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文档简介
1、2020-2021 九年级数学直角三角形的边角关系的专项培优易错试卷练习题(含答案)及详细答案一、直角三角形的边角关系1 .如图,平台 AB 高为 12m,在 B 处测得楼房 CD 顶部点 D 的仰角为 45 底部点 C 的俯 角为 30求楼房 CD 的高度(3= 1. 7).【答案】32. 4 米.【解析】试题分析:首先分析图形,根据题意构造直角三角形本题涉及多个直角三角形,应利用 其公共边构造关系式求解.试题解析:如图,过点B 作 BE 丄 CD 于点 E,根据题意,/ DBE=45, / CBE=30./ AB 丄 AC, CD 丄 AC,四边形 ABEC 为矩形, CE=AB=12m,
2、BE在 RtACBE 中,cot / CBE=:,CEBE=CE?cot30 =32=1)2 73 ,在 RtABDE 中,由 / DBE=45 ,得 DE=BE=123.CD=CE+DE=12( . 3+1) 32.4答:楼房 CD 的高度约为 32.4m .AC考点:解直角三角形的应用仰角俯角问题.2.在 RtAACB 和厶 AEF 中,/ ACB=/ AEF= 90 若点 P 是 BF 的中点,连接 PC, PE. 特殊发现:如图 1,若点 E、F 分别落在边 AB, AC 上,则结论:PC= PE 成立(不要求证明).问题探究:把图 1 中的 AEF 绕点 A 顺时针旋转.(1) 如图
3、 2,若点 E 落在边 CA 的延长线上,则上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若 不成立,请说明理由;(2) 如图 3,若点 F 落在边 AB 上,则上述结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成 立,请说明理由;AC记=k,当 k 为何值时,CPE 总是等边三角形?(请直接写出后的值,不必说)BC【答案】1 PC PE成立2,PC PE成立3当 k 为二 3 时,VCPE总是等边三3角形【解析】【分析】(1)过点 P 作 PM 丄 CE 于点 M,由 EF 丄 AE, BC 丄 AC,得到 EF/ MP/ CB,从而有(2)过点 F 作 FD 丄 AC 于点 D,过点 P 作 PM 丄
4、 AC 于点 M,连接 PD,先证 DAFBAEAF,即可得出 AD=AE;再证 DAP EAP,即可得出 PD=PE 最后根据FD 丄 AC, BC 丄 AC, PM 丄 AC,可得 FD/ BC/ PM,再根据点 P 是 BF 的中点,推得 PC=PD 再根据PD=PE 即可得到结论.(3) 因为 CPE 总是等边三角形,可得 / CEP=60, / CAB=60 ;由/ ACB=90 ,求出ACAC/ CBA=30 ;最后根据k, =tan30 ;求出当 CPE 总是等边三角形时,k 的值是BCBC多少即可.【详解】解:(1) PC=PE 成立,理由如下:EMMCFPPB,再根据点 P
5、是 BF 的中点,可得EM=MC,据此得至 U PC=PE如图 2,过点 P 作 PM 丄 CE 于点 M , / EF 丄 AE, BC 丄 AC, / EF/ MP / CB,EMMCFPPB,点P是BF的中点, EM=MC,又IPM 丄 CE, PC=PE(2) PC=PE 成立,理由如下:如图 3,过点 F作 FD丄 AC于点 D,过点 P作 PM丄 AC于点 M, 连接 PD, /ZDAF=/ EAF, / FDA=ZFEA=90 / 在 DAF 和 EAF 中,/ZDAF=ZEAF,ZFDA=ZFEA AF=AF, DAF EAF ( AAS , AD=AE,在 DAP 和厶 EA
6、P 中,/ AD=AE, ZDAP=ZEAP, AP=AP, DAPAEAP(SAS,PD=PE/ FD 丄 AC, BC 丄 AC, PM 丄 AC,FD/ BC/ PM ,DM FPMC PB ZCEP=60, ZCAB=60,/ZACB=90, ZCBA=90- ZACB=90-60 =30点 P 是 BF 的中点, DM=MC ,又/ PM 丄AC, PC=PD,又TPD=PE是等边三角形,ACACk ,=tan30BCBC当 k 为3时,CPE 总是等边三角形.3圍4【点睛】考点:1 几何变换综合题;2探究型;3 压轴题;4 三角形综合题;5 全等三角形的 判定与性质;6 平行线分线
