第一章 随机事件及概率

1、第一章 概率论的基本概念 1 理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系和运算。2 理解概率的定义，掌握概率的基本性质，并能应用这些性质进行概率计算。3 理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，并能应用这些公式进行概率计算。4 理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。5 掌握伯努利概型及其计算。 第一节 基本概念一.必然现象与随机现象 在一定条件下必然发生（或必然不发生）的现象； 条件不能完全决定结果，每次观察所发生的结果可能是不同的。 二.随机试验与随机事件1.随机试验n随机试验具有以下三个特点： 1.可以在相同条件下重复进行；

2、 2.试验结果不止一个，且可以预知一切 可能的结果的取值范围； 3.试验前不能确定会出现哪一个结果。 n例子： ： 掷一个骰子，观察所掷的点数； ：抽查市场某些商品的质量，检查商品是否合格； ：观察某城市某个月内交通事故发生的次数； ：已知某物体的长度在a和b之间，测量其长度； ：对某个灯泡作实验,观察其使用寿命1E2E3E4E5E 2. 随机事件 在随机试验中，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，简称事件。 其特点：事前不能够预言其结果的事情。 常用大写字母A,B,C等表示事件例1.1：抛一枚质地均匀的硬币“反面朝上”“反面朝上”“正面朝上”，“正面朝上”， BA 例2.1：袋中有10个

3、大小相同的小球，编号从0到9，每次从袋中取出一球，看编号。”“编编号号“编编号号为为奇奇数数”，“编编号号为为49 , 1 , 0 CBiiAi 基本事件：试验的每一个可能的结果是事件， 因为这种事件不可能再分解为更简单的事件， 所以我们称这种事件为基本事件。b. 复合（一般）事件：由若干基本事件复合而成。c. 在一次试验中，一个事件发生当且仅当它所含 的一个基本事件发生；一个事件不 发生当且仅 当它所含的所有事件都不发生 三、事件的集合表示，样本空间 n样本点：随机试验中每一种可能的结果为一个样本点，记为：n样本空间：由全体样本点组成的集合。记为： 。n例：。；，；合格品，不合格品合格品，不

4、合格品0, 210;6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 154321 ttblal 四. 事件的关系与运算 1、事件的集合论定义：a.随机事件随机事件：样本空间中满足某些条件的样本点构成的子集称为随机事件，通常用A, B, C表示；b.基本事件基本事件：只含有一个样本点的事件；c.必然事件必然事件：样本空间本身也是事件；d.不可能事件不可能事件：空集中不含样本空间的任何元素，它叫不可能事件。直观意义与集合论定义比较 符 号集合论解释概率论解释 空间必然事件、样本空间 空集不可能事件 点（元素）基本事件、样本点 A 的子集A事件A 是 A中的点事件A发生 不是A中的点事件A不发生AA 2.

5、事件的包含关系 （1）事件的包含：若事件A发生必有事件B发生，即A中每个样本点都属于B,则称A包含于B,记为 （2）事件的相等：若 且 ，则称A与B相等，记为A=B。BABAAB “编号为奇数”“编号为奇数”或或“编号为“编号为中中例例 BA312 . 1BAABBAdCACBBAcAAbAa 则则且且若若则则且且若若包包含含关关系系的的性性质质：,)(,)()(;)( 3、和事件 事件的和（并）：事件A发生或者B 发生，称为A与B的和（并）事件，记 。 推广：事件 至少发生其一：事件 的至少发生其一： BAnAAA,21niinAAAA121 ,21AA 121iiAAA 4、交事件（积事件

6、） 事件的交(积) ：事件A与B都发生，称为A与B的积（交）事件，记为 。推广： 事件 同时发生： 事件 同时发生：BAnAAA,21,21AAininAAAA121 iiAAA 121 5、差事件：事件A发生但B不发生 称为A与B之差，记为A-B AAAAA;性性质质： 6、互斥（不相容）事件：若事件A与B不能同时发生， 称A与B为互斥事件.7、互逆事件：若 且 则称A与B为互逆事件.记 BABA)(ABBA 符 号集合论解释概率论解释A是B的子集事件A发生必导致事件B发生 A=B集合A与B相等两事件A与B相等A的补集A的对立事件 A与B的交集事件A与事件B同时发生A与B的和集事件A与B中至

7、少有一个发生 A-BA与B的差集事件A发生但B不发生A与B没有公共点 事件A与B互不相容BAABAABBA 8、 事件运算的基本性质交换律 结合律 分配律 摩根定律（对偶律） ABBAABBA ,CBACBACBACBA)()(,)()( )()()(),()()(CABACBACABACBA BABABABA, 11111111,iiiiiiiiniiniiniiniiAAAAAAAA 否定律幂等律 , AAAAAAAA,BABA 第二节 随机事件的概率 一. 概率的统计定义 定义1.1 在n次重复试验中，若事件A发 生了m次，则称m为事件A发生的频数，称 为事件A发生的频率，记为频率的稳定

