信号与系统课后习题答案汇总

1、第一章习题参考解答1.1 绘出下列函数波形草图。(1) x(t)=3e4| x(n)J"2)n2nn _0n :二 0 x(t)=sin2t ；(t)(5) x(t) =ecos4二t ；(t) 一 ；(t -4) x(t) =、；(t) _-(t -2) cos-t 2(9) x(t)=一2 (t 一1)；(t 一2)(11) x(t) =d Xt 1)- (t-1)dtt(13) x(t)=：.( -1)d(4) x( n) =sin 停;(n)4 ，(6)0.5 x(n) =3 产(n1)一名(n4)(8) 0 kn) =n 5(n3)Wnn(10)-3 -2 -10123x(

2、n) =n ；(n) 一 ；(n _5) 5；(n_5)(12) x(n) = ；(n 5) 一(_n)(14) x(n) = -n ；(一n)1.2 确定下列信号的能量和功率，并指出是能量信号还是功率信号，或两者均不是。 x(t)=3e*解解 解能量有限信号。信号能量为:'"2 n2nn _0n ：: 0能量有限信号。信号能量为:x(t) =sin 2 t功率有限信号。周期信号在( wo)区间上的平均功率等于在一个周期内的平均功率,sin 2E的周期为1(4) x(n) =sin n解 功率有限信号。sin n是周期序列，周期为8。4(5) x(t) =sin 2 t ；(

3、t)解 功率有限信号。由题(3)知，在(血产)区间上sin2nt的功率为1/2 ,因此sin2;ii e(t)在(血产)区间上的功率为1/4。如果 考察sin 2加以t)在(0,心)区间上的功率，其功率为 1/2。(6) x(n) =sin n ;(n)4TTTT解 功率有限信号。由题(4)知，在(-oci, oo)区间上sin二n的功率为1/2 ,因此sin n£(n)在(一口口,g)区间上的功率为1/4。如果 44TT考察sin -ns(n)在(0,对区间上的功率，其功率为1/2。4 x(t) =3e解 非功率、非能量信号。考虑其功率：上式分子分母对T求导后取极限得 Pt。(8)

4、 x(t) =3e4 ;(t)解能量信号。信号能量为：1.3已知x(t)的波形如题图1.3所示，试画出下列函数的波形 x(2t)二2/2 °| 1 01234x(-t)(6) x(-t2)x(_t _2)(8) x( 2 2)1(9)x(- t _ 2)(10)-8-1/2(14)t20ttt1.4Xl(t)及X2 (t)的波形如题图1.41(a)2121-1/2210所示，试分别画出下列函数的波形，并注意它们的区别(11) x(t) X X2 (2t)(12) X(2t)(1)X1 (2t)5 6211 0.-12378(b)题图1.411 02t-2)123 423 45 678

5、,1、X(t_2)211-03/21/2-1 0 11t2+t+21女X( T)d T=2320-.”- 1_-4-2 0-41 3/2-1 - 8?X0-4 - - - 01.5已知X(n)的波形如题图1.5所示，试画出下列-3 -30d(13)一序列的波形。(1) X(n 4)2 2 2 1 X( -rn)-1 0 1 2x( -n -3)2 2 21 1-6-5 -4 -3”-2-1 011-3 -2-16题.5j 2 P x( -n 3)x( -n - 3) +x(-n3)2 2 22 2 21 11 1-6-5 4-321(7) ' x( n) = X(n) -x( n -1

6、)n(8)x(m)m - j8 8 81 14其中Xe为偶下式确定：1.6任何信号可以分解为奇分量和偶分量的和:X(t)=Xe(t)+X0(t)或X(n) =Xe(n) Xo(n)分量；Xo为奇分量。偶分量和奇分量可以由Xe (t)1FX(t)+X(),、1Xo(t) = X(t) X() 2Xe(n) =-x(n) +x(_n) ,x。(n) = - x(n) -x(-n)22试证明 xe(t)=xe(-t)或Xe(n)=Xe(-n);x0(t) = x0(-t)或x0(n) =X0(n)。试确定题图1.6(a)和(b)所示信号的偶分量和奇分量，并绘出其波形草图。证明根据偶分离散序列的证明类

7、(2)根据定义可绘出1.7设x(n) =2n ,试求一.-.22W(n), &(n),V x(n), A x(n) o的，试求其最小周期。-23 i 1t1.8判断下列信号是否为周期信号，若是周期x(t) =cos(4t )6周期信号，T1 =三2x(t) =sin(21t) ;(t)非周期信号。x(t) =e * cos(21t)非周期信号。-30-3/2-3/2 解 解j 二(t 4)x(t) =e 4周期信号，T1=8。x(t)= asin(5t) bcos(-：t)-3/2 211 2-312 -0T-i-2 -3/2 (6)若 a =0, b =0,若 a =0,b =0,若

