锥 S ABC 中， ABC 是边长为 4 的正三角形，平面SACL 平面 A

4、BC SA=SC=3 , M N 分别为 AB SB 的中点,如图所示.求点 B 到平面 CMN 勺距离.解 取 AC 的中点 O,连接 OS OB/ SA=SC AB=BC,/ AC 丄 SO AC 丄 BO.T平面 SAC 丄平面 ABC ,平面 SACQ平面 ABC =AC ,/ SO 丄平面 ABC，二 SO 丄 BO.如图所示，建立空间直角坐标系O xyz ,则 B (0, 2盘,0) , C (-2 , 0 , 0) , S (0 , 0 ,M(1,.3,0),N(0,.3,2).CM = (3 ,-.3 , 0), MN = (-1 , 0 ,. 2),设 n=(x,y,z)为平

5、面 CMN 勺一个法向量,CM n =3x . 3y =0 则,取 z=1 ,MN n =-x2z =0(1)因为 cosDH , CC因为 cosDH , DC.2,20 1 1 0221Xi/22则 x= . 2 , y=- .：6，n= ( 2 , -、6 , 1)点 B 到平面 CMN 勺距离 d=4、2二 3例 3 （16 分）如图所示，四棱锥 ABCD 中，底面 ABC是矩形，PA 丄底面 ABCD PA=AB=1, AD=/3，点 F 是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动.（1） 点 E 为 BC 的中点时，试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系，并说明理由;（2） 求

6、证：无论点 E 在 BC 边的何处，都有 PE 丄 AF;（3） 当 BE 为何值时，PA 与平面 PDE 所成角的大小为 45 .（1）解 当点 E 为 BC 的中点时，EF 与平面 PAC 平行.丁在厶 PBC 中，E、F 分别为 BC PB 的中点，二 EF / PC.又 EF .3 （舍去）故 BE= ,3 - . 2 时，PA 与平面 PDE 所成角为 4516 分知能迁移1.如图所示，AF、DE 分别是。OOO 的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD=8. BC 是。0 的直径，AB=AC=6,OE/ AD（1）求二面角 B-ADF 的大小；（2）求直线 BD 与 EF 所成的

7、角的余弦值.戸解（1）vAD 与两圆所在的平面均垂直，/ AD 丄 AB, ACLAF,故/ BAF 是二面角 BAD F 的平面角.依题意可知，ABFC 是正方形，/ZBAF=45.即二面角 B AD- F 的大小为 45 ;（2）以 0 为原点，CB AF、0E 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示） ，则 0 （0，0，0），A （0，-3，0 ），B （3Q，0，0 ），D （0, -3 农，8 ），E （0，0，8），F （0，3黑，0），/ BD = （-3 42，-3 42，8），EF = （0，3罷，-8）.cos BD , EFBD EFBD EF0 M8 -64

8、二 V82.100 82 10yD A设异面直线 BD 与 EF 所成角为：.，则cos - =|cosBD , EF|= 82.10即直线 BD 与 EF 所成的角的余弦值为 空102.已知：正四棱柱 ABCABGD 中，底面边长为 2罷，侧棱长为 4，E、F 分别为棱 AB、BC 的中点.（1）求证：平面 B1EF 丄平面 BDD1B1；（2）求点 D1到平面 B1EF 的距离.（1）证明 建立如图所示的空间直角坐标系，贝 UD （0，0，0），B （2 42，2爲，0），E （2 42，込，0 ），F （血，22，0 ），D1（0，0，4 ），B1（2 . 2，2 ,2，4）EF = （

9、- 2， 2，0）， DB = （22，2 72，0），DD1= （0，0, 4），EF BD =0， EF DD1=0./ EF 丄 DB，EF 丄 DD1，DD1QBD=D，/ EF 丄平面 BDD1B1.又 EF平面 BiEF,.平面 BiEF 丄平面 BDDB.(2)解 由(1 )知 = ( 2 . 2 , 2.2 , 0),EF =(-,2 , ,2 ,0) ,B；E =(0,-、2,-4)设平面 BiEF 的法向量为 n,且 n=(x,y,z)则 n 丄 EF , n 丄 B1E即 n EF= (x , y , z) (- , 2 ,、2 , 0) =- . 2 x+. 2 y=0

