2020-2021九年级数学直角三角形的边角关系的专项培优易错试卷练习题及详细答案_第1页
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1、2020-2021 九年级数学直角三角形的边角关系的专项培优易错试卷练习题(含答案)及详细答案一、直角三角形的边角关系1 .如图,平台 AB 高为 12m,在 B 处测得楼房 CD 顶部点 D 的仰角为 45 底部点 C 的俯 角为 30求楼房 CD 的高度(3= 1. 7).【答案】32. 4 米.【解析】试题分析:首先分析图形,根据题意构造直角三角形本题涉及多个直角三角形,应利用 其公共边构造关系式求解.试题解析:如图,过点B 作 BE 丄 CD 于点 E,根据题意,/ DBE=45, / CBE=30./ AB 丄 AC, CD 丄 AC,四边形 ABEC 为矩形, CE=AB=12m,

2、BE在 RtACBE 中,cot / CBE=:,CEBE=CE?cot30 =32=1)2 73 ,在 RtABDE 中,由 / DBE=45 ,得 DE=BE=123.CD=CE+DE=12( . 3+1) 32.4答:楼房 CD 的高度约为 32.4m .AC考点:解直角三角形的应用仰角俯角问题.2.在 RtAACB 和厶 AEF 中,/ ACB=/ AEF= 90 若点 P 是 BF 的中点,连接 PC, PE. 特殊发现:如图 1,若点 E、F 分别落在边 AB, AC 上,则结论:PC= PE 成立(不要求证明).问题探究:把图 1 中的 AEF 绕点 A 顺时针旋转.(1) 如图

3、 2,若点 E 落在边 CA 的延长线上,则上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若 不成立,请说明理由;(2) 如图 3,若点 F 落在边 AB 上,则上述结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成 立,请说明理由;AC记=k,当 k 为何值时,CPE 总是等边三角形?(请直接写出后的值,不必说)BC【答案】1 PC PE成立2,PC PE成立3当 k 为二 3 时,VCPE总是等边三3角形【解析】【分析】(1)过点 P 作 PM 丄 CE 于点 M,由 EF 丄 AE, BC 丄 AC,得到 EF/ MP/ CB,从而有(2)过点 F 作 FD 丄 AC 于点 D,过点 P 作 PM 丄

4、 AC 于点 M,连接 PD,先证 DAFBAEAF,即可得出 AD=AE;再证 DAP EAP,即可得出 PD=PE 最后根据FD 丄 AC, BC 丄 AC, PM 丄 AC,可得 FD/ BC/ PM,再根据点 P 是 BF 的中点,推得 PC=PD 再根据PD=PE 即可得到结论.(3) 因为 CPE 总是等边三角形,可得 / CEP=60, / CAB=60 ;由/ ACB=90 ,求出ACAC/ CBA=30 ;最后根据k, =tan30 ;求出当 CPE 总是等边三角形时,k 的值是BCBC多少即可.【详解】解:(1) PC=PE 成立,理由如下:EMMCFPPB,再根据点 P

5、是 BF 的中点,可得EM=MC,据此得至 U PC=PE如图 2,过点 P 作 PM 丄 CE 于点 M , / EF 丄 AE, BC 丄 AC, / EF/ MP / CB,EMMCFPPB,点P是BF的中点, EM=MC,又IPM 丄 CE, PC=PE(2) PC=PE 成立,理由如下:如图 3,过点 F作 FD丄 AC于点 D,过点 P作 PM丄 AC于点 M, 连接 PD, /ZDAF=/ EAF, / FDA=ZFEA=90 / 在 DAF 和 EAF 中,/ZDAF=ZEAF,ZFDA=ZFEA AF=AF, DAF EAF ( AAS , AD=AE,在 DAP 和厶 EA

6、P 中,/ AD=AE, ZDAP=ZEAP, AP=AP, DAPAEAP(SAS,PD=PE/ FD 丄 AC, BC 丄 AC, PM 丄 AC,FD/ BC/ PM ,DM FPMC PB ZCEP=60, ZCAB=60,/ZACB=90, ZCBA=90- ZACB=90-60 =30点 P 是 BF 的中点, DM=MC ,又/ PM 丄AC, PC=PD,又TPD=PE是等边三角形,ACACk ,=tan30BCBC当 k 为3时,CPE 总是等边三角形.3圍4【点睛】考点:1 几何变换综合题;2探究型;3 压轴题;4 三角形综合题;5 全等三角形的 判定与性质;6 平行线分线