8、 a =0,b =0,则x(t)为周期信号，则x(t)为周期信号，T1 则x(t)为非周期信号。T1b =2 ;X(n) =cos( n3)解(8)解:周期信号，N1 =16。X(n) =cos(7 二n) 9周期信号，N1 =18。x(n) =con(16n)非周期信号。(9)解:x(n) =e周期信号,N1 =15。(10)解:1.9x(n) =3cos(n)，sin(n)-2sin(n ) 6343周期信号，最小公共周期为N1 =24。计算下列各式的值。二 XI),”解:解:原式=：x(_t0)；.(t)dt=x(40).tx( . -t0);.( ,)d .原式=x( -t0) ?i(

9、 )d , =x(-t0) y(t)J-=0:x(t0"dt解:原式=：x(t0);.(t)dt =x(t0)J-=o解:二x(t5'dt原式二-x (t -t0)tL-x,Jo)tnJt-t0)(t 一万)dt解:原式= ;(t0 一*(t -t0)dt =(6)t|：，( . -t0) ;( . -2t°)d .解:原式=(: t0) 茶0 2t0 )d T = S( -t0 ) L3s(T t 0)dT = 8(4。)名(t t0) ="to 0i (t -t0) t0 : 0解:(8)解:、xt)dtJ_cO原式二10 _.一(t)dt原式二0(9

10、)dt(10)(11)(12)解:原式二00 -0 _、(t)dt原式二1qQ二(3t -3)(t 2 2t -1)dt令v =3t得：原式=/ (v -3)( )2 2 -1 dv = ()22 一1 x=3 =2-3333 333二广(t 1)x(t)dt原式二 x (t) t =-x ( -1)(13)解:(14)._<''(t)e4dt原式=Te'tf =1131、(2t 3)x(t)dt3原式因为2v 1=32 c.(v3)x(2) 2dv 飞1.10设x(t)或x(n)为系统的输入信号， y(t)或y(n)为系统的输出信号，试判定下列各函数所描述的系统

11、是否是:(a)线性的解：令v=2t得:2=%、(v-3)x(2) 飞2p2 &v _3)dv =0,所以：原式=0一3(b)时不变的(c) 因果的(d) 稳定的(e) 无记忆的？ y(t) =x(t 4) 解(a)线性的.丁若 xi(t)T yi(t)=xi(t+4); x2(t)T y2(t)=x2(t+4) 则：ax1 (t) bx2 (t) y(t) = ax1 (t 4) bx2 (t 4) =ay1(t) by2(t) (b)时不变的.;若 x(t)T y(t) =x(t+4)则：x(t x(t 4 f)(c)非因果的.丁 t0时刻的响应取决于t0以后时刻(即10十4时刻)的

12、输入.(d)稳定的.丁若 |x(t)|WM < 则：|y(t)|WM <的(e)有记忆的丫若系统的输出仅仅取决当前时刻的输入，则称此系统为无记忆系统。题给系统显然不满足此条件 y(t) =x(t) +x(t -t) ( t>0 ,且为常数)解(a)线性的.丁若xi(t)Tyi(t)=xi(t)+x1(t f),x2(t)T y2(t)=x2(t)+x2(t -l)则:axibx2(t)y(。=axi xi(t-) bx2x2(t -) =ayi(t)by2(t)(b)时不变的.; 若 x(t) t y(t) =x(t) +x(t -T)则：x(t -t0)- x(t t。)x

13、(t -t0 - ) =y(t t0)(c)当T A0时为因果的.; 当£ A0时：系统t0时刻的输出仅与t0及t0以前时刻的输入有关.当七<0时：系统t0时刻的输出与t0以后时刻的输入有关.(d)稳定的. 若 | x(t) | <°°,则 | y(t) |<i (e)有记忆的.;系统t0时刻的输出与t0时刻以前的输入有关.(3) y(t)=x(t/2)解：(a)线性的.(说明略)(b)时变的;若 x(t)T y(t) =x(工) 2Eltt 一 .、则：x(t - .) > x(- - .) -x(-)(c)非因果的.1. .,1, y(

14、T)=x(-2).即t=T时刻的输出与t =-1时刻以后(t=-2)的输入有关.(d)稳定的.(说明略) (e)有记忆的.11.- y(i) =x(-).即t=1时刻的输入与t =1时刻以刖(t =一)的输入有关.22 y(t) =x2(t) 解：(a)非线性的.丁 若 Xi(Dt yi =x2，X2(t)T y2(t) =x2(t)则：ax1(t)bx2(t)ax1(t)bx2(t)2 :ax12(t)bx2 (t) =ay1(t)by2(t)(b)时不变的.丁若 x(t)T y(t) =x2 (t)则: x(t - .)-； x2(t - ) =y(t -.)(c)因果的.(说明略)(d)

15、稳定的.(说明略)(e)无记忆的.: t0时刻的输出仅取决于t0时刻的输入. y(t) =e2x(t)解：(a)非线性的.(说明略)(b)时不变的.(说明略)(c)因果的.( 说明略)(d)稳定的. 若 I x(t) | <M <孙 则 |y(t)区e2M <8(e)无记忆的.(说明略)(6) y(t) =x(t)sin2t解：(a)线性的.丫 若 x1(t) t y1(t) =sin 2汨x1 (t), x2 (t) y2 (t) =sin 2xtx2 (t)则：ax1(t) bx2 (t)sin 2 力ax1(t) bx2(t) =ay1(t) by2 (t)(b)时变的

