非物理类专业大学生物理竞赛试卷解

1、第二十届北京市非物理类专业大学生物理竞赛试卷解 2003年一、填空题（13小题，每小题两个空，每空2分，共52分）1、平直铁轨上停着一节质量M=20m的车厢，车厢与铁轨间摩擦可略。有若干名学生列队前行，教员押后，每名学生的质量同为m，当学生与教员发现前面车厢时，都以相同速度v0跑步，每名学生在接近车厢时又以2v0速度跑着上车坐下，教员却因跑步速度没有改变而恰好未能上车，据此可知，学生人数为_,全过程中由教员、学生和车厢构成的系统，其动能损失量为_.解：由“教员却因跑步速度没有改变而恰好未能上车”这个条件知，学生上车坐下后车厢与学生的速度恰为v0,设学生的人数为x,选学生与车厢为系统，选学生刚上

2、车为初态，选学生坐下后为末态，因系统始末态的动量守恒，故有 xm2v0=(20m+xm)v0 x=20（第一空）对于上面所谈的始末态而言，因教员的动能未变，故“由教员、学生和车厢构成的的系统”的动能损失与“由学生和车厢构成的系统”的动能损失相同，因此有动能损失EK0-EK=1/2(20m)(2v0)2-1/2(20m+20m)v02=20mv02（第二空） 2、光滑水平面上有4个相同的匀质光滑小球，其中球2、3、4静止于图示位置，球1具有图示方向初速度v0，设小球间将发生的碰撞都是弹性的，最后这4个球球中停下的是_.运动的球中速度最小值为_.解：球1与球2碰撞后交换速度，故球2的速度为 v0，

3、而球1静止；但球2与球3、球4碰撞后要以某一速度v反弹，故球2又要与球1碰撞，因此碰后球1的速度为v，而球2却要永远静止了。（第一空）（a）图为球2与球3、球4刚碰时的情况，（b）图为球2与球3、球4刚碰完时的情况（v3=v4=v）。由动量守恒知00mvmv2mvcos30mv3mv 20vv3v 由动能守恒知222011mvmvmv222220vv2v（1）（2）联立解（1）、（2）式得06vv5 3 0vv5 （第二空）3、圆心记为O，半径R ,质量4m的匀质圆板，内切地割去半径为R/2的小圆板后，剩余的板块如图（a）所示，其质心位置记为C（图中未示出）。过O、C分别设置垂直于板面的转轴，

4、相对这两个转轴的转动惯量各为IA=_,IC=_.解:本题等效于半径为R 、质量为4m的大圆板与半径为R/2、质量为-m的小圆板之和。大圆板对O轴的转动惯量为1/24mR2=2mR2;小圆板对O轴的转动惯量为3/2(-m)(R/2)2=-3/8mR2 （第一空）大圆板的质心在y=0处；小圆板的质心在y=-R/2处（见图（b），故二者的质心在cR4m0mR2y4mm6 由平行定理知2CA222RII(4mm )613137mRmRmR81224（第二空）4、某时刻的弦波如图示，此时图中用实线示出的弦段中，振动动能最大的部位在_处，振动势能最大的部位在_处。解：因B处的拉伸最甚，故B处的振动势能最大

5、（第二空），本题是行波（不是驻波），而行波的振动动能恒等于振动势能，故振动动能的最大部位也在B处（第一空）5、某气体在温度T1时的分子最可几速率与在温度T2时的分子方均根速率相等，则T1/T2=_.这种气体在压强为p时的密度为，此时它的分子方均根速率 =_.2v 解：因2p2kT3kTv, vuu故由题设条件知122kT3kTuu 123T/ T2 （第一空）因 故 ，因此有pnkTkT k Tp 23 pv （第二空）6、电荷Q 均匀地分布在半径为R的球面上，与球心O相距R/2处有一静止的点电荷q，如图所示，球心O处电势为_,过O点的等势面面积为_.解：球心O处的电势为O0000O0dQqQ

