必修二立体几何典型例题

1、必修二立体几何典型例题【知识要点】1 空间直线和平面的位置关系：(1) 空间两条直线： 有公共点：相交，记作： a n b = A,其中特殊位置关系：两直线垂直相交. 无公共点：平行或异面.平行，记作：a/ b 异面中特殊位置关系：异面垂直.(2) 空间直线与平面： 有公共点：直线在平面内或直线与平面相交.直线在平面内，记作：a二：-.直线与平面相交，记作：a n : = A,其中特殊位置关系：直线与平面垂直相交. 无公共点：直线与平面平行，记作：a / :.(3) 空间两个平面： 有公共点：相交，记作：: n = I，其中特殊位置关系：两平面垂直相交. 无公共点：平行，记作：:-/.2.空间

2、作为推理依据的公理和定理：(1) 四个公理与等角定理：公理1 :如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3 :如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.(2) 空间中线面平行、垂直的性质与判定定理： 判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行. 如果一条直线与

3、一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线 平行.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.垂直于同一个平面的两条直线平行.如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.(3)我们把上述判定定理与性质定理进行整理，得到下面的位置关系图: 直线"直线丄平向/平面平面/平面直线丄直线平面丄平面【例题分析】例2 在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M , N分别是AB,

4、PC的中 点，求证：MN /平面PAD .出现了中点的条件，因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明.证明：方法一，取PD中点E,连接AE, NE.底面ABCD是平行四边形，M , N分别是AB, PC的中点,1 MA / CD , MA CD.2T E是PD的中点，1 NE / CD , NE CD.2 MA / NE，且 MA = NE , AENM是平行四边形， MN / AE .又AE 平面PAD, MN 二平面PAD , MN /平面 PAD .方法二取CD中点F，连接MF , NF ./ MF / AD, NF / PD,平面MNF /平面PAD , MN /平面 FAD .【评述】关

5、于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法:(1)证明线线平行：a / c, b / c,a / a, a= 3a/ 3a丄a, b丄aaCl 3= b? Ca= a, C 3= b=> a / b二 a / b二 a / b=> a/ b(2)证明线面平行:a C a= 0a / ba/ 3a,a aa= 3=a / a二 a / a二 a / a(3)证明面面平行:aC3= 0a / 3 b / 3a丄a, a丄3a/ 才,3/ 'a , b 匚 a, a Ab= An a/3二 a/ 3n a/ 3二 a/ 3于经过BC1的平面即可.证明：连接ACi .ABC AiBiC

6、i是直三棱柱， AA1±平面 ABC, AB 丄 AA1.又AB丄AC, AB丄平面 AiACCi,- AiC丄 AB .又 AAi = AC,侧面AiACCi是正方形，- AiC 丄 ACi.由，得 AiC丄平面ABCi,- AiC丄 BCi.【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以"线面垂直”为核心展开的.如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“AB丄AC ”都要将其向“线面垂直”进行转化.例4 在三棱锥 P ABC中，平面PAB丄平面 ABC, AB丄BC, API PB,求证：平面PAC 丄平面PBC.【分析】要证明“面面垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，而“

7、线面垂直”又 可 以通过“线线垂直”进行转化.证明：平面PAB丄平面 ABC，平面FAB门平面 ABC = AB,且 AB丄BC, BC丄平面PAB, APIBC.又 API PB, APX平面 PBC,又AP二平面PAC,平面PAC丄平面 PBC .【评述】 关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法:(1)证明线线垂直：a丄 c, b / c,a丄abU a二a丄bn a丄b(1)证明线面垂直:a丄m, a丄na / b, b 丄 aa / B, a 丄 Ba丄 B, aQ B= lm, n 二 a, mQn = AaU b, a丄 l=> a 丄 a=a丄a=> a 丄 an

8、a丄a(1)证明面面垂直:a 丄 B, aU an a丄B例5 如图，在斜三棱柱 ABC A1B1C1中，侧面AiABBi是菱形，且垂直于底面 ABC ,(I )求证：直线EF /平面A1ACC1；(H )在线段AB上确定一点G,使平面EFG丄平面ABC，并给出证明. 证明：(I )连接A1C, A1E.T侧面A1ABB1是菱形，E是AB1的中点， E也是A1B的中点，又F是BC的中点， EF / A1C.TA1C 平面 A1ACC1, EF 二平面 A1ACC1,直线EF /平面A1ACC1.BG 1解：当时，平面EFG丄平面ABC，证明如下：GA 3连接EG , FG .侧面A1ABB1是

9、菱形，且/ A1AB = 60°,.A A1AB是等边三角形.BG 1 E是A1B的中点， EG丄AB .GA 3T平面A1ABB1丄平面ABC，且平面 A1ABB1Q平面ABC = AB, EG丄平面ABC .又EG二平面EFG，平面 EFG丄平面ABC .例6 如图，正三棱柱 ABC A1B1C1中，E是AC的中点.(I )求证：平面 BECi丄平面ACC1A1； (n )求证：ABi/平面BEC【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考.证明：(I )T ABC A1B1C1是正三棱柱

10、， AA1±平面ABC , BE 丄 AA1./ ABC是正三角形，E是AC的中点， BE丄AC,. BE丄平面 ACCiAi, 又 BE 平 面 BEC1,平面BEC平面 ACC1A1.(n )证明：连接 BiC，设 BCiH BiC = D . BCC1B1 是矩形，D 是 BiC 的中点， DE / ABi.又 DE 平面 BECi, ABi 二平面 BECi, ABi / 平面 BECi .例7 在四棱锥 P ABCD中，平面 FAD丄平面 ABCD , AB / DC , PAD是等边三角形，已知 BD = 2AD = 8, AB=2DC=4.5 .(I )设M是PC上的一

