均匀带电薄圆盘上的电势

1、均匀带电薄圆盘上的电势22 卷第6期第云南师范大学学报22No. 6 Vol,均匀带电薄圆盘上的电势李清玉,李永铸,单常琼112(1,西南林学院根底部,云南昆明650224; 2,昭通师范高等专科学校物理系,云南昭通 657000)摘 要：计算均匀带电薄圆盘上的电势需要用到勒让德椭圆积分.介绍勒让德椭圆积 分的计算方法,指出选择适当的极坐标系可以简化计算带电体产生的电势.关 键 词：电 势；极坐标；勒让德椭圆积分中图分类号：O441. 1文献标识码：A 文章编号:1007-9793(2002) 06-39-02对电荷分布的带电体,可用积分求得该带电体在空间中P点的电势为：.U =r4 0式中r

2、为电荷元d q到P点的距离.例如,带电量为q半径为R的均匀带电圆环,在其轴线上离轴线中央距离为r的P点,所产生的电势为2 U =.4 00+R 4 R +r 0 图1均匀带电圆环产生的电势计算一般情况下,计算积分相当困难,积分结果也相当复杂.比方当 Fig. 1 Calculate the electr ic potential 上例中的P点偏离轴线,与轴线成 角时(如图1), 文1给 出了 P点的电势为：22) +() (2) 2+q 1+() (222U =4 R +r +2Rr sin 0为了简化积分的计算,就需要选择适当的坐标系.例如文2给出这样一道习题：半径为R的薄圆盘均匀带电,电荷

3、面密度为,求盘中央与边缘的电势差.假设把这道题普遍化,就是要求出均匀带电薄圆盘上任一点P的电势.为了求出P点的电势,可选择P点为极点,P点与圆心O的连线为极轴建立极坐标系.设|PO |=a 显 然0 a R , 那么P点电势为：U =4 0 d d r4 a cos +R -a sin d4 a cos d + R -a sin d 4 1-a/R sin d 4 2 a cos +0R -a si n r 002 02 2 0 02 00图2均匀带电薄圆盘上电势计算Fig. 2 Calculate the electric po tentical on evenly electrified

4、thin disc 收稿日期:2002-03-13, 40云南师范大学学报自然科学版第22卷上式中的积分是勒让德椭圆积分.当 a =0圆心和a =R 圆盘边缘时,可以很容 易地求出积分：当a =0时,2 U =d =;4 2 000当a =R时,U =4 0=4 02|cos |d =4 0cos d -3 /2- /2|cos |d/2- /23 /2 /2cos d =0可见圆盘中央与边缘的电势差为积分-.20当02展开成泰勒级数1-k sin计算这一积分的方法,是将1-k sin224466881-k sin =1-k sin -k sin -k sin -k sin -22 42 4

5、62 4 6 8从而将勒让德椭圆积分改写为无穷多个积分之和,再利用递推公式n 2 n-2sin =sin n 00即可求得：2223242k ) -3(k ) -5(k ) -7(k ) -022 42 4 62 4 6 8从而盘上距圆心为 a处的P点的电势为2341-( ) 2-3( ) 2-5( ) 2-7( ) 2-U =2 2R 2 4R 22 4 6R 32 4 6 8R 40由于a/R1-k sin =21-(参考文献：1234张之翔 电磁学教学札记M 北京：高等教育出版社,1987 81 86 陈家森,汪昭义 普通物理学M 上海：华东师范大学出版社,1998梁绍荣 普通物理学(第

6、三分册 电磁学)M 北京：高等教育出版社,1998数学手册 编写组 数学手册M 北京：人民教育出版社,19792The electric potentical on evenly electrified thin discLI Qing -yu 1, SH AN Yu -qiong 2(1. Department of Basic Courses, Southwest Fo restry College, K unming 650224, China;2. Department of Physics, Zhong tong T eacher s Co llege, Zhong tong6570

7、00, China)ABSTRACT T he leg endre elliptic integ ral is needed to Calculate theelectric potentical on evenly electrifiedthin disc. So w e introduced the calculating method in this paper for :eg endre elliptic integral and pointed out that to choose proper polar coordinates can simplify Calculating electric potenticals