2010中考数学一轮复习专题讲座四边形

1、一轮复习专题讲座 四边形1 专题概述本期复习的四边形是初中几何核心内容之一 四边形的概念、 性质和定理较多， 特别是 特殊四边形， 与同学们的生活实际息相关， 又为数学上证明线段和角相等提供了依据， 自然 成为各地中考必考内容 在各地中考题中，四边形的考查题型不定，问题呈现方式多样难 度以中档题、较难题为主直接考查的题量一般在 57 个左右，分值占试卷 20%30%预计 2010 年中考会继续将四边形作为重点考查对象，考查灵活多变，突出推理、综合与应用2 基础知识回顾1 平行四边形的的概念： 两组对边 的四边形叫做平行四边形 .2平行四边形的性质：平行四边形的两组对边 ；平行四边形是 图形，的

2、交点为平行四边形的对称中心；平行四边形的对边 ，对角 ，邻角 ；平行线之间的距离处处 .3 平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（定义识别）一组对边 的四边形是平行四边形对角线的四边形是平行四边形两组对边的四边形是平行四边形. 两组对角的四边形是平行四边形.4 矩形概念：有一个角是 的平行四边形叫做矩形5矩形的性质：矩形具有的所有特征；矩形的四个内角都是；矩形的两条对角线；矩形既是图形，又是图形。6 矩形的判定方法： 矩形定义； 有三个角是 的四边形是矩形； 对角线 的平行四边形是矩形；7菱形概念： 有一组邻边的平行四边形叫做菱形 .&菱形的性质：菱形具有 的所

3、有特征；菱形的四条边都；菱形的对角线，每条对角线平分一组 ，9菱形的判定方法： 菱形定义； 四条边 的四边形是菱形； 对角线 的平行四边形是 菱形。10正方形概念： 有一组邻边 ，并且有一个角是 的平行四边形叫做正方形 . 11正方形的性质： 正方形具有 、 的所有特征， 正方形的四个角都是 ，四条边都 ；正方形的两条对角线，并且互相，每条对角线平分一组：正方形的交点是它的对称中心，是它的对称轴，共有条对称轴。12.正方形的判定方法： 正方形定义；有的矩形是正方形；有 的菱形是正方形；对角线的矩形是正方形；对角线的菱形是正方形。13梯形定义：的四边形叫梯形。14.梯形的元素：平行的两边叫梯形的

4、，不平行的两边叫做梯形的，两底之间的距离叫做梯形的15.其中一腰与底边垂直的梯形叫梯形，两腰相等的梯形叫 梯形。16 等腰梯形的性质：（1）等腰梯形的两腰 ，两底；（2）等腰梯形同一底上的相等；（3）等腰梯形的对角线 ；（4）等腰梯形是图形，它的对称轴是。17等腰梯形的判定方法：（1）相等的梯形是等腰梯形；（2）同一底上的两个角的梯形是等腰梯形；（3）对角线 的梯形是等腰梯形。3 考点例析考点一平行四边形的性质与判定例 1 （2009 年桂林市）如图，口ABCDL AC BD为对角线，BC=6,BC边上的高为 4, 则阴影部分的面积为（）.A. 3 B . 6 C . 12 D . 24讲解：

5、观察平行四边形中散在的 5 个阴影部分，其面积怎样集中起来呢？如果发现平行 四边形的中心对称性质就可以将它们转化（集中）为一个大的三角形（人。或厶ABC来求了，显然阴影部分的面积为12,故选 C.C点评：不规则图形的面积一般都需要有效转化，像上面这样充分发现并利用已知条件的价值，进而为问题求解服务的策略是值得同学们积累的.例 2 （2009 湖北黄冈）如图，在ABC中，/AC号 90，点E为AB中点，连结CE过点E作EDL BC于点D,在DE的延长线上取一点F,使AF=CE求证：四边形ACEF是平行四 边形.分析：要证明ACEF是平行四边形，已有AF=CE只要证明AF/ CE即可，只要证明/F

6、=ZDEC而由AF=AE得/F=ZAEF由BE=CE得/CEDZDEB又/BED/AEF即证.点评：几何证明主要采用的是分析的方法，寻找现有的条件，挖掘隐藏的条件，从结论出发，向已知条件或定理靠拢 考点二菱形、矩形的性质与识别例 3 （2009 四川内江）如图在矩形ABCDh，若AC=2AB则/AOB勺大小是（）A. 30 B. 45 C. 60D.90分析：在 RtABC中,AC=2AB得/ACB30。，又由矩形的性质得BOCO所以/AOB60选 C.点评：矩形是特殊的平行四边形， 它可以转化为直角三角形的问题， 利用直角三角形的 性质来解答.例 4（2009 福建莆田）如图，菱形ABCD的