11、点，证明：平面 MBD丄平面FAD;(n )求四棱锥P ABCD的体积.【分析】本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从M是PC上的动点分析知，MB , MD随点M的变动而运动，因此可考虑平面MBD内“不动”的直线BD是否垂直平面 PAD .证明：(I )在厶ABD中，由于 AD = 4, BD = 8, AB=4.5 ,所以 AD2+ BD2= AB2.故AD丄BD.又平面PAD丄平面 ABCD，平面 PAD门平面 ABCD = AD, BD 平面 ABCD , 所以BD丄平面PAD,又BD 平面MBD，故平面 MBD丄平面 PAD .(n )解：过 P作P0丄AD交AD于0

12、,由于平面 PAD丄平面 ABCD，所以P0丄平面 ABCD .因此P0为四棱锥P-ABCD的高，又厶PAD是边长为4的等边三角形.因此 P0二 手 4 = 2 3.在底面四边形 ABCD中，AB / DC , AB= 2DC,，即为所以四边形 ABCD是梯形，在Rt ADB中，斜边AB边上的高为梯形ABCD的高，所以四边形ABCD的面积为S二2 5严 5 2=24.故25VPbcd = § 24 2 3 =16. 3.练习一、选择题：1. 已知m, n是两条不同直线，:-,:,是三个不同平面，下列命题中正确的是()(A) 若m /用,n /二匚，贝U m / n(B)若m丄用,n丄

13、用，贝U m / n(C)若丄,丄，则:-(D)若 m / : , m/ 1 ,则/ '2. 已知直线 m, n和平面:-,，且ml n, m丄：，：丄，则()(A) n 丄卜(B) n/ :，或 n 二：(C) n丄：(D) n / ：,或 n 二：3. 设a, b是两条直线，：、1是两个平面，则a丄b的一个充分条件是()(A) a丄：，b / ：,：丄：(B) a丄：，b丄：，：/ :(C)a 二：二，b丄, :- /(D) a 二：z , b / ：,:丄：4. 设直线m与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是()(A) 在平面二内有且只有一条直线与直线m垂直(B) 过直线m有且

14、只有一个平面与平面:-垂直(C) 与直线m垂直的直线不可能与平面平行(D) 与直线m平行的平面不可能与平面垂直二、填空题：5. 在三棱锥 P ABC中，PA=PB二、6，平面PAB丄平面ABC, PA丄PB, AB丄BC,ZBAC = 30°，贝U PC =.6. 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，当底面ABCD满足条件 时，有A1C丄B1D1.(只 要求写出一种条件即可)7. 设：，1是两个不同的平面，m, n是平面:,1之外的两条不同直线，给出四个论断：ml n 二丄：n丄：m丄二以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出正确的一个命题.&已知平面:-丄

15、平面1 , Q - = l，点A, AT，直线 AB/ l，直线 AC丄I，直线 m/ :-,m/ 1 ,给出下列四种位置： AB/ m；AC丄m；AB / = AC丄一：， 上述四种位置关系中，不一定成立的结论的序号是 .三、解答题：9. 如图，三棱锥 P ABC的三个侧面均为边长是 1的等边三角形，M , N分别为PA, BC 的中点.(I )求MN的长；(H )求证：PA丄BC.10. 如图，在四面体 ABCD中，CB = CD , AD丄BD，且E、F分别是 AB、BD的中点.求 证：(I )直线EF /平面ACD ;(n )平面EFC丄平面 BCD .11. 如图，平面ABEF丄平面

16、ABCD ,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，/ BAD = Z FAB 11=90°, BC / AD, BC AD, BE/AF, BE AF , G, H 分别为 FA, FD 的中点.22(I )证明：四边形 BCHG是平行四边形；(n )C, D, F, E四点是否共面？为什么？(川)设AB= BE，证明：平面 ADE丄平面 CDE .专题七立体几何参考答案练习一、选择题：1. B 2. D 3. C4. B二、填空题：5.106. AC丄BD(或能得出此结论的其他条件 )7.、=；或、=8.三、解答题：9. ( I )解：连接 MB, MC.三棱锥P ABC的三个侧面

17、均为边长是 1的等边三角形，J3一MB = MC，且底面厶ABC也是边长为1的等边三角形/ N为BC的中点， MN丄BC.2 在 Rt MNB 中，MN 二.MB2-BN2 =2(n)证明： M是pa的中点， PA丄MB,同理 PA丄MC ./ MB n MC = M , PA丄平面 MBC,又 BC 二平面 MBC,. PA丄 BC.B10. 证明：(I ) / E、F分别是AB、BD的中点， EF是厶ABD的中位线， EF / AD.ACD .又EF二平面 ACD, AD二平面ACD，直线 EF /平面(n )T EF / AD , AD丄 BD, EF 丄 BD ./ CB = CD , F 是 BD 的中点， CF 丄 BD ./ CF n EF = F, BD 丄平面 CEF ./ BD二平面BCD，平面 EFC丄平面 BCD .11. (I )由题意知,FG = GA, FH = HD , GH / AD,GHAD,21又 BC / AD , BC AD , GH / BC, GH = BC,2四边形BCHG是平行四边形.（n ）C, D, F, E四点共面.理由如下：1由 BE / AF , BF AF , G 是 FA 的中点，2得 BE / FG，且 BE = FG . EF / BG .由（I ）知BG / CH ,