常用逻辑用语知识例题梳理

1、常用逻辑用语一、知识要点梳理知识点一：命题1. 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题（1） 命题由题设和结论两部分构成 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n 等.（2） 命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题数学中的定义、公理、定理等 都是真命题（3）命题“网一飞'”的真假判定方式： 若要判断命题“用一订7 ”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。如：/ 一定推出/ . 若要判断命题“ 一：”是一个假命题，只需要找到一个反例即可注意：“一'不一定等于3”不能判定真假，它不是

2、命题 2. 逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题（2）复合命题的构成形式： p或q :p且q；非p （即命题p的否定）（3）复合命题的真假判断： 当p、q同时为假时，“ p或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”； 当p、q同时为真时，“ p且q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。 “非p”与p的真假相反注意:（1） 逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p或q”为例：一是p成立且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立。可以类比于集合中“.|'

3、-二或-丄（2）“或”、“且”联结的命题的否定形式：“ p或q” 的否定是“ 一 p且一q”； “ p且 q” 的否定是“一p或一q” （3）对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论。知识点二：四种命题1. 四种命题的形式：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用=p和=q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式为：原命题：若p则q ； 逆命题：若q则p；否命题：若一 p则一 q;逆否命题：若一 q则一 p.2. 四种命题的关系 原命题；逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一 逆命题；否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途

4、径.除、之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系命题与集合之间可以建立对应关系， 在这样的对应下，逻辑联结词和集合的运算具有一致性， 命题的“且”、“或”、“非”恰好分别对应集合的“交”、“并”、“补”，因此，我们就可以从集 合的角度进一步认识有关这些逻辑联结词的规定。知识点三：充分条件与必要条件1. 定义：对于“若p则q”形式的命题： 若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若p q，但q二p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件； 若既有pq，又有q p，记作p q，则p是q的充分必要条件（充要条件）2. 理解认知：（1 ）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪

5、是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论 推条件，最后进行判断.（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于” “反过来也成立”等均为充要条件的同义词语3. 判断命题充要条件的三种方法（1）定义法：(2) 等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断即利用与：丄户=与：厂；-与二二的等价关系，对于条件或结论是不等关系(或否定式)的命题，一般运用等价法(3) 利用集合间的包含关系判断，比如A B可判断为 心B; A=B可判断为A二B,且B_：.

6、A,即卩 AiB.如图：，且丄:二；二是二LU的充分不必要条件“ ? ”“二丄是的充分必要条件.知识点四：全称量词与存在量词1. 全称量词与存在量词全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“ | ”表示，读作“对任意”。含有全称量词的命题，叫做全称命题。全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立 可表示为，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.(II )存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一个”，“存在一个”，“至少有一个”，“有点”，“有些”等，通常用符号“ T ”表示，读作“存在”。含有存在量词的命题，叫做

7、特称命题特称命题“存在 M中的一个x,使p(x)成立”可表示为“ - 二”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.2. 对含有一个量词的命题进行否定(I )对含有一个量词的全称命题的否定全称命题p：二工 V，他的否定-八：土二丄 心： 全称命题的否定是特称命题。(II )对含有一个量词的特称命题的否定特称命题p：玉匸乩他的否定一：宀厂 J' - 1特称命题的否定是全称命题。注意：(1 )命题的否定与命题的否命题是不同的.命题的否定只对命题的结论进行否定(否定一次)，而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定(否定二次)。(2) 些常见的词的否定:正面词等于大于小于是都是宀

8、曰定是至少一个至多一个否定词不等于不大于不小于不是不都是定不疋一个也没有至少两个规律方法指导1. 解答命题及其真假判断问题时，首先要理解命题及相关概念，特别是互为逆否命题的真 假性一致2. 要注意区分命题的否定与否命题 3. 要注意逻辑联结词“或”“且” “非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的，将二者相互对照可加深认识和理解 4. 处理充要条件问题时，首先必须分清条件和结论。对于充要条件的证明，必须证明充分性，又要证明必要性；判断充要条件一般有三种方法：用集合的观点、用定义和利用命题的等价性；求充要条件的思路是：先求必要条件，再证明这个必要条件是充分条件5. 特别重视数形结合思想与分类讨论