10、 ,n BiE = (x , y , z) (0 , - ,2 , -4) =- 2 y-4z=0 ,令 x=1,则 y=1,z=-,=(1,1,-二)44D 到平面 BEF 的距离3.如图所示,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为矩形，侧棱 P 从底面 ABCD AB=3 ,BC=1 , PA=2 , E 为 PD 的中点.(1)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值;(2)在侧面 PAB 内找一点 N,使 NEL 平面 PAC 并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离.解方法一 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则 A、B、CC D、P、E 的坐标为 A (0 , 0 , 0)

11、, B ( Q , 0 , 0 )、C (庐，1 , 0)、D (0 , 1 , 0 )、P ( 0 , 0 , 2 )、1E(0 ,丄,1),2从而 AC = ( . 3 , 1 , 0), PB = ( . 3 , 0 , -2 )AC 与 PB 所成角的余弦值为 口14(2)由于 N 点在侧面 PAB 内,故可设 N 点坐标为(x,0, z),则 NE= (-x , - , 1-z),由 NEL 平面 PAC 可得2d= D1B；nn16,1717设 AC 与 PB 的夹角为 V贝 U cos71 =AC PBAC PB3 = 3.72.7142.2 2、21工(0,0,2) =0,2(

12、.3,1,0)=0Z _1 9 化简得_3x + =0 I 2即 N 点的坐标为(邑,0, 1),从而N点到AB AP的距离分别为 1，邑6方法二(1)设 ACnBD=O,连接 OE , AE, BD,则 OE/ PB,EOA 即为 AC 与 PB 所成的角或其补角在厶 AOE 中, AO=1, OE=PB = = , AE 2 2由余弦定理得7513 7cos / EOA = 一 4_4_万 14212即 AC 与 PB 所成角的余弦值为 口 .14在平面 ABCD 内过 D 作 AC 的垂线交 AB 于 F,则/ ADF=.连接 PF,则在 Rt ADF 中,6DF= AD =2、3,co

13、s ZADF 3AF=AD tan / ADf=.3设 N 为 PF 的中点，连接 NE, _则 NE/ DF.TDF 丄 AC, DF 丄 PA ,/ DF 丄平面 PAC ,从而 NE平面 PACN 点到 AB 的距离为!AP=1,21N 点到 AP 的距离为AF=2活页作业、填空题=1PD亠1.在正方体 ABC AiBiCiDi 中，M 是 AB 的中点，则 sin DBi , CM的值等于.152.正方体 ABCABCD 的棱长为 1 , O 是 AQ 的中点，则点 0 到平面 ABCDi的距离为答案3. (2008 全国I理，11)已知三棱柱 ABC ABC 的侧棱与底面边长都相等，

14、A 在底面 ABC 内的射影为 ABC 的中心，则AB 与底面 ABC 所成角的正弦值等于 .答案 34. P 是二面角 a AB- P 棱上的一点，分别在 a、P 平面上引射线 PM PN,如果/ BPM/BPN=45，/ MPb=60，那么二面角:.AB:的大小为答案 905. 正方体 ABCA1BC1D1的棱长为 1，E、F 分别为 BB、CD 的中点，则点 F 到平面 AiDiE 的距离为_答案 土 2106. 如图所示，在三棱柱 AB( A1B1C1中，AA 丄底面 ABC AB=BC=AA，/ AB(=90，点 E、F 分别是棱 AB BB 的中点，则直线 EF 和 BG 所成的角

15、是答案 607. 如图所示，已知正三棱柱 AB( AiBC 的所有棱长都相等，D 是 AQ 的中点，则直线平面 BDC 所成角的正弦值为答案-58.正四棱锥 S ABCD 中 , O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱 SD 的中点，且 SO=OD 则直线 BC与平面PAC 所成的角是_答案 30二、解答题9.如图所示，在几何体 ABCD 中, ABC 是等腰直角三角形，/ AB(=90BE 和 CD 都垂直于平面 ABC 且 BE=AB=2，CD=1，点 F 是 AE 的中点.求 AB 与平面 BDF 所成角的正弦值.解 以点 B 为原点，BA、BC BE 所在的直线分别为 x，y，z 轴，建

