分析动力学之TOC约束理论

1、清华大学航天航空学院清华大学航天航空学院王天舒（王天舒（）分析动力学分析动力学之之约束理论约束理论1/4/20221本节内容本节内容内容内容1：约束、广义坐标：约束、广义坐标内容内容2：约束的几何意义：约束的几何意义内容内容3：约束对运动的影响（位移、速度）。约束对运动的影响（位移、速度）。虚位移是约束被虚位移是约束被“冻结冻结”后此瞬时后此瞬时约束约束允许的无限小允许的无限小位移，与时间位移，与时间t的变化无关的变化无关 ( t 0)。分析力学的基础概念：分析力学的基础概念：1/4/202221.1 1.1 位形空间位形空间对于物体运动的客观空间，引入笛卡儿坐标系对于物体运动的客观空间，引入

2、笛卡儿坐标系Oxyz。为。为描述一个质点的运动，需考虑在每一时刻描述一个质点的运动，需考虑在每一时刻t t的向径的向径r(t):( )( )( )( )u tx ty tz t对于由对于由N N个质点所构成的系统，则需要个质点所构成的系统，则需要3N3N个数来表示质个数来表示质点系统的位置和形状（点系统的位置和形状（位形位形）：）：12( )( )( )( )Nc tu tu tut引入由这引入由这3N3N个数张成的抽象空间来表示位形个数张成的抽象空间来表示位形c c，令该空，令该空间是由这间是由这3N3N个数构成各维的正交欧氏空间个数构成各维的正交欧氏空间C C，称为位形，称为位形空间。空间

3、。运动的多维空间描述运动的多维空间描述1/4/20223系统每一时刻的位形唯一对应于系统每一时刻的位形唯一对应于C C空间的一个表现点空间的一个表现点c cC C空间的一个点空间的一个点c c对应于系统的一个位形对应于系统的一个位形当系统的位形随时间变化时，其位形表现点在当系统的位形随时间变化时，其位形表现点在C C空间中空间中画出了一超曲线，即一维的轨迹，称为系统的画出了一超曲线，即一维的轨迹，称为系统的C C轨迹轨迹。C C轨迹轨迹的一般性质：的一般性质：1.1. C C轨迹是连续的；轨迹是连续的；2.2. C C轨迹可以有重点；轨迹可以有重点；3.3. C C轨迹的拐点仅发生在如下情况；

4、轨迹的拐点仅发生在如下情况；a.a. 静止点处；静止点处；b.b. 在有打击作用的时刻；在有打击作用的时刻；位形空间的特点位形空间的特点1/4/202241.2 1.2 约束约束约束：约束：非自由质点系在空间中的位置及其在运动中受到的限制非自由质点系在空间中的位置及其在运动中受到的限制约束方程：约束方程：用数学方程表达各质点所受的限制条件用数学方程表达各质点所受的限制条件在由两个或更多质点构成的系统中，不受约束的运动是不存在的。在由两个或更多质点构成的系统中，不受约束的运动是不存在的。绝大多数的运动都是约束运动。绝大多数的运动都是约束运动。xylA刚性杆2220AAxyl约束约束1/4/202

5、25具有如下形式或可以化为如下形式的约束称为具有如下形式或可以化为如下形式的约束称为完整约束完整约束：12( ( ),( ),( ), )0Nf u t u tut t 00Avxr 2222220,lyxxyryxAABBAAxyorlBAxyCOA1.3 1.3 完整约束完整约束完整约束完整约束(homonomic constraint)(homonomic constraint)1/4/20226如约束表达式中不显含如约束表达式中不显含时间时间 t t ，则称其为，则称其为定常约束定常约束(scleronomic constraint)(scleronomic constraint)；否

6、则称为否则称为非定常约束非定常约束(rheonomic constraint)(rheonomic constraint) 。lyxA0222lyxAA222( )0AAxyltxyA( )l t定常约束和非定常约束定常约束和非定常约束1/4/20227对于对于定常约束定常约束：12( ( ),( ),( )0Nf u t u tut一个约束方程构成位形空间上的一个一个约束方程构成位形空间上的一个N-1N-1维维固定固定曲面。曲面。对于对于非非定常约束定常约束？系统运动的系统运动的c c轨迹必须位于该曲面内。轨迹必须位于该曲面内。约束方程的几何解释约束方程的几何解释1/4/202281.4 1

7、.4 广义坐标广义坐标能够能够唯一唯一地确定质点系地确定质点系可能位置可能位置的独立参数称为广义坐标。的独立参数称为广义坐标。选定广义坐标后，系统内笛卡儿坐标可由广义坐标确定选定广义坐标后，系统内笛卡儿坐标可由广义坐标确定12( , ) (1,2,3)iilxx q qq tiN广义坐标数为：广义坐标数为：3lNrN 质点总数质点总数 r 完整约束的总数；完整约束的总数； 广义坐标广义坐标1/4/20229取一组新的坐标：取一组新的坐标：123qxyqxqz12311 01 0 00 0 1xqqyqz 两组坐标之间的变换关系：两组坐标之间的变换关系：两组坐标均可以描述质点的位形两组坐标均可以