16、.; 若 x(t)T y(t)则：x(t - ) . (sin 2 t)x(t - ) ;y(t - ) =sin 2 二(t - )x(t -)(c)因果的.(说明略)(d)稳定的.丁 若 |x(t)|<M <«, 则 | y(t) |WM |sin2t|WM /(e)无记忆的.(说明略)x(t) 0解：(a)非线性的.丁 若 x(t) (<0)t y1 (t) #0而a父0时：ax(t)(<0)T y2 (t) =00ayi(t),即不满足均匀性(b)时不变的.二.若 x(t)Ty(t)则:x(t -t0) >x(t -t0) x(t -t0) &g

17、t;00 x(t -t0) <0=y(t -t0)(c)因果的.<t0时刻的输出仅与t0以后时刻的输入无关.(d)稳定的.(说明略)(e)无记忆的.(说明略)(8) y(t)=皿dt解:(a)线性的.dx1 (t)dx2 (t)右 Xi(t)T yi(t)=1, X2(t)-J y2(t) T2 dtdt则：axi(t)bx2(t) > axi(t)bx2(t)=ay1by2(t)dt(b)时不变的.dx(t)右.内修油二丁则：x(t_.) .，dx(t f)dx(t f)dtd(t-)=y(t - )(C)因果的.(说明略)(d)非稳定的.(e)无记忆的(说明略) t y(

18、t) = x( .)d . J-=o解：(a)线性的.(说明略)(b)时不变的.t 若：x(t)T y(t) = x(T)dztt上0则：x(t -t0) x( . -t0)d - =x(v)dv = y(t -t0)(c)因果的.(说明略)(d)非稳定的.,:若 |x(t)Hu(t)|<81,但 |y- 8(e)有记忆的.(说明略)(10) y(n) =x(n) x(n -1)解：(a)非线性的;若 x(n)T yi(n) =x1(n) xi(n1) ,x2 (n)T y2 (n) =xz(n) x2(n1)则：ax(n) bx2 (n)ax(n) bx2(n)ax(n-1) bx2

19、(n-1)吏ay(n) by2(n) (b)时不变的.丫若 x(n)T y(n) =x(n) x(n -1)则：x(n -N). x(n -N) x(n -N -1) =y(n -N)(c)因果的.n。时刻的输出与n0时刻以后的输入无关.(d)稳定的.丫 若 | x(n) |<M <与 则：I y(n) |<M 2 <=o(e)有记忆的.丁 n0时刻的输出与n0时刻以前的输入有关.(11) y(n) =nx(n)解：(a)线性的.;若 x(n)T y(n) =nx1 (n), x2(n)T y2(n)=nx2(n)贝U： ax1(n) bx2(n)r nax1(n) b

20、x2 (n) =ay1(n) by2(n)(b)时不变的.;若 x(n)T y(n) =nx(n)则：x(n -N) (n -N)x(n -N) =y(n -N)(c)因果的.(说明略)(d)非稳定的. 即使 |x(n)|<M , nT时，y(n)T°o(e)无记忆的.(说明略)(12) y(n) =5x(n) 6解：(a)非线性的.;若 x(n) t y(n) =5x(n)+6 , x2 (n) t y2 (n) =5x2 (n)+6则：ax1 (n) bx2(n) y(n) =5ax(n) bx2(n) 6uay(n) 6y2(n)(b)时不变的.(说明略)(c)因果的.(

21、说明略)(d)稳定的.(说明略)(e)无记忆的.(说明略)(13) y(n) =x(_n)解：(a)线性的.(说明略)(b)时变的.;若 x(n)T y(n) =x(_n)则：x(n - N) . x( _n . N) - y(n _ N) =x n _ N)(c)(d)(e)非因果的.Ty()=x(1).即n=时刻的输出与稳定的.(说明略)有记忆的.丁 y(1) =x().即n =1时刻的输出与n = _1以后时刻(n =1时刻)的输入有关.n =1以前时刻(n = _1时刻)的输入有关.22题图1.11*1.11已知x(2 _2t)的波形如题图1.11所示，t画出x(t)的波形。解 将x(2 -2t)的波形扩展可得x(2 -t),将x(2-t)的波形翻转得x(2 +t),将x(2 +t)右移2个单位可得x(t)的波形如下： *1.12判断下列每个系统是否是可逆 的，如果是可逆的，试构成其逆系 统；如果不是，找出使系统具有相同 输出的两个输入信号。 y(t) = je_Ct-tx(Z)d T解原式两边求导得：上式同原式相加得：x(t) =y(t) dya) dt所以系统可逆，逆系统为x(t) =y(t) -dyt) dt,1=0<-1x(n -1) y(n) = 0x(n)解:系统可逆，逆系统为x(n)=y(n +1)y(n