7、段成比例.3如图,PB 为。O 的切线,B 为切点,过 B 作 OP 的垂线 BA,垂足为 C,交。O 于点 A, 连接 PA AO.并延长 AO 交。O 于点 E,与 PB 的延长线交于点 D.若.=:,且 OC=4,求 PA 的长和 tan D 的值./ k=ta n3033【答案】(1)证明见解析;(2) PA =3 门, tan D=【解析】试题分析:(1)连接 OB, 分线,进而可得:PA=PB 线的性质可得/ PBO=90 ,0C 2_=AC 3先由等腰三角形的三线合一的性质可得:0P 是线段 AB 的垂直平然后证明 PA3APBO,进而可得/ PBO=ZPAO,然后根据切 进而可

8、得:/ PAO=90,进而可证:PA 是OO 的切线;(2)连接 BE,由值,从而可求 OP 的值,然后根据勾股定理可求 试题解析:(1)连接 OB,则 OA=OB,,且 OC=4,可求 AC, OA 的值,然后根据射影定理可求PC 的AP 的值.在厶 PAO 和厶 PBO 中, /PBO=ZPAO, PB=PA/ PB 为OO 的切线,B 为切点, /PBO=90 , / PAO=9O即 PA 丄 OA,PA 是OO 的切线;PA = PRPO - POVM =OR,:.PAC PBO (SSSArQ,且 OC=4, AC=6, AB=12,在 RtAACO 中,由勾股定理得: AO=.,O

9、B=OA=2 ,_ /13 AE=2OA=4在 RtAAPO 中,/ AC 丄 OP, AC2=OC PC,解得:PC=9, OP=PC+OC=13=l.在 RtAAPO 中,由勾股定理得: AP= .BE DE DEVDO DE + OE解得二-PA_ytan)=AD=i2易证;,所以,在中,则考点:1切线的判定与性质;2相似三角形的判定与性质;3解直角三角形.pSiOP 丄 AB, AC=BCOP 是 AB 的垂直平分线, PA=PB4.如图,某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB 的高度,由于教学楼底部不能直接到达,故兴趣小组在平地上选择一点C,用测角器测得主教学楼顶端A 的仰角为 30

10、再向主教学楼的方向前进 24 米,到达点 E 处(C, E, B 三点在同一直线上),又测得主教学楼顶 端 A 的仰角为 60已知测角器 CD 的高度为 1.6 米,请计算主教学楼 AB 的高度(、3沁1.73 结果精确到 0.1 米)【解析】【分析】首先分析图形,根据题意构造直角三角形本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构 造等量关系,进而求解.【详解】解:在 RtAAFG 中,tan / AFG=3,AG AGFG=tan AFG J3AG在 RtAACG 中,tan / ACG=,CG又 CG FG=24m, AG=123m,5.在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点o 0,0,

11、点A 3,0,点C连接OB,以点A为中心,顺时针旋转矩形AOCB,旋转角为0360矩形ADEF,点O,C,B的对应点分别为D,E,F.(I)如图,当点D落在对角线OB上时,求点D的坐标;CG=AGtan ACG即.3AG AG3=24m,0,4,,得到 AB=123+1.62214(n)在(I)的情况下,AB与DE交于点H.1求证BDE DBA;2求点H的坐标.(川)为何值时,FB FA.(直接写出结果即可).(川)60或300【解析】【分析】(I)过AD分别作AM OB, DN 0A,根据点 A、点 C 的坐标可得出 OA、OC 的 长,根据矩形的性质可得 AB、 OB 的长, 在 RtAO

12、AM 中, 禾惋 / BOA 的余弦求出 OM 的 长, 由旋转的性质可得 OA=AD,禾 U 用等腰三角形的性质可得OD=2OM,在 RtAODN 中,利用/ BOA 的正弦和余弦可求出 DN 和 ON 的长, 即可得答案;(n) 由等腰三角形性质可 得/ DOA=ZODA,根据锐角互余的关系可得ABD BDE,利用 SAS 即可证明 DBAB BDE; 根据 DBAB BDE 可得 / BEH=ZDAH, BE=AD,即可证明 BHE DHA,可得 DH=BH,设 AH=x,在 RtAADH 中, 利用勾股定理求出 x 的值即可得 答案; (川)如图,过 F 作 FO 丄 AB,由性质性质

13、可得 / BAF=,分别讨论 0 180和 180 360 时两种情况,根据 FB=FA 可得 OA=OB,禾 U 用勾股定理求出 FO 的长,由余弦的定义即可求出/ BAF 的度数.【详解】(I)点A 3,0,点C 0,4, OA 3,OC 4.四边形 OABC 是矩形,AB=OC=4,矩形DAFE是由矩形AOBC旋转得到的-AD AO 3.在Rt OAB中,OB.OA2AB25,过A D分别作AMOB,DNOA;(n)证明见解析