6、qQ2qUR4R4R2R4R42 （第一空）Q在球面内不激发电场，故单对Q而言，球面内为等势区，因此，球面内的等势面仅由q决定；而q的等势面为以q为中心的球面族，故过O点的等势面面积为22RS4R2（第二空）7、图示的电路中，通过调节可变电阻器的R 值，能将图中5电阻的消耗功率降到的最低值为Pmin=_,此时R=_.解：题示电路中的电阻10与可调电阻R为并联，其并联电阻为 ,故题示电路可等效为如下图所示的电路。为求解，先假设5电阻中无电流，再求R，从而求出R;若R的值合理，则表明假设正确。因5电阻中无电流，故A、B两点的电势差为零，即C、A间的电势差等于C、B间的电势差；A、D间的电势差等于B

7、、D间的电势差，故有10RR10R 1I1+2I1=4I4 RI1=12I2联立解上二式得R=9()由 得 R=90() (第二空)RRR 1010显然,合理.既然5电阻中得电流可以为零,当然其消耗功率的最低值为 Pmin=0 (第一空)8、电阻丝网络如图所示，其中每小段长a，电阻R。网络中左侧正方形区域有垂直图平面朝外的匀强磁场，磁感应强度B随时间t的变化率为常数k，该区域外无磁场，因电磁感应，图中流过AB电阻丝的电流I=_.A到B的电压UAB=_.解：AB段与其右侧网络为并联，其并联电阻为3/4R,图中四条边上的感应电动势同为（见下图），由电磁感应定律知 4=ka2由闭合电路的欧姆定律知R

8、kaRRI15443342 总总由并联电路中电流分配的规律知33 RRIII总总RkaII5432 总总（第一空）由一段含源电路的欧姆定律知2045222kakaRkaRRIUAB （第二空）9、波长=500nm的单色光垂直入射到宽a=0.25mm的单缝上，单缝后面放置一凸透镜，透镜焦平面上放置一屏幕，测得幕上中央明条纹一侧第3个暗条纹到另一侧第3个暗条纹之间的距离为12mm，则中央明条纹的线宽度为_,透镜焦距为_.解：暗条纹的条件为 asin=k 因很小，故上式可简化为 a=k=k/a (k=1, 2, 3,.)两相邻暗条纹的角间距为)(10225.01050034弧弧度度 a由图知，从k=

9、3到k=-3的角间距为6=1210-2（弧度），其间距为l=12mm,故透镜的焦距为)( 1)(100010121262mmmlf （第二空）由图知，中央明条纹的角间距为2，故其线宽度为)(41000102223mmfl （第一空）10、能使某种金属产生光电效应的入射光最小频率为6.01014Hz,此种金属的电子逸出功为_。若在金属表面上再施加U=3V的反电压，那么可激起光电流的入射光最小频率为_。（普郎克常量h=6.6310-19C)解：光电效应的规律为 EK=hv-A当EK=0时，则得A=hv=6.6310-346.01014=3.9810-19(J) （第一空）依题意，在金属表面上施加U

10、=3V的反向电压时，便把逸出的电子又驱回了，故有Ue=EK=hv-A)(1032. 11063. 61098. 31060. 1315341919HzhAUev （第二空）11、据玻尔的氢原子理论，氢原子中电子绕核作圆周运动的最小半径为5.2910-11m，此时电子运动速度大小为_,若将此时电子沿某直径方向的位置不确定量取为x1.010-10m,则据不确定关系，电子沿该方向的速度不确定量已达vx_.可见玻尔理论是一种“粗糙”的理论。（电子质量m=9.1110-31kg)解：电子受的库仑力为 ，电子作圆周运动的加速度为v2/r，由牛顿第二定律知rvmre22024 2024re)/(1019.