8、描述质点的位形考虑系统由一个质点构成考虑系统由一个质点构成约束方程为：约束方程为：x- -y=0=0广义坐标广义坐标1/4/202210注意到完整约束关系注意到完整约束关系: :则有：则有：即可以用两个坐标表示系统的位形：即可以用两个坐标表示系统的位形：广义坐标广义坐标在广义坐标下系统的完整约束自然满足，约束方程可不予在广义坐标下系统的完整约束自然满足，约束方程可不予考虑。考虑。0 xy1230qqxqz 广义坐标广义坐标1/4/202211设由设由N个质点组成的系统包含个质点组成的系统包含独立独立的的r个完整约束个完整约束123( , )0 (1,2,)kNfx xxtkr引入一组新的变量引

9、入一组新的变量q q：123( , ) (1,2,3)llNqf x xxtlN令变换关系中的前令变换关系中的前r项为完整约束，其余部分任选，但要求变项为完整约束，其余部分任选，但要求变换式为无关组。换式为无关组。则可以得到从则可以得到从x到到q q的变换：的变换：123( , ) (1,2,3)llNxg q qqtlN广义坐标广义坐标1/4/202212注意到完整约束关系注意到完整约束关系: :则有：则有：123( , )0 (1,2,)kkNqfx xxtkr即笛卡儿坐标可利用另一组坐标表示即笛卡儿坐标可利用另一组坐标表示1(0,0,) (1,2,3)kkrxgqtkN当采用广义坐标时，

10、完整约束自动满足。当采用广义坐标时，完整约束自动满足。广义坐标广义坐标1/4/202213假设约束曲面是光滑的，有：假设约束曲面是光滑的，有：12( ( ),( ),( ), )0Nf u t u tut t 10Nsssffdudtut在约束面上的任一点处的充分小临域内，约束方程要求所在约束面上的任一点处的充分小临域内，约束方程要求所有的可能轨迹必须在其有的可能轨迹必须在其切平面切平面内，而不是内，而不是约束曲面约束曲面内。内。虚位移在约束曲面的切平面内。虚位移在约束曲面的切平面内。约束对无穷小位移的影响（局部特性）约束对无穷小位移的影响（局部特性）1/4/202214在光滑球面上运动的质点

11、，球面方程为：在光滑球面上运动的质点，球面方程为：约束方程：约束方程：2222xyzR2222xyzR无穷小的位移改变应满足：无穷小的位移改变应满足：0 xdxydyzdz约束对无穷小位移的影响（例）约束对无穷小位移的影响（例）1/4/202215设在无穷小位移上的约束为：设在无穷小位移上的约束为：( )0dyg z dx其中其中g( (z) )为为z z的已知函数，求加在有限位移上的约束的已知函数，求加在有限位移上的约束解：解：没有没有加在有限位移上的约束。加在有限位移上的约束。若令加在有限位移上的约束为：若令加在有限位移上的约束为：( )( )yg z xC z则有：则有：( )( )(

12、)()g zC zdyg z dxxdzzz加在加在无穷小位移无穷小位移上的约束不一定会限制上的约束不一定会限制有限位移有限位移的运动。的运动。速度约束不一定对位速度约束不一定对位移有限制。移有限制。约束与有限位移和无穷小位移（例）约束与有限位移和无穷小位移（例）1/4/202216不可化为完整约束形式的约束为不可化为完整约束形式的约束为非完整约束非完整约束。大多数实际遇到的非完整约束问题，其约束方程为大多数实际遇到的非完整约束问题，其约束方程为质点速度的质点速度的一次代数方程一次代数方程：010 (1,2,)NikikiA uAkstanCCyxOxyvC,CCxytan0CCxy1.5 1

13、.5 非完整约束非完整约束非完整约束非完整约束1/4/202217上述形式的微分约束称为上述形式的微分约束称为PfaffPfaff约束约束。将速度形式的约束方程写成微分形式：将速度形式的约束方程写成微分形式：010 (1,2,)NikikiA duA dtks对于完整约束：对于完整约束：12( ( ),( ),( ), )0Nf u t u tut t 0;kkikkiffAAut010 (1,2,)NikikiA dxA dtkrs有：有：则系统的约束方程可以统一表示为微分形式：则系统的约束方程可以统一表示为微分形式：有关于有关于PfaffPfaff约束的可积性定理可见参考文献约束的可积性定

14、理可见参考文献PfaffPfaff形式形式1/4/202218完整约束限制系统的位形轨迹必须在约束曲面上。完整约束限制系统的位形轨迹必须在约束曲面上。非完整约束非完整约束？例：对于非完整约束：例：对于非完整约束：0dyzdx可否由原点到达空间中的可否由原点到达空间中的任一点任一点( (x1 1, ,y1 1, ,z1 1) )？在在xy平面内作函数平面内作函数y= =f( (x) ) ：解：解：1111(0)0,(0)0( ),( )fff xyfxz定义质点的轨迹为：定义质点的轨迹为：( )yf xdfzdx非完整约束的特点可达性非完整约束的特点可达性1/4/202219显然质点的轨迹满足：显然质点的轨迹满足：1. 1. 过原