7、段成比例.3如图,PB 为。O 的切线,B 为切点,过 B 作 OP 的垂线 BA,垂足为 C,交。O 于点 A, 连接 PA AO.并延长 AO 交。O 于点 E,与 PB 的延长线交于点 D.若.=:,且 OC=4,求 PA 的长和 tan D 的值./ k=ta n3033【答案】(1)证明见解析;(2) PA =3 门, tan D=【解析】试题分析:(1)连接 OB, 分线,进而可得:PA=PB 线的性质可得/ PBO=90 ,0C 2_=AC 3先由等腰三角形的三线合一的性质可得:0P 是线段 AB 的垂直平然后证明 PA3APBO,进而可得/ PBO=ZPAO,然后根据切 进而可
8、得:/ PAO=90,进而可证:PA 是OO 的切线;(2)连接 BE,由值,从而可求 OP 的值,然后根据勾股定理可求 试题解析:(1)连接 OB,则 OA=OB,,且 OC=4,可求 AC, OA 的值,然后根据射影定理可求PC 的AP 的值.在厶 PAO 和厶 PBO 中, /PBO=ZPAO, PB=PA/ PB 为OO 的切线,B 为切点, /PBO=90 , / PAO=9O即 PA 丄 OA,PA 是OO 的切线;PA = PRPO - POVM =OR,:.PAC PBO (SSSArQ,且 OC=4, AC=6, AB=12,在 RtAACO 中,由勾股定理得: AO=.,O
9、B=OA=2 ,_ /13 AE=2OA=4在 RtAAPO 中,/ AC 丄 OP, AC2=OC PC,解得:PC=9, OP=PC+OC=13=l.在 RtAAPO 中,由勾股定理得: AP= .BE DE DEVDO DE + OE解得二-PA_ytan)=AD=i2易证;,所以,在中,则考点:1切线的判定与性质;2相似三角形的判定与性质;3解直角三角形.pSiOP 丄 AB, AC=BCOP 是 AB 的垂直平分线, PA=PB4.如图,某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB 的高度,由于教学楼底部不能直接到达,故兴趣小组在平地上选择一点C,用测角器测得主教学楼顶端A 的仰角为 30
10、再向主教学楼的方向前进 24 米,到达点 E 处(C, E, B 三点在同一直线上),又测得主教学楼顶 端 A 的仰角为 60已知测角器 CD 的高度为 1.6 米,请计算主教学楼 AB 的高度(、3沁1.73 结果精确到 0.1 米)【解析】【分析】首先分析图形,根据题意构造直角三角形本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构 造等量关系,进而求解.【详解】解:在 RtAAFG 中,tan / AFG=3,AG AGFG=tan AFG J3AG在 RtAACG 中,tan / ACG=,CG又 CG FG=24m, AG=123m,5.在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点o 0,0,
11、点A 3,0,点C连接OB,以点A为中心,顺时针旋转矩形AOCB,旋转角为0360矩形ADEF,点O,C,B的对应点分别为D,E,F.(I)如图,当点D落在对角线OB上时,求点D的坐标;CG=AGtan ACG即.3AG AG3=24m,0,4,,得到 AB=123+1.62214(n)在(I)的情况下,AB与DE交于点H.1求证BDE DBA;2求点H的坐标.(川)为何值时,FB FA.(直接写出结果即可).(川)60或300【解析】【分析】(I)过AD分别作AM OB, DN 0A,根据点 A、点 C 的坐标可得出 OA、OC 的 长,根据矩形的性质可得 AB、 OB 的长, 在 RtAO
12、AM 中, 禾惋 / BOA 的余弦求出 OM 的 长, 由旋转的性质可得 OA=AD,禾 U 用等腰三角形的性质可得OD=2OM,在 RtAODN 中,利用/ BOA 的正弦和余弦可求出 DN 和 ON 的长, 即可得答案;(n) 由等腰三角形性质可 得/ DOA=ZODA,根据锐角互余的关系可得ABD BDE,利用 SAS 即可证明 DBAB BDE; 根据 DBAB BDE 可得 / BEH=ZDAH, BE=AD,即可证明 BHE DHA,可得 DH=BH,设 AH=x,在 RtAADH 中, 利用勾股定理求出 x 的值即可得 答案; (川)如图,过 F 作 FO 丄 AB,由性质性质
