（泰安专版）2021版中考数学第一部分基础知识过关第四章图形的初步认识与三角形第18讲直角三角形与三角函数课件

1、第第1818讲讲 直角三角形与三角函数直角三角形与三角函数泰安考情分析泰安考情分析基础知识过关基础知识过关泰安考点聚焦泰安考点聚焦总纲目录总纲目录随堂巩固练习随堂巩固练习泰安考情分析基础知识过关知识点一知识点一 直角三角形的性质和判定直角三角形的性质和判定知识点二知识点二 锐角三角函数锐角三角函数知识点三知识点三 解直角三角形解直角三角形知识点四知识点四 解直角三角形的实际应用解直角三角形的实际应用知识点一知识点一 直角三角形的性质和判定直角三角形的性质和判定(1)直角三角形的两个锐角 互余 .(2)在直角三角形中,30的角所对的直角边等于斜边的 一半 .(3)勾股定理:直角三角形两条直角边的

2、平方和等于 斜边的平方 .(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 .(1)有两个锐角 互余 的三角形是直角三角形.(2)如果三角形的两直角边长为a,b,斜边长为c,且满足 a2+b2=c2 ,那么这个三角形是直角三角形.温馨提示温馨提示 (1)勾股定理阐述的是直角三角形中三边之间的数量关系,即在直角三角形中,已知两边长度能够运用勾股定理求第三边的长度;(2)勾股定理逆定理的作用:可以判断一个三角形是不是直角三角形;证明两条线段垂直.知识点二知识点二 锐角三角函数锐角三角函数如图,在RtABC中,C=90,A、B、C的对边分别为a、b、c,则A的正弦sin A= = ,A的余弦cosA=

3、= , A的正切tan A= = .A 的对边斜边acA 的邻边斜边bcAA的对边的邻边ab温馨提示温馨提示 (1)sin A、cos A、tan A表示的是一个整体,是指两条线段的比,没有单位.(2)锐角三角函数的大小仅与角的大小有关,与该角所处的直角三角形的大小无关.三角函数 304560sin cos tan 1122232322212333温馨提示温馨提示 30、45、60角的正弦值的分母都是2,分子分别是1、,由此可知,随着角的度数的增大,正弦值逐渐增大;同理可得,随着角的度数的增大,余弦值逐渐减小.(1)同角三角函数之间的关系:sin2+cos2=1,tan =.(2)互余两角的三

4、角函数之间的关系:若A +B=90,则sin A =cosB,sin B=cos A.sincos23知识点三知识点三 解直角三角形解直角三角形1.1.解直角三角形的定义解直角三角形的定义: :由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.在RtABC中,C=90,A、B、C的对边分别为a、b、c.(1)三边之间的关系:a2+b2=c2;(2)两个锐角之间的关系:A+B= 90 ;(3)边角之间的关系:sin A=,cos A=,tan A=,sin B=,cos B=,tan B=.温馨提示温馨提示 解直角三角形的思路可概括为“有斜(斜边)用弦(正弦、余弦)、无

5、斜用切(正切)、宁乘勿除、取原避中”.acbcabbcacba知识点四知识点四 解直角三角形的实际应用解直角三角形的实际应用仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方所形成的角叫仰角,视线在水平线下方所形成的角叫俯角坡度(坡比)、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比),用字母i表示;坡面与水平线所成的锐角叫坡角,i=tan =方向角一般指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向,其与旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)通常表达成北(南)偏东(西)度,如图,A点位于O点的北偏东30方向,B点位于O点的南偏东60方向,C点位于O点的北偏西45方向(或西北方向)

6、hl(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题);(2)根据条件的特点,适当选用锐角三角函数解直角三角形.泰安考点聚焦考点一考点一 直角三角形的性质和判定直角三角形的性质和判定考点二考点二 锐角三角函数锐角三角函数考点三考点三 解直角三角形解直角三角形考点一考点一 直角三角形的性质和判定直角三角形的性质和判定例例1 1如图,在直角O的内部有一滑动杆AB,当端点A沿直线AO向下滑动时,端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动,如果滑动杆从图中AB处滑动到AB处,那么滑动杆的中点C所经过的路径是( B )解析解析连接OC、OC,如图,AOB=90,C为AB中点,OC=AB=

