归纳求矩阵的逆矩阵的方法

1、总结求矩阵的逆矩阵的方法课程名称:专业班级: 成员组成:联系方式：摘要：矩阵是线性代数的主要 内容，很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要 的内容，逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种 求逆矩阵的方法.关键词：矩阵逆矩阵方法Method of findinginv erse matrixAbstract:Matrix in linear algebra is the main content,many pricticalproblems with the matrix theory is simple and fast. The in

2、verse matrixcontent,andmatrix theory the important the solution of inverse matrix nature has become one of the main research contents of lin ear algebra. The paper will give some method of finding inv erse matrix.Key words:Matrix inv ersematrix method正文：1 .引言:矩阵是线性代数的主要内容，很多实际问题用矩阵的思想去解既简单乂快捷.逆矩阵又是矩

3、阵理论的很重要的内容，逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一 .本文将给出几种求逆矩阵的方法.2 .求矩阵的逆矩阵的方法总结：2.1矩阵的基本概念矩阵，是由“ w个数组成的一个比行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素”-表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩光叮乂一如如%m ettt 1(阵中的位置。比如，或表示一个八匚 矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第；行、第列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。矩阵，也称为一个吩维列向量；而一个矩阵，也称为一个斗 维行向量。当一个矩阵的行数与烈数卞相等时，该矩阵称为一个吨阶方阵。对于方阵，

4、从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对角 线。若一个H阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称0C1为单位矩阵，记为I,即:o如一个吃阶方阵的主对角线上（下方的元素都是零， ）00 r4=知血0% 一定於卞二存则称为下（上）三角矩阵，例如，%0 血 0阶上三角矩阵。今后我们用表示数域B上的巳矩阵构成的集合，用二厂表示数域m上的”阶方阵构成的集合。2.2求逆矩阵的方法:1 .利用定义求逆矩阵定义：设A、B都是n阶方阵，如果存在n阶方阵B使得AB= BAtE,贝U称A为可逆矩阵，而称B为A的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1求证：如果方阵A满足A

5、k= 0,那么EA是可逆矩阵，且(E-A)2 +.+A证明因为E与A可以交换，所以oK 1 、(EA)(E+A + A +.+ A k E.A因AK = 0，于是得(E-A) (E+A+A2 + -+AK1) =E ,同理可得(E + A + A 2+ -+A K1) (E-A)=E ,因此E-A是可逆矩阵，且(E-A)1 = E + A + A 2+.+a同理可以证明(E+A)也可逆，且(E+ A) 1 = E -A + A 2+ + (-1 ) K1AK1由此可知，只要满足AK=0，就可以利用此题求出一类矩阵E A的逆矩阵.0 100例,设A =。©。求E-A的逆矩阵.则可分析由

6、于A中有许多元素为零，考虑AK是否为零矩阵，若为零矩阵,以采用例2的方法求E-A的逆矩阵.解容易验证020a2 =000 2 00 0 60 0 00 0 00 0300a3 =0 00 00 60 04A4=n0 00 0而(E-A)(E+A+ A2 + A 3)=E,所以(E-A) 1 = E+A+ A 2 + A 3=。112 61 2 60 0 130 0 0 12 .初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法如果A可逆，则A可通 过初等变换,化为单位矩阵I,即存在初等矩阵R.P2,Ps使（1） P P2 PsA=l，用A 1右乘上式 两端，得：(2) pi P2 Psl

7、= A比较（1） （2）两式，可以看到当A通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I作同样的初等变换，就化为A的逆矩阵A25001300011/6.用矩阵表示（A |）初等仃变换为（| A ），就是求逆矩阵的初等行变换法， 它是实际应用中比较简单的一种方法需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初 等变换同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵2 3 1例1求矩阵A的逆矩阵已知A=01 3解A I110 03 0 1 05 0 0 112 5 00 1 3 02 3 1101101/6 1/31 0 01/60 1 01/213/6 4/33/210 0 11/61/61/31/613/64/3A1

8、 =1/23/21/61/61/3在事先不知道n阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A不可逆，因为此时表明A=0，则A 1不存在.1 2 3解A E= 412 3 10 05 6 0 1 07 8 9 0 0 11 230360612例2求A= 4 5 6.7 893 ,伴随阵法定理n阶矩阵A=a4为可逆的充分必要条件是A非奇异.且A|i A21 .Ai 11 1 A2 A?2 .Al2A = A .AnA2n . Ain其中胃善解黑瞬丽轮。，于是它不可逆，因此A不可逆.A1 A21 . An1矩阵A2 A22a12称为矩阵A的