13、可得 / BAF=,分别讨论 0 180和 180 360 时两种情况,根据 FB=FA 可得 OA=OB,禾 U 用勾股定理求出 FO 的长,由余弦的定义即可求出/ BAF 的度数.【详解】(I)点A 3,0,点C 0,4, OA 3,OC 4.四边形 OABC 是矩形,AB=OC=4,矩形DAFE是由矩形AOBC旋转得到的-AD AO 3.在Rt OAB中,OB.OA2AB25,过A D分别作AMOB,DNOA;(n)证明见解析;点H的坐标为(3,25)8);OMOA3在RtAOAM中,cosBOAOAOB59OM -5/ AD=OA, AM 丄 OB,OD 2OM185在RtAODN中:
14、sinBOADN 4,cos/ BOA=OD 5ON _3OD=5 DN72,ON25542554 72点 D 的坐标为25,25.ED(n)矩形DAFE是由矩形 OA ADAOBC旋转得到的,3, ADE 90 ,DE AB 4. OD AD.DOA又DOAODA.OBA 90,BDH ADO90ABDBDE.又BD BD-BDEADBA.由ABDEADBA,得BEH又BHEDHA,- ABHEADHA. DH=BH,设AH x,则DH BH 4x,在RtAADH中,AH2AD2DH2,225即x2324x,得x -825AH8点H的坐标为3浮.DAH,BEAD 3,(川)如图,过 F 作
15、F0 丄 AB, 当 0aw 1800,点 B 与点 F 是对应点,A 为旋转中心,/ BAF 为旋转角,即 / BAF=a, AB=AF=4, / FA=FB FOX AB,1 OA= AB=2,2OA 1-cos/ BAF= =,AF 2/ BAF=60 , 即a=60 当 180aAy求出 sina二,贝Utana=,在22AB20V5213故:抛物线的表达式为:y=1x2-x-3,2则 y=-3,2(1,-2 );SAABC=XACX3H= XBCXA,2 2解得: BH=2、2,MDx 1 PMD 中,tana=- =,即可求解;PMx 2yj22A 关于对称轴的对称点A(5, 6)
16、N,此时 AM+MN 最小,即可求解.(3)作点交 AP 于点【详解】,过点 A 作ANAP分别交(1)将点A、B 坐标代入二次函数表达式得:93b21b23,解得:令 y=0,则 x=-1 或 3,令 x=0,sinBH2丄2 _ 1AB 2X05, 则 tan1a=,2故点 C 坐标为(3, 0),点 PG由题意得: GC=2=PG,故 / PCB=45,延长 PC,过点 D 作 DM 丄 PC 交于点 M ,MDx 1tana- =- =PMx 242 2解得:x=22,则 CD=2x=4,故点 P ( 7, 0);(3)作点 A 关于对称轴的对称点 A( 5, 6),过点 A 作 AN
17、 丄 AP 分别交对称轴与点 M、交 AP 于点 N,此时 AM+MN 最小,r、y1jL*T18i直线 AP 表达式中的 k 值为:=-2,则直线 A N 表达式中的 k 值为一,421设直线 A N 的表达式为:y= x+b,2将点 A 坐标代入上式并求解得:b=,217故直线 A N 的表达式为:y=-x+-,22当 x=1 时,y=4,故点 M (1 , 4),同理直线 AP 的表达式为:y=-2x, 联立 两个方程并求解得:x=-,5714故点 N (-7,14).55【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、解直角三角形等知识,其中( 用对称点求解最小值,是此类题目的一
18、般方法.& 如图(1),已知正方形 ABCD 在直线 MN 的上方 BC 在直线 MN 上,E 是 BC 上一点,以 AE 为边在直线 MN 的上方作正方形 AEFG(1) 连接 GD,求证: ADGAABE;(2) 连接 FC,观察并直接写出 / FCN 的度数(不要写出解答过程)(3)如图(2),将图中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD, AB= 6, BC= 8, E 是线段 BC 上一则 MD=MC=x,在厶 PMD 中,3),利4/ FCN 的大小总保持不变,tan / FCN=.理由见解析.3【解析】【分析】(1 )根据三角形判定方法进行证明即可.(2 )作 FH 丄 M