7、对角线相交于点O,请你添加一个条件: 使得该菱形为正方形.分析：正方形是特殊的菱形，它具有菱形具有的一切性质外，还有它的对角线是相等，所以当菱形增加一个条件是对角线相等时，该菱形变为正方形FADCC点评：特殊平行四边形之间的关系是十分重要的，同学们一定要对它们之间的关系熟悉 .例 5 （2009 年襄樊市，有改动）如图所示，在RtABC中，/ABC =90.将RtABC绕点C顺时针方向旋转60得到DEC,点E在AC上，再将RtABC沿着AB所在直 线翻转180得到ABF.连接AD.（1）试分析四边形AFCD是菱形吗？说明理由.（2）连接BE并延长交AD于G,连接CG,请问：四边形ABCG是什么

8、特殊平行四边形？为什么?讲解：（1）四边形AFCD是菱形.说明：RtDEC是由RtABC绕C点旋转60得到， AC二DCACB二ZACD二60 ACD是等边三角形，AD = DC = AC又RtABF是由RtABC沿AB所在直线翻转180得到AC = AF, ZABF ABC =90ZFBC是平角点F、B C三点共线AFC是等边三角形.AF二FC = ACAD = DC二FC二AF四边形AFCD是菱形.（2）四边形ABCG是矩形.说明：由（1）可知：ACD是等边三角形，DE _ AC于E, AE = EC/AG/BCZEAG= ZECB,ZAGE =Z EBC.AEG CEBAG二BC四边形A

9、BCG是平行四边形，而ZABC =90四边形ABCG是矩形.点评：本题第（1）问中发现“ACD是等边三角形”是很重要的，它是后续很多特D殊三角形得到发现、确认的关键第（2）问求解时，如果能发现特殊Rt ABCRt BCGRtACG（它们都是 30 度，60 度，90 度）也是思路得以打开的关键.考点 5 与正方形相关的探究问题例 6 （ 2009 年莆田市）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,请你添加一个条件:讲解：AB _ BC或AC =BD或AO = BO等.点评：正方形的识识别一般可从两个方面来理解：（1）若是矩形，则需再有一组邻边相等；（2）若是菱形，再需要有一个角是直角即在矩形和菱

10、形的基础上发现，当然也可以结 合正方形的定义来发现.例 7 （2009 山东德州）已知正方形ABCDK E为对角线BD上一点，过E点作EF丄BD交BC于F,连接DF G为DF中点，连接EG CG（1）求证：EG=CG（ 2）将图中厶BEF绕B点逆时针旋转 45o,如图所示，取DF中点G连接EG CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立， 请说明理由；（3）将图中厶BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）分析：题中点G是一个特殊点，它是 RtDEF和 RtDCF斜边上的中点，要证EGCG

11、可利用直角三角形的性质加以证明随着图形的变换，要证明结论的不变性，可充分挖掘正C图图方形的一些特性，所隐藏的一些条件，构造出全等三角形加以证明1解：(1 )证明：在 Rt FCD中, G为DF的中点，CG丄FD21同理，在 RtDEF中,EG=_FDCGEG2(2) (1)中结论仍然成立，即EG=CG连接AG过G点作MNLAD于M与EF的延长线交于N点.在DAGfADCGK； ：AD=CD/ADG/CDG DGDG DAQADCG：AG=CG在厶DMGfAFNG, / /DGMZ FGNFG=DG/MDG/ NFGDMQAFNGMGNG在矩形AENM中,AM=EN,在 RtAMG与 RtENG

12、中 AM=EN MGNG -AMH ENG：AGEGEGCG（3）（1）中的结论仍然成立，即EGCG其他的结论还有：EGLCG点评：当几何图形和已知条件发生变化时，它的结论有可能随之发生变化，也有可能原来结论保持不变的这类探索型试题在中考试卷中属热点问题，要求同学们能在“变”中求“变”或“不变”.考点四 梯形为载体的问题例 8 （2009 山东淄博）如图，梯形ABCDK/ABC和/DCB勺平分线相交于梯形中位线EF上的一点P,若EF=3,则梯形ABC啲周长为（讲解：梯形ABCD勺周长=AB+BC+CD+DA 由梯形中位线性质可求出 AD+BC=6 由平行线与 角平分线的性质，可得 BE=EP=

13、AE CF=PF=DF 所以 AB+CD=6 所以ABCD勺周长为 12.点评：梯形的中位线定理在梯形面积周长的计算中时常用到，它将上下底的和的大小位置转换到中位线的大小位置关系例 9（ 2009 湖南邵阳）如图在梯形ABCD中，AD/BC,AB二AD二DC,AC _ AB,BA. 9B. 10.5 C . 12D. 15DAPEFCBF（1）求三ABC的度数；（2）求证：CAF为等腰三角形.讲解：要求.ABC的度数的大小，但题中已知条件没有告之角度的大小，所以可以考虑用方程来解决，因为/DAC/DCA/BAF=ZAFE=x;贝卩 x=30 :则N ABC=60 :点评：本题是利用梯形.等腰三