8、性：对于每个事件A，随着试验次数n的逐渐增大，频率 逐渐稳定于某一固定常数。 nmnmAfn)()( Afn 概率的统计定义：在同样的条件下进行大 量试验时，根据频率的稳定性，事件的 频率必然稳定在某一个确定数的附近则，定义事件的概率为P(A)=p二、古典概型1、定义 如果随机试验满足下述三条： (1) 试验结果的个数有限，即样本空间为 (2)基本事件 两两互不相容 (3)基本事件 发生的可能性相等。我们称具有以上两特点的随机试验所对应的概率模型为古典概型古典概型;,21n ,21n ,21n 定理2.1 在古典概型中，设样本空间 有n个样本点，A是 的事件且A中有k个样本点，则事件A发生的概

9、率为例2.1、袋中有10个小球，4个红的，6个白的，按下述两种取法连续从袋中取3个球，分别求下列事件的概率：A=“3个球都是白的”，B=“2个红的，一个白的”.nkAP)( 抽取方案(1) 每次抽取一个，看放回袋中；然后再抽取下一个(有放回抽样)(2) 每次抽取一个，不放回袋中；然后在剩下的小球中再抽取下一个(不放回抽样) 概率计算要点n给定样本点，并计算出它的总数n再计算有利场合的数目 2、 基本的组合分析公式 a. 两条原理 乘法原理乘法原理：若进行 过程有 种方法，进行 过程有 种方法，则进行 过程后接着进行 过程共有 种方法。 加法原理加法原理 ：若进行 过程有 种方法，进行 过程有

10、种方法，假定 过程与 过程是并行的，则进行 过程或 过程的方法共有 种。1A1n2A2n1A2A21nn 1A1n2A2n1A2A21nn 1A2A b. 排列：(1) 在有放回选取中，从n个元素中取出r个 元素进行排列，这种排列称为有重复的排列，其总数共有 种。(2) 在不放回选取中，从n个元素中取出r个元素进行排列,其总数为 这种排列称为选排列.当r=n时,称为全排列. (3) n个元素的全排列数为rn) 1).(2)(1( rnnnnArn!123)1(nnnArn c. 组合 （1）从n个元素中取出r个元素而不考虑其顺序，称为组合，其总数为 （2）若 ，把n个不同的元素分成k个部分，第

11、一部分 个，第二部分 个，,第k部分 个，则不同的分法有 种。 （3）从n个元素中有重复地取r个，不计顺序，则不同的取法有 种，这个数称为有重复组合数。)!( !)1()1(!rnrnrrnnnrArnCrnrn nrrrk 211r2rkr!21krrrn rrn1例2.2 麦克斯韦尔-波尔兹曼点运动问题: 有m个质点，每个质点等可能地落入N个格子里（每个格子可容纳的质点数不限），试求P(A),P(B). 1)A=“m个质点落入同一个格子里”； 2)B=“m个质点落入不同的m个格子里” 例2.3. 口袋中有a只黑球，b只白球，它们除颜色不同外其它方面无差别，现把球随机地一只只摸出来，求第k次

12、摸出一只球是黑球的概率例2.4 将15名新生随机地平均分配到三个班级中，这15名新生中有3名是优秀生。问1）每个班级各分配到一个优秀生的概率是多少？2）3名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？例2.5 某接待站在某一周接待过12次来访，已知所有这些接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的？ 四、 概率定义及性质1 定义2.3：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数满足下列条件 （1）非负性：对于任一事件A，有 （2）规范性：对于必然事件S，有P(S)=1 （3）可列可加性：设 为两两不相容(互斥)事件

13、，则有 0)(AP ,21, AA 11)()(iiiiAPAP 2、 概率的一些重要性质1）2）有限可加性：设 为n个两两不相容事件，则有 0)(PnAAA ,21,niniiiAPAP11)()( 3）减法公式：若 ，则 P(B-A)=P(B)-P(A),推论1. 若 ，则推论2. 对任一事件A，4）逆事件的概率: 对于任一事件A，有BABA)()(APBP1)(AP)(1)(APAP 5） 加法公式：对于任两个事件A,B，则推广：对任意n个事件 ,有)()()()(ABPBPAPBAPnAAA,21 )()1()()()()(2111111nnnkjikjinininjijiiiAAAP

14、AAAPAAPAPAP 例2.6：设A、B为两个事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.5， ，求7 . 0)( BAP)(),(),(BAPABPBAP3 . 07 . 01)(1)()(6 . 04 . 01)(1)(2 . 0)()()()()(4 . 07 . 05 . 06 . 0)()()()( BAPBAPBAPABPABPABPAPABAPBAPBAPBAPBPAPABP解解：例例2.9：某城市共发行：某城市共发行A,B,C三种报纸，调三种报纸，调查表明居民家庭中订购查表明居民家庭中订购C报的占报的占30%，同，同时订购时订购A,B两报的占两报的占10%,同时订购同时订购A,C