19、N 于 H.先证 ABEAEHF,得到对应边相等,从而推出 CHF 是等腰直角 三角形,/ FCH 的度数就可以求得了.(3)解法同(2),结合(1)( 2)得:EFHAGAD, EFH ABE,得出 EH=AD=BC=8 由三角函数定义即可得出结论.【详解】(1) 证明:四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是正方形, AB=AD,AE=AG=EF,/BAD= ZEAG=ZADC=90 ZBAEZEAD ZDAG+ZEAD,ZADG=90= ZABE, ZBAE= ZDAG,在厶 ADG 和厶 ABE 中,ADG ABEDAG BAE,AD AB ADGAABE(AAS).(2) 解:ZFC
20、N= 45理由如下: 作 FH 丄 MN 于 H,如图 1 所示:3)当点 E 由 B 向 C 运动时,动点(不含端点 B、C),以 AE 为边在直线 MN 的上方作矩形 AEFG 使顶点 G 恰好落在射 线 CD 上判断当点 E 由 B 向 C 运动时,/ FCN 的大小是否总保持不变,若 / FCN 的大小不 变,请求出 tan /FCN 的值.若/ FCN 的大小发生改变,请举例说明.则ZEHF= 90=ZABE,/AEX/ABE= 90 /BAEF/AEB= 90 /FEH+ZAEB=90 ,/FEH=ZBAE, 在 EFH 和 ABE 中,EHF ABEFEH BAE,EF AE E
21、FH ABE (AAS ,FH= BE, EH= AB= BC,CH= BE= FH,/ZFHC=90 ZFCN=45:(3) 当点 E 由 B 向 C 运动时,ZFCN 的大小总保持不变,理由如下:由已知可得ZEAG=ZBAD=ZAEF= 90,结合(1)( 2)得:EFHAGAD, EFHAABE,EH= AD= BC= 8, CH= BE,EH FH FHAB BE CH4当点 E 由 B 向 C 运动时,ZFCN 的大小总保持不变,tanZFCN=3【点睛】本题是四边形综合题目,考查了正方形,矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用,其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的
22、相等或成比例.9.现有一个 Z 型的工件(工件厚度忽略不计),如图所示,其中 60cm,ZABC= 90,ZBCD= 60 求该工件如图摆放时的高度(即 离)(结果精确到 0.1m,参考数据:存卜 1.73在 RtAFEH 中, tanZFCN=FHCHEH 84AB 63AB 为 20cm, BC 为A 到 CD 的距【答案】工件如图摆放时的高度约为61.9cm.【解析】【分析】过点 A 作 APICD 于点 P,交 BC 于点 Q,由/CQP=/AQB、/ CPQ=/B= 90 知/A=ZC=60在厶 ABQ 中求得分别求得 AQ、BQ 的长,结合 BC 知 CQ 的长,在 CPQ 中可得
23、PQ,根据 AP = AQ+PQ 得出答案.【详解】解:如图,过点 A 作 APICD 于点 P,交 BC 于点 Q,/ ZCQP= ZAQB, ZCPQ=ZB=90:ZA= ZC=60 ,AB20z =r=目在厶 ABQ 中,/ AQ=ca 川 12BQ= ABtanA= 20ta n60 = 20( cm), CQ= BC- BQ= 60 - 20丁 (cm),在厶 CPQ 中,/ PQ= CQsinC=( 60 - 20、日)sin60 = 30 (、B- 1) cm, AP = AQ+PQ= 40+30 代唱-1) 61 .(cm),答:工件如图摆放时的高度约为61.9cm.【点睛】(
24、cm).本题主要考查解直角三角形的应用,熟练掌握三角函数的定义求得相关线段的长度是解题 的关键.12210.已知抛物线 y=- 一 X2- x+2 与 x 轴交于点 A, B 两点,交 y 轴于 C 点,抛物线的对63称轴与 x 轴交于 H 点,分别以 OC OA 为边作矩形 AECO(1)求直线 AC 的解析式;如图,P 为直线 AC 上方抛物线上的任意一点,在对称轴上有一动点M,当四边形 AOCP面积最大时,求|PM - OM|的值.如图,将 AOC 沿直线 AC 翻折得 ACD,再将 ACD 沿着直线 AC 平移得 AC .D 使得 点A、C 在直线 AC 上,是否存在这样的点 D,使得
25、AE 为直角三角形?若存在,请求 出点 D的坐标;若不存在,请说明理由.国】砂砂15【答案】 y= x+2; (2)点 M 坐标为(-2,)时,四边形 AOCP 的面积最大,此时33613 19| PM - OM|有最大值-6- ; (3)存在,D 坐标为:(0, 4 )或(-6, 2 )或(,一).655【解析】【分析】(1 )令 x= 0,则 y = 2,令 y = 0,则 x= 2 或-6,求出点 A、B、C 坐标,即可求解;(2) 连接 OP 交对称轴于点 M,此时,| PM - OM|有最大值,即可求解;(3) 存在;分 A D 丄 A E;A D 丄 ED ;ED 丄 A E 三种