9、思想的运用。三、典型例题一、题型一：命题、真命题、假命题的判断1 .例1 ：下列语句是命题的是()A. 梯形是四边形B.作直线ABC. x是整数D.今天会下雪吗解：A2、例2.下列说法正确的是()A. 命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B. 语句“最高气温30 C时我就开空调”不是命题C命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D. 语句“当a>4时，方程x2 4x + a= 0有实根”是假命题解析：对于A,改写成“若p,则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相 等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3,腰为2的 等腰三角形拼成

10、的四边形不是菱形”来说明.故选D.变式练习：下列命题是真命题的是()A. ?是空集 B. x N| x 1|<3是无限集C. n是有理数D . x2 5x= 0的根是自然数解析：选D.x2 5x = 0的根为Xi = 0, X2 = 5,均为自然数.二、题型二：复合命题的结构例3将下列命题改写成“若p,则q”的形式，并判断命题的真假：(1) 6是12和18的公约数；(2) 当a> 1时，方程ax2 + 2x 1 = 0有两个不等实根；(3) 已知x、y为非零自然数，当y x = 2时，y = 4, x = 2. 解析：(1)若一个数是6,则它是12和18的公约数，是真命题.若a&g

11、t; 1，贝U方程ax2 + 2x 1 = 0有两个不等实根，是假命题.1因为当a= 0时，方程变为2x 1 = 0,此时只有一个实根x=已知x、y为非零自然数，若y x = 2,则y= 4, x= 2,是假命题.三、题型三：命题真假判断中求参数范围例4、已知p： x2 + m灶1 = 0有两个不等的负根，q：方程4x2+ 4(m-2)x + 1 = 0(m R)无实根, 求使p为真命题且q也为真命题的m的取值范围.解析：若P为真，则仁m 4>0,解得m>2.若 q 为真，则= 16( m- 2)2 16<0，解得 1<m<3.P 真,q真，即捫,31<n&

12、lt;3.故m的取值范围是(2,3)变式练习：已知命题p： lg( x2 2x 2) >0;命题q： 0<x<4，若命题p是真命题，命题q是 假命题，求实数x的取值范围.解：命题p是真命题，则x2 2x 2> 1, x>3 或 x < 1,命题q是假命题，则x<0或x>4.-x或 x w 1.四、题型四：四种命题的等价关系及真假判断例5.命题“若 ABC有一内角为疔，则 ABC勺三内角成等差数列”的逆命题()A. 与原命题同为假命题B. 与原命题的否命题同为假命题C与原命题的逆否命题同为假命题D. 与原命题同为真命题解析：选D.原命题显然为真，原

13、命题的逆命题为“若厶 ABC的三内角成等差数列，则 ABC有一内角为 专”，它是真命 题.故选D.例6.命题“若f(x)是奇函数，贝U f( x)是奇函数”的否命题是()A.若f(x)是偶函数，贝U f( x)是偶函数B若f(x)不是奇函数，则f( x)不是奇函数C若f( x)是奇函数，贝U f(x)是奇函数D.若f( x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数答案：B 例7.给出下列命题: 命题“若b2 4ac<0,则方程ax2 + bx + c = 0(a0)无实根”的否命题; 命题“ ABC中，A吐BC= CA那么 ABC为等边三角形”的逆命题； 命题“若a>b>0，则萌話&

14、gt;0”的逆否命题； “若m>1，则mf 2(1)x + (m-3)>0的解集为R'的逆命题.其中真命题的序号为.2 2解析：否命题：若b 4ac>0,则方程ax + bx + c = 0(a0)有实根，真命题； 逆命题：若 ABC为等边三角形，则A吐BC= CA真命题； 因为命题“若a>b>0,则3a>3b>0”是真命题，故其逆否命题为真命题； 逆命题：若mX 2( m 1)x + (m- 3)>0的解集为R,则m>1，假命题.所以应填变式练习.若命题p的逆命题是q,命题q的否命题是r，则p是r的()A.逆命题B.逆否命题C.