9、伴随矩阵，记作A3,于是有9AnA2nA3.证明必要性：设A可逆，由AAI，有A/V =|1 ,则AA1二|I|，所以A 0，即A为非奇异.其中充分性：设A为非奇异，存在矩Ai %Anb=AAl A22An2AnA2nAnn再1即2ainA11 A21AB=2242nAl2 a22An2annAin A2nAO.010 ._ 10 A .0_01 .00 . A0 0.An2Ain同理可证BA=L由此可知，若A可逆，则Ai1=w用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有 规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角 线的元素变号即可若可

10、逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9 个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免出 现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA H来检验.一旦发 现错误，必须对每一计算逐一排查.4.分块矩阵求逆法41准对角形矩阵的求逆命题 设An、A 22都是非奇异矩阵，且为n阶方阵，A 22为m阶方阵Aii。Aii1 00 A22°七 i0,所以A可逆.A0InO0*22n i证明因为A =AI| |Z0A22YX YW，于是有 z w其中 XAii= 丫 A 22=0，ZAi=0，Im.又因为 Aii、A 22 都可逆,用A

11、曰分别右乘上面左右两组等式得：攵= A ，Y=0 , Z=0 ' W= A ：2i _ Aii 0A =0代2，把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即:A' AJA2A2AAJ4.2 .准三角形矩阵求逆命题设ArA 22都是非奇异矩阵，则有Aii Ai2 A22A22(Ai Ai2 证明因为“10 Aa QAii Ai2 二A 0I0 A22两边求逆得I Ai Ai2 '、 A2 0 I 0A22An 00A22所以A110A12A221 An A12 An 00|U A2211A 1A A 1 aji A12A22同理可证0A11101 1人

12、22All A21A22八22此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求， 利用AA 'E，把题目中的逆矩阵化简掉。计算(A+4E) T (4E-A) 1 ( 16E-A2)的行列式，其中 A=4E)T(4EA)1(16E A2) =DD= (A 4E)T (4E A) 1(16E A2)=(4E A)T (4E A) 1(4E A)(4E A)=

13、(4EA)(4E A)T = (4E A)2.虽然题目中出现了( 4E-A) L但是经过化简之后不再出现此式，因此得D= 4E A2 =22500.例2已知n阶矩阵A满足A2+2A-3E=0.求证：A+4E可逆并求出A+4E的证明把 A2+2A-3E=0 变形为 A2+2A-8E=5E，即(A+4E ) (A-2E ) =-5E，可得(A+4E )(-A/5+2E/5 ) =E ,所以存在一个矩阵B=-A/5+2E/5，使(A+4E ) B=E，由定义得A+4E可逆，且 (A+4E ) 1 =B=-A/5+2E/5.另外，有些计算命题中虽出现逆矩阵，但通过适当的矩阵运算可消去，因而 不必急于求

14、出逆矩阵6利用线性方程组求逆矩阵若n阶矩阵A可逆，则A A，于是A 1的第i列是线性方程组AX=E的解， i=1,2,n,E是第i个分量是I的单位向量.因此，我们可以去解线性方程组AX=B， 其中B= (bh,bQ 1,然后把所求的解的公式中的b,b2,bn分别用Ei= (1,0,0/-,0) »E2= (0,1,0,)，En=(0QQ,1)代替，便可以求得A 的第1，2，n列，这种方法在某些时候可能比初等变换法求逆矩阵稍微简一点下面例子说明该方法的应用30例求矩阵A= 00010 0 03100031。的逆矩阵00310003解 设乂二(Xl,X2,X3,X4氐)丁臼二(力344口

15、5)丁解方程组AX二B，即:3% x, b3x2 X3 b?3x3 X4 ba3x4 Xs b43X5 b5Xi3 5(34d 33b232 b3 3b4 b§)X2 3 4 (33 b2 32 ba 3b4 b§)解得:X3 3 3(32ba 3b4 b5)x4 3 2(3b. bs)x5 365然后把B=(b,b2,bn)列，分别用已=(1,0,0,0),Ez= (010,0),En二（W）,：1）代人,得到矩阵A I的第1,2, 3，4，5列，分别用Xi=(3 ',0,0,0,0) <X2=(3 2,310。0)丫，Xa=(3 3,3 23。)'X4=(3 4,3 3,3 2,3 L0)t,X5=(35,3 4,3 3,3 2,31)t3132 3 334350 31 32 33 34A1=31 32 330003132000031这种方法特别适用于线性方程组ax=b比较容易求解的情形，也是很多工程类问题的解决方法3.结束语：以上各种求