16、立如图所示 则B（0，0,0），A（2，0，0），C（0,2，0），D（0，2,1），E（0,0，2），F（1，0,1）BD = （0, 2, 1） , DF = （1, -2 , 0）设平面 BDF 的一个法向量为n= （2, a, b）,/ n 丄 DF , n 丄 BD ,答案、一210AD 与n BD =0即2,a,b) (1,2,0) =0(2, a,b) (0,2,1)0解得 a=1, b=-2. =(2, 1, -2 ).设 AB 与平面 BDF 所成的角为.则法向量 n 与 BA 的夹角为 -r ,2即 sin 亠？，故 AB 与平面 BDF 所成角的正弦值为2.3310.在五

17、棱锥 PABCDE 中 PA=AB=AE=2a, PB=PE=2 . 2 a, BODEa，/ EAB=ZAB(= / DEA=90 .(1)求证：PAX平面 ABCDE(2)求二面角 A PD E 的余弦值.(1)证明 以 A 点为坐标原点， 以 AB AE AP 所在直线分别为 x、 y、 z 轴， 建立空间直角坐 标系 A xyz，则由已知得A (0，0, 0)，P (0，0，2a)，B (2a, 0, 0), C (2a, a, 0),D (a, 2a, 0), E (0, 2a, 0)/ AP= ( 0, 0, 2a), AB = (2a , 0 , 0),.APAB=0 2a+0

18、0+2a 0=0 ,.AP 丄 AB .同理 AP 丄 AE .又vABnAE=A , . PA 丄平面 ABCDE(2)解 设平面 PAD 的法向量为 m=(1, y, z),1 则 m，AD =0 ,得 a+2ay=0 , - - y=-.2又 mAP =0 ,得 2az=0 , . z=0.1.m=(1,- ,0).2再设平面 PDE 的法向量为 n=(x,1, z),而ED=( a , 0 , 0) , PD = ( a , 2a , -2 a), 贝 U n ED=0 ,得 ax=0 , . x=0.又 n PD =0 ,得 ax+2a-2 az=0 , . z=1.n= (0 ,

19、1, 1).令二面角 A PD E 的平面角为 V ,11.如图所示,在三棱锥 PABC 中,AB 丄 BC AB=BC=kPA,点 O D 分别是 AC PC 的中点,OP 丄底面 ABC-COS c - -1)2 BA nBA|n|=2,0,021,工=22 工 33AE = ( 0 , 2a , 0),贝 U cosm1m n1010故二面角 A PD E 的余弦值是10O(1)若 k=1，试求异面直线 PA 与 BD 所成角余弦值的大小;(2)当 k 取何值时，二面角 0 PC B 的大小为 ？3解 / 0P 丄平面 ABC , 又 OA =0C , AB=BC ,从而 0A 丄 OB

20、 , 0B 丄 OP , 0A 丄 0P ,即 n=(1,_1,-2a),贝寸以 0 为原点，建立如图所示空间直角坐标系0 xyz.(1)设 AB=a，贝 U PA=a, P0=a,2A2a,0,0),B(0,-2a,0),22C(-a ,0,0),P (0 ,0 ,二 a)22则D(-丄 a,0,2a)44PA=(2a,0,a),BD =(-4a),二 cos PA , BDPA BDPABD12a432a2. 33则异面直线 PA 与 BD 所成角的余弦值的大小为(2)设 AB=a, 0P=h,v0B 丄平面 P0C0B =(0,不妨设平面22a, 0)为平面 P0C 的一个法向量.2PBC 的一个法向量为 n= (x, y , z),-A a,20, 0),日 0,2a , 0), C(-2-a,0,0),R0,0,h),2:.BC=(-2 a,-2a,0), PC =(-2a,0,- h),2BC =0 H=PC =0ax 一 hz=0 2不妨令 x=1 ,_则 y=-1 , z=-、-2a2h0BoBm22cos =2h3.2亍日1a24 h12+=4 h= a,2，a22一 2h22a 2 亠一22 2h2PA。2&=.”；/ =戶 而 AB=kPA - k=33由(1)得,E (0 , 2 , 1) , B