15、否命题D.以上判断都不对解析：选B.命题P：若x，则y，其逆命题q：若y，则x，那么命题q的否命题r :若 非y，则非x，所以p是r的逆否命题.所以选B.五、题型五：问题的逆否证法例8.判断命题“若m>0,贝昉程x2 + 2x 3m= 0有实数根”的逆否命题的真假.解： m>0， 12m>0,.°. 12m+ 4>0.方程x2+ 2x 3m= 0的判别式 = 12m 4>0.原命题“若m>0,贝昉程x2+ 2x 3m= 0有实数根”为真命题.又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若 m>0,贝昉程x2 + 2x 3m= 0有实数根” 的逆否命题

16、也为真命题.六、题型六：判断条件关系及求参数范围例 9.“x = 2k n +亍仆 Z)”是“tan x = 1” 成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件n解析：当 x = 2k n +；时，tan x= 1,4n而 tan x= 1 得 x = k n + 二，4所以“x= 2k n +n”是“tan x= 1”成立的充分不必要条件.故选 A.4例10、设A是B的充分不必要条件,C是B的必要不充分条件，D是C的充要条件，则D是A的()A.充分不必要条件B必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析：由题意得:故D是A的必要不充分条件例11

17、.已知条件p： K xw 10, q： x -4x + 4- m<0(m>0)不变，若非p是非q的必要而不 充分条件，如何求实数 m的取值范围？解：p：- K xw 10.2 2q： x -4x + 4-mw0? x- (2 - n) x- (2 + m) w0(m>0)? 2 mW xw 2+ mj m>0).因为非p是非q的必要而不充分条件，所以p是q的充分不必要条件，即x| - 1w xx|2 - mW xw 2+ n)，"2 mw- 12 m<-1故有'c "或J"，i2+ m>1012+ m> 10解得m

18、> 8.所以实数m的范围为mj m>8.变式练习1:已知条件：p： y= lg( x2 + 2x- 3)的定义域，条件q： 5x-6>x2，则q是p的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选 A. p： x2+ 2x 3>0，则 x>1 或 x<-3;22q： 5x-6>x，即 x -5x + 6<0,由小集合？大集合， q? p，但 p q.故选 A.1变式练习2已知p： wxw 1，q： awxwa+ 1，若p的必要不充分条件是q，求实数a的取 值范围.解析：q是p的必要不充分条件，则 p? q 但

19、 q? / p.1 'p： 2wxw 1, q： awxwa+ 1.1 1 a+ 1>1 且 aw2，即卩 ow aw满足条件的a的取值范围为0，2 .七、充要条件的论证42例12求证：ow a<5是不等式ax-ax+ -a>0对一切实数x都成立的充要条件.4证明：充分性： 0<a<52 2/. = a 一 4a（l 一 a） = 5a 一 4a = a（5 a一 4）<0 ,贝U ax2- ax+ 1-a>0对一切实数x都成立.而当a= 0时，不等式ax2 - ax+ 1 -a>0可变成1>0.显然当a = 0时，不等式ax2-a

20、x+ 1-a>0对一切实数x都成立.必要性： ax2- ax + 1 - a>0对一切实数x都成立，a>0,二a=0 或，2 = a 4a4解得0w a<5.4故0<a<5是不等式我-拟+ -a。对一切实数x都成立的充要条件.八、命题真假值的判断例13.如果命题“ pVq”与命题“非P”都是真命题，那么()A. 命题p不一定是假命题B. 命题q 一定为真命题C. 命题q不一定是真命题D. 命题p与命题q的真假相同解析：选B. “pV q”为真，则p、q至少有一个为真.非P为真，则P为假， q是真命题.变式练习：判断由下列命题构成的 pVq，pA q，非p形式

21、的命题的真假：(1) p:负数的平方是正数，q：有理数是实数；(2) p： 2<3，q： 3<2;(3) p： 35是5的倍数，q： 41是7的倍数.解：(1) P真，q真， pV q为真命题，pA q为真命题，非p为假命题；p真，q假， pVq为真命题，pA q为假命题，非p为假命题；(3) p真，q假， pVq为真命题，pA q为假命题，非p为假命题.九、命题的否定与否命题例14.命题“若a<b，则2a<2b”的否命题为，命题的否定为.解析：命题“若a<b,则2a<2b”的否命题为“若a>b,则2*2b”， 命题的否定为“若a<b，则2a2b