26、情况利用勾股定理列方程求解即可.【详解】(1 )令 x= 0,则 y = 2,令 y = 0,则 x= 2 或-6, / A (- 6, 0 )、B (2, 0)、C (0,82),函数对称轴为:x=- 2,顶点坐标为(-2, ), C 点坐标为(0,2),则过点 C31的直线表达式为:y= kx+2,将点 A 坐标代入上式,解得:k -,则:直线 AC 的表达式3为:yx+2;3四边形 AOCP 面积=AOC 的面积+ ACP 的面积,四边形 AOCP 面积最大时,只需要ACP25/ AE=CD,/AEC= ZADC=90:DM , AM = MC,设:EM= a,则:/EMA=/DMC,
27、EAMBADCM(AAS,二 EM=MC= 6- a .在 RtADCM 中,由勾股定理得: MC2=D&+MD2,即:(6 a)2= 22+a2,解得:a8,则:MC10,过点 D 作 x 轴的垂线交 x331110 g轴于点 N,交 EC 于点 H.在 RtADMC 中,一 DH?MCMD?DC,即:DH2,22则:DH8, HCDC2DH26,即:点 D 的坐标为(55设:ACD 沿着直线 AC 平移了 m 个单位,则:点 A 坐标(-6 一=,),点 D 坐标V10 V10,6 3m 18 m十- 丄一”为(厂),而点 E 坐标为(-6, 2),贝 U6 185書)3mAD2=
28、(24ED2=Q3m2,10)1285若厶 AED 为直角三角形,分三种情5),|PM - 0M|的最大值为:3616(3) 存在.26)22)2=m225x,当 x=- 2 时,y5,即:点 M 坐标为(-2,63况讨论:P 坐标为1221的面积最大即可,设点(m,m2m+2),则点 G 坐标为(m,m+2),633111221123 时,上式SA ACPPG?OA?m2m+2m 2)?6m2-3m,当 m =-226332取得最大值,则点 P 坐标为(-3,.连接 0P 交对称轴于点 M,此时,| PM - OM|有当A D2+AE2=ED2时,36+m4m 104=m232m,解得:m=
29、響,最大值,直线 0P 的表达式为:y此时 D(6 3m 18510,5m帀)为(0,4);当A D2+ED2=AE2时,36+m 232mJQ12824m=m5;1Q4,解得:6 3m 182当AE2+ED2=AD2时,m为(6, 2);4mJQ4+m232mJQ128r=36,解得:m=或 m=2,此时 D(63m 18m,2 )或(319 1Q 5一)为(6,)55JQ55综上所述:D 坐标为:(Q, 4)或(- 6, 2)或(3理).55【点睛】本题考查了二次函数知识综合运用, 涉及到一次函数、 图形平移、 解直角三角形等知识,其中(3)中图形是本题难点,其核心是确定平移后A、D 的坐
30、标,本题难度较大.11 .如图,半圆 O 的直径 AB= 2Q,弦 CD/ AB,动点 M 在半径 OD 上,射线 BM 与弦 CD 相交于点E (点 E 与点 C D 不重合),设 OM = m.(1 )求 DE 的长(用含 m 的代数式表示);4(2)令弦 CD 所对的圆心角为a,且 sin 二.251若厶 DEM 的面积为 S,求 S 关于 m 的函数关系式,并求出 m 的取值范围;2若动点 N 在 CD 上,且 CN= OM,射线 BM 与射线 ON 相交于点求 DE 的长.F,当 / OMF= 9Q。时,23m 6Qm 3QQ)S=5Q vmv1Q),135 DE=.2【解析】【分析】(1 )由 CD/ AB 知厶 DEMsOBM,可得 匹,据此可得;OB OM1(2) 连接 OC、作 OP 丄 CD MQ 丄 CD,由 OC= OD、OP 丄 CD 知/ DOP= / COD 据此 2,43可得 sin/ DOP= sin/ DMQ= _、sin/ODP= _ ,继而由 OM = m、OD= 10 得 QM =553DMsin/ODP= - (10 m),根据三角形的面积公式即可得;如图2,先求得 PD= 8、CD53 如图 3,由 BM= OBsin/ B
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