11、21011. 91029. 51085. 841060. 146311112190smrmev （第一空）不确定关系为hvmxpxx )/(1028. 7100 . 11011. 91063. 68103134smxmhvx （第二空）12、飞船静止时体积为V0，平均密度为0，相对地面以v=3/5c高速飞行时，地面参考系测得它的动能为EK=_,平均密度为=_.解：4553111122 cvr000Vm 20020020202020241145)1(cVcVcmrcmcrmcmmcEk （第一空）002001625/rrVrmVm （第二空）13、惯性系S相对惯性系S，沿x轴以v高速运动，S系中

12、沿x轴有一弹簧振子，弹簧劲度系数为k，振子质量为m,振子速度远小于光速，振幅为A，在S系中可测得该振子的振动周期为_,振子从图中平衡位置x=0到x=A所经过时间为_.解：在S系中，因振子速度远小于光速，故振子的振动周期T可按经典理论来计算，即221/2cvkmT （第一空）选振子经过平衡位置时为第一个事件，其在S系中的时空坐标为（t1,x1=0),其在S系中的时空坐标记作（ t1,x1）；选振子到达位置A时为第二个事件，其在S系中的时空坐标为（t2=t1+T/4,x2=A），其在S系中的时空坐标记作（t2,x2）。由洛仑兹变换可得 222212212121/24cvAcvkmAcvTrxxcv

13、ttrtt （第二空）附：t2-t1T/4,这令人感到迷惑。为解惑，再选振子从位置A回到平衡位置时为第三个事件，其在S系中时空坐标为（t3=t2+T/4=t1+T/2,x3=0),其在S系中的时空坐标记作(t3,x3),则有 222223223231/24cvAcvkmAcvTrxxcvttrtt 显然， t3-t2T/4,但t3-t1为 22)(1321313TTrxxcvttrtt 至此，真相大白。二、计算题（5小题，共53分）14、（9分）车厢内的滑轮装置如图所示，平台C与车厢一起运动，滑轮固定不动，只是为轻绳提供光滑的接触，物块A与水平桌面间摩擦系数u=0.25,A的质量mA=20kg

14、,物块B的质量mB=30kg.今使车厢沿图示水平朝左方向匀加速运动，加速度a0=2m/s2,假定稳定后绳将倾斜不晃，试求绳中张力T。解：选车厢为参照系，则物块A和B的受力情况如图所示，其中的mAa0和mBa0为惯性力，对物块B，在垂直绳方向受力平衡，故有mBgsin=mBa0cos tan=a0/R 对物块B，沿绳方向的动力学方程为TagmTagamaggmTamgmTamgmamBBBBBBBB 202202202022202011tan1tantan11sincos物块A的动力学方程为)(000ugamTgumamTfamTamAAAAA 式（1）加式（2）得 )(0202ugamagma

15、mmABBA )/(82. 5)8 . 925. 02(2028 . 93030201)(12220202smugamagmmmaABBA 由式（1）得)(4 .125)82. 528 . 9(30)(2220222NaagmamagmTBBB 15、（11分）半径R，电荷面密度为常量得薄圆板，在北京地区一个竖直平面上以恒定角速度绕着它的中心轴旋转，中心轴自西向东放置，如图所示，中心轴上与圆板中心O相距l处有一原水平指北的小磁针，因又受到圆板电流磁场的作用而朝东偏转角后到达新的平衡位置，试求该处地磁场磁感应强度地水平分量B/.(可参考用不定积分公式： ） Cauauauduu222223222

16、2解：将薄圆板分割成半径为r，宽度为dr的圆环，其上的电量为 dQ=2rdr此电荷因以旋转而形成的电流强度为rdrdQdI /2此电流在点P的磁感应强度为 23222023222022lrdrrudIlrrudB 整个薄圆板因旋转在点P的磁感应强度为 llRlRuRlrlrulrdrrudBBR222022222220222200232230如图所示，薄圆板在点P的B朝东，地磁场的B/朝北，磁针平衡时与B合同向，故有llRlRuBBcot222cot22220/ 16、（9分）如图所示，在洛埃镜实验中，平板玻璃MN的长度r=5.0cm，与平板玻璃垂直的幕到板N端的距离l=3.0m，线光源S位于