22、”.1例15： (1 )已知命题p：若1 w xw 2,则 :>0，命题p的否定为：,x2 _ 3x + 21答案：若1 w x w 2，则rw 0或X2 -3x 2 =0.(注意要全盘否定)x-3x+2(2 )命题“若x2 =1，则X =1 ”的否定是 .答案：2.若x2=1,则X不一定等于1.变式练习1:“a5且b>3”的否定是;“a>5或b<3”的否定是:解：av5 或 bv 3 av 5 且 b>3变式练习2: (2010年高考安徽卷)命题“对任何x R, |x 2| + |x 4|>3 ”的否定是 解：存在 x R,使得 |x 2| + | x 4

23、| <3变式练习3写出下列命题的否定，然后判断其真假：(1) p：方程x2 x + 1= 0有实根；p：函数y= tan x是周期函数； P： ? A；p：不等式x2 + 3x + 5<0的解集是?.解析：题号判断p的真假非P的形式判断非p的真假(1)假方程x2 x + 1= 0无实数根直/、(2)直/、函数y = tan x不是周期函数假(3)直/、? t A假(4)直/、不等式x2+ 3x+ 5<0的解集不是？假十、全称命题与特称命题相关小综合题例15.指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假:(1) 若a>0,且a 1,则对任意实数x, ax>

24、;0.(2) 对任意实数 X1, X2，若 X1VX2,则 tan X1<tan X2.(3) ? T0 R,使 |sin( x + T°)| = |sin x|.？ X。 R,使 x2 + 1<0.解析：(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题.(1) v ax>0(a>0且a 1)恒成立，.命题(1)是真命题.(2) 存在 X1 = 0, X2= n , X1VX2,但tan 0 = tan n ,二命题 是假命题.(3) y = |sin x|是周期函数，n就是它的一个周期，二命题(3)是真命题.对任意Xo R, x2 + 1>0.二命题（4

25、）是假命题.例16.若命题p： ? x R, ax2+4x + a>-2x2+ 1是真命题，则实数a的取值范围是（）A. a<- 3 或 a>2B. a>2C. a>-2D. 2<a<2解析：依题意：ax2+4x + a> 2x2 + 1恒成立, 即（a + 2）x2 + 4x+ a1>0 恒成立，所以有:Ja+ 2>0,J64 a+2a> 2.a> 2,2、a + a 60所以选B变式练习1: 已知命题p： ? xo R, tan Xo= 3;命题q： ? x R, x2 x + 1>0,则命 题“ p且q”是题.

26、（填“真”或“假”）解析： 当 x°=n3时，tan Xo3,命题p为真命题；21 2 3 L rx x+ 1= x 2 1 + 4>0 恒成立，命题q为真命题，“ p且q”为真命题.所以填：真变式练习2：已知命题p：?x R,使tan x= 1,命题q：x2 3x + 2<0的解集是x|1<x<2, 下列结论：命题“ pA q”是真命题；命题“ pA?q”是假命题；命题“？ pV q”是真命 题；命题“？ pV?q”是假命题，其中正确的是（ ）A.B.C.D.解析：n当x=时，tan x = 1 ,命题p为真命题.由x2 3x+ 2<0得1<x&

27、lt;2,.命题q为真命题. pA q为真，pA?q为假，？ pV q为真，？ pV?q为假.所以选D十一、综合训练典型题例17 .设命题p :实数x满足x2 4ax + 3a2<0，其中a>0,命题q：实数x满足 X2 x 6< 0,:x2+ 2x 8>0.(1) 若a= 1,且pA q为真，求实数x的取值范围；(2) 非p是非q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.解：(1)由 x 4ax + 3a <0 得(x 3a)( x a)<0.又 a>0,所以 a<x<3a,当 a= 1 时，1<x<3,即p为真命题时，实数x的取

28、值范围是1<x<3.fx2 x 6< 0,由 x2 + 2x 8>0.2w xw 3,解得'，卡c 即2<xw 3./< 4 或 x>2.所以q为真时实数x的取值范围是2<x w 3."1<x<3若pA q为真，则仁? 2<x<3,2<x W3所以实数x的取值范围是(2,3).(2)非p是非q的充分不必要条件，即非p?非p且非q 非q.设 A= x| xwa 或 x>3a , B= x| xW2 或 x>3,则A址B.所以 O<aw2 且 3a>3，即 1<aw 2.所以实数a的取值范围是(1,2.例18.若？ x R,函数f (x) = mx+ x m- a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取 值范围.解析： 当m= 0时，f(x) = x