14、角形的性质进行角度的计算，是通过角度之间的转换来4 新题解读题型一矩形纸条的操作探究问题例 1（2009 年烟台市）如图，将两张长为 8,宽为 2 的矩形纸条交叉，使重叠部分是例 1-1例 1-2讲解：两张等宽纸条交叉放置，重叠部分是一个菱形，同学们一定能说明它的正确性，这里不去验证了.怎样才能获得最大周长呢？关键是什么时候的边长最大！当两张纸条放置成如图（例 4-2 ）所示的情况时，可获得最大边长，此时思考RtABC由勾股定理可求出菱17形的边长为，即此时菱形周长为 17.4点评：顺利求解这道题有两个关键：一是想象出如图例 4-2 的最大菱形；二是在该图形怎样求出菱形的边长，能不能想到用方程

15、思想解Rt ABC题型二小组合作学习的情境问题例 2 （2009 年孝感市）如图，正方形ABCD有两条相交线段MN EF,M N、E F分别 在边ABCD AD BC上.小明认为：若MN=EF,贝U MNLEF;小亮认为：若MNLEF,贝U MN=EF.你认为（）.A.仅小明对B.仅小亮对C两人都对D.两人都不对讲解：关键是过 E、M 引对边的垂线段，进而构造直角三角形全等，可以发现两个同学的发现都是正确的.题型三菱形的生活情境应用例 3 (2009 年安徽)学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dem,如图所示.已知每个菱形图案的边长10 3c

16、m 其一个内角为 6060: 爻L-(1)若 d = 26,则该纹饰要 231个菱形图案，求纹饰的长度L;(2) 当 d = 20 时，若保持(1)中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？讲解：这是一道特殊平行四边形的实际应用题，已知菱形的边长和一个内角求较长的水平方向对角线的长，当然它不是简单地将菱形对角线的长度相加(1 )菱形图案水平方向对角线长为103 cos302= 30cm.按题意，L =30 26 (231 -1) =6010cm.(2)当 d =20cm 时，设需x个菱形图案，则有：3020 (x -1) =6010;解得 x =300 ；即需 300 个这样的菱形图案点评：

17、本题在菱形图案长度这样一个实际背景下，综合了解直角三角形和方程的知识，体现了数学解决生活中实际问题的无穷魅力题型四 特殊四边形的动态探究例 4 (2009 年河南)如图，在RtABC中，ZACB =90ZB = 60BC = 2.点O是AC的中点， 过点O的直线l从与AC重合的位置开始， 绕点O作逆时针旋转， 交AB边于点D.过点C作CE/AB交直线l于点E，设直线丨的旋转角为:.点评：这是正方形中一个重要的性质了, 求解，这里的两个性质是需要同学们积累的, 速度的提升.同学们在课本上或习题一定都会碰到此类题的多进行这样的归纳有利解题思路的获取、解题3（1）当二度时，四边形EDBC是等腰梯形，

18、此时AD的长为;当二度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；（2）当=90时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由.讲解：反过来考虑，当EDBC是等腰梯形时，/B=ZEDE=60，/ECO/CAE=30，所 八，01以-30,而AD=D- BC=1.同样地，EDBC是直角梯形时，同样可以求出a的大小.2（1）30, 1 :60, 1.5 ;（2） 当/a=90时，四边形EDB（是菱形./a=/ACB90,.BC/ED CE/AB四边形EDBCl平行四边形，在 RtABC中,/ACB900, /B=600,BC=2,/A=300. AB=4,AC=23AOAC = .3，在 Rt A

19、O中，/A=30,二AD=2.2BD=2. BD=BC又四边形EDBCl平行四边形，四边形EDB（是菱形点评：将梯形与旋转等变换结合起来，在运动和变化的过程中需要同学们对特殊四边形性质活学活用.5 跟踪训练1 .以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有（）A. 1 个 B.2 个 C.3个 D.4个2.如图， 在四边形ABCD中,E是BC边的中点， 连结DE并延长，交AB的延长线于F点,AB =BF添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形你认为下面四个条件中可选择的是（ ）3.能够判断一个四边形是菱形，则下列答案正确的是（）A.AD = BCB CD = BFC.A= CD .F

20、=CDEA. 组对角相等且一条对角线平分这组对角B.对角线相等C.对角线互相垂直D.一组邻边相等4.已知一矩形的周长是 24cm,相邻两边之比是 1 : 2,那么这个矩形的面积是（）2 2 2 2A. 24cm B . 32cm C . 48cmD . 128cm已知平行四边形 ABCD 勺对角线 AC BD 相交于点 0,分别添加下列条件:(1)/ ABC=90 ; (2) ACL BD (3)AB=BC(4) AC 平分/ BAD ( 5) A0=D0使得四边形 ABCD 是矩形的条件的序号有梯形ABCD中，AD/ BC,AD =1,BC = 4,C = 70,B = 40，则AB的长为.如图，已知P是正方形ABCD寸角线BD上一点，且BP=BC则/ACP度数是.如图，在梯形ABCD中,AB/CDBDLAD BC=CD/A=60,CD=2cm求/CBD的