7、AB=OC,当端点A沿直线AO向下滑动时,AB的中点C到O的距离始终为定长,滑动杆的中点C所经过的路径是一段圆弧.故选B.1212考点二考点二 锐角三角函数锐角三角函数例例2 2如图,在ABC中,C=90,AB=5,BC=3,则cos A的值是( D )A. B. C. D. 34433545解析解析根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可,AB=5,BC=3,AC=4,cos A= = .故选D.ACAB45变式变式2-12-1在ABC 中,若角A,B满足 +(1-tan B)2= 0,则C 的大小是( D )A.45B.60 C.75D.1053cos2A解析解析由题意得,cos A=,tan

8、 B=1,则A=30,B=45,则C=180-30-45=105.故选D.32考点三考点三 解直角三角形解直角三角形例例3 3 (2016泰安)如图,轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行,在M处观测到灯塔P在西偏南68方向上,航行2小时后到达N处,观测灯塔P在西偏南46方向上,若该船继续向南航行至离灯塔最近位置,则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin 680.927 2,sin 460.719 3,sin 220.374 6,sin 440.694 7)( B )解析解析过点P作PGMN于G.依题意可知MN=60海里,PMN=22,PNG=44.MPN=PMN,NP=MN=6

9、0海里.在RtPNG中,sinPNG= ,PG=PNsinPNG=PNsin 44600.694 741.68(海里).此时轮船离灯塔的距离约为41.68海里,故选B.PGPN变式变式3-13-1如图,轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东50方向上,轮船航行40分钟到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东10方向上,则C处与灯塔A的距离是( D )C. 海里 D.海里20 3340 33解析解析如图,作AMBC于M.由题意得,DBC=20,DBA=50,BC=60=40海里,NCA=10,则ABC=DBA-DBC=50-20=30.BDCN,BCN=

10、DBC=20,ACB=ACN+BCN=10+20=30,ACB=ABC=30,AB=AC,4060AMBC于M,CM=BC=20海里.在RtACM中,AMC=90,ACM=30,AC= = = (海里).故选D.12cosCMACM203240 33温馨提示温馨提示 根据例题和变式训练可以发现,一般解直角三角形类题目的处理,可以看做是“割补”思想的拓展,即把原图形通过“割补”,处理成有“公共边”的两个直角三角形,具体题目中,再根据公共边的“已知”或“未知”决定进行直接运算或者设未知数x.一、选择题一、选择题1.(2017浙江温州)如图,一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶13米,已知cos = ,

11、则小车上升的高度是( A )A.5米 B.6米 1213随堂巩固训练2.如图,在ABC中,C=90,B=30,AD是ABC的角平分线,DEAB,垂足为E,DE=1,则BC=( C )A. B.2 C.3 D.+2333.(2018泰安)如图,M的半径为2,圆心M的坐标为(3,4),点P是M上的任意一点,PAPB,且PA、PB与x轴分别交于A、B两点,若点A、点B关于原点O对称,则AB的最小值为( C )二、填空题二、填空题4.(2018泰安)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,将矩形ABCD沿BE折叠,点A落在A处,若EA的延长线恰好过点C,则sinABE的值为 .1010解析解析由

12、折叠知AB=AB=6,在RtABC中,根据勾股定理得AC=8,设AE=x,则AE=x,在RtDEC中,DE2+DC2=EC2,即(10-x)2+62=(8+x)2,解得x=2,即AE的长为2.在RtAEB中,求得sinABE= .10105.(2018滨州)在ABC中,C=90,若tan A=,则sin B= .解析解析如图所示:C=90,tan A= ,设BC=x,则AC=2x,故AB= x,则sin B= = = .122 55125ACAB25xx2 55三、解答题三、解答题6.(2018德州)如图,两座建筑物的水平距离BCC点测得A点的仰角 为53,从A点测得D点的俯角为37,求两座建筑物的高度.参考数据:sin 37 ,co