17、M端正上方，离板的高度h=0.50mm，光源波长500nm，试求：（1）幕上相邻干涉亮条纹的间距；（2）幕上干涉亮条纹的最低级数。解：本题的光路图如下图所示。（1）反射光有半波损失，故交于点P的两条光线的位相差为h 22亮条纹的条件为kh222 ,.2, 1 kh221 两相邻亮条纹的角间距为h2 幕上相邻两亮条纹的间距为 mmhlrlrx5.15.0210500100.3100.5263 （2）图中的h/r,代入（k+1/2)/2h中得hkrh221 21202110500100 . 5)50. 0(2212822 rhk故幕上干涉亮条纹得最低级数kmin=20.17、（13分） pV坐标面

18、上，单原子分子理想气体得两条等压线和两条等体线围成得矩形ABCD如图示，状态B得温度示状态D得温度的4倍，状态A与状态C温度相同，过A 、C的等温线已在图中画出，将循环过程ABCA、ACDA的效率分别记为1、2，试求1/2之值。解：如图所示，状态D温度记作T1，状态A和C的温度记作T2 ，状态B的温度记作T3。对循环ABCA,吸放热如下：AB段吸热为QAB=vCp(T3-T2)BC段放热为QBC=vCV(T3-T2)CA段放热为122lnVVvRTQCA )4(ln)4(1)(ln)(11211222123122121TTCVVRTTTCTTvCVVvRTTTvCQQpVVV 吸吸放放对循环A

19、CDA，吸放热如下：AC段吸热为CD段放热为QCD=vCp(T2-T1)DA段吸热为QDA=vCV(T2-T1)122lnVVvRTQAC )(ln)(1112122122TTCVVRTTTvCQQVV 吸吸放放为了求出1/2，下面寻找T2、V2/V1与T1的关系：212312124TTTTTTVV 将式代入式得2241112 TTVVT2=2T1 将T2=2T1、CV=3/2R、Cp=5/2R代入1与2中得)2ln1(5252ln231)24(252ln2)24(231111111 TTRRTTTR32ln4)12ln2(2232ln2251)2(232ln2)2(251111112 TTR

20、RTTTR917. 0)12ln2(5)32ln4)(2ln1(21 18、（11分）行星原本绕着恒星S作圆周运动，设S在很短时间内发生爆炸，通过喷射流使其质量减小为原来质量的倍，行星随即进入椭圆轨道绕S运行，试求该椭圆轨道的偏心率e。（提示：记椭圆的半长、半短轴分别为A、B，则 ）ABAe22 解：如图所示，恒星S爆炸之前，行星作圆周运动，行星运行到点P时，恒星S爆炸；若恒星完全喷射掉了，则行星必沿v的方向作直线运动；今恒星尚留下了质量M=M0(1),故行星的轨道必为介于直线与圆之间的椭圆，显然点P必为离S最近的点，圆的半径记作R，椭圆在点P的曲率半径记作，行星的质量记作R，行星的质量记作m ,将牛顿第二定律用于点P处的行星，则有202RmGMRmv 2022RmGMRGMmmv R 由图知R=A-C，可以证明（略）B2/A，代入上式得2)(BCAA 因B2=A2-C2,e=C/A,故有eACCAACACAA 11/11)(22e 1三、实验题（三小题，共15分）19、（4分）何谓数字电压表的“分辨率”和”位数“？某数字电压表的一个最小量程为200mV的档，满量程显示数为200.00，其分辨率是什么值？某数字电压表最高的显示数为7999，其位数是多少？解：数字电压表的最小量程所能显示的最小可测量值称为它的分辨率；数字电压表能完整地显示