15、及及B,C两报的各占两报的各占8%，5%，三报都订的占，三报都订的占3%.今在该城中任找一户，问该户今在该城中任找一户，问该户(1)只订只订A、B两报；两报；(2)只订只订C报的概率各为多少？报的概率各为多少？2 . 0)03. 005. 008. 0(3 . 0)()()()()()()()(07. 003. 01 . 0)()()()(, ABCPBCPACPCPBCACPCPBACCPBACPCPABCPABPABCABPCABPBAPCBACBA报的）报的）只定只定报的）报的）及及（只定（只定报，由提设知报，由提设知分别表示居民定购分别表示居民定购解：设解：设 第三节 条件概率一. 条

16、件概率(conditional probability)的定义 定义.3.1 设A,B为同一随机试验中的两个 事件，且P(A)0，称 为在事件A发生条件下事件B发生的条件 概率。)()()|(APABPABP 例3.1：将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况，设事件A为“至少有一次为正面”，事件B为“两次掷出同一面”。求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率。 定理3.1 设A为一给定的事件，且P(A)0，则关于条件概率成立（1）非负性：对任意的事件B， ；（2）规范性：（3）可列可加性：若 是一列两两互不相容的事件，有0)|( ABP1)|( AP ,21nBBB 11).|()|(

17、iiiiABPABP n定理3.2 若P(A)0，对于事件A发生下的条件概率成立 (1) (2)若 两两互不相容,则 (3)对任意事件B，成立 (4)若 ，则 P(B-C|A)=P(B|A)-P(C|A)0)|( APnBBB,21 niniiiABPABP11).|()|( )|(1)|(ABPABP BC (5). 对任意事件B、C，成立一般地，对任意有限个事件 ，成立)|()|()|()|(ABCPACPABPACBP nBBB,21 )|()1()|()|()|(211111ABBBPABBPABPABPnnnininjijiii 例3.2. 一个盒子装有4只产品，其中有3只一等品，1

18、只二等品。从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样。设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”。试求条件概率P(B|A). 二. 乘法公式定理3.3 对于任意的事件A,B, 若P(A)0，则 P(AB)=P(A)P(B|A) 上式称为事件概率的乘法公式。推论：设 是n个事件， ，且 ，则有nAAA,21 )2( n0)(121 nAAAP)|()|()()(12112121 nnnAAAAPAAPAPAAAP例3.4. 袋中有r个红球，t个白球，每次从袋中任取一球，观其颜色后放回，并再加入同颜色、同型号的小球a个。若在袋中连续取球四次，试求第一、第二次取到红球、第三

19、次、第四次取到白球的概率. 三. 全概率公式定义3.2 设S为某随机试验E的样本空间， 为E中一组事件，若满足： (1) 互不相容性： (2) 完全性： 则称 为样本空间S 的一个划分， 或是一个完备事件组。nBBB,21 njijiBBji, 2 , 1,),( niiSB1 nBBB,21 定理3.4 设试验E的样本空间为S,A为E的事件， 为E的 一个划分，且 ，则有(全概率公式） nBBB,21 ),2 , 1(0)(niBPi niiiBPBAPAP1)()|()( 例3.5：某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的。根据以往的记录有以下的数据 元件制造厂 次品率 提供元件

20、的分额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志，在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率。 四. 贝叶斯公式定理3.5：设 构成样本空间S的一个划分，且 ,A是任一事件,且P(A)0,则有(贝叶斯公式）nBBB,21 ),2 , 1(0)(niBPi niBAPBPBAPBPABPnjjjiii, 2 , 1,)|()()|()()|(1 例3.6 在例3.5中，在仓库中随机地取出一元件，若已知取到的是次品，为分析该次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生厂的概率分别是多少，试求这些概率选择。 例3.7 对以

21、往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为98%，而当机器发生某种故障时，其合格率为55%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%。试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？ 第四节 事件的独立性一.两个事件的独立性n定义4.1： 设A,B为同一样本空间中的两事件，若 P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B互相独立。例4.1：一口袋中装有a只黑球，b只白球，采用有放回摸球，求：1）在已知第一次摸得黑球的条件下，第二次摸出黑球的概率；2）第二次摸出黑球的概率。baaBAPABPBPbabaBAPbaaAPABPABPbaaABPbaaAPBA )()

22、()()()()2()()()|()()(,)()1(222“第第二二次次抽抽到到黑黑球球”“第第一一次次抽抽到到黑黑球球”，解解：设设定理4.1：若P(A)0,则事件A,B相互独立的充分必要条件是 P(B|A)=P(B)注：1）零概率事件与任何事件都是相互独立的； 2）A,B相互独立，必有B,A相互独立。定理4.2 ：设两事件A,B互相独立，则 A与 ， 与B， 与 各对事件也分别互相独立。BAAB n例4.3：甲乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9和0.85，求每人射击一次后，目标被击中的概率。85.09 .085.09 .0)()()()()()()()()(212121212121 APAPAPAPAAPAPAPAAPAPAAA“目目标标被被击击中中”，则则“乙乙击击中中目目标标”“甲甲击击中中目目标标”，解解： 二. 多个事件的独立性n定义4.2：设 是n个事件，如果对其中任意两个事件，有 则称这n个事件两两独立n定义4.3：设 是n个事件，若对其中任意 个事件 有 则称这n个事件相互独立。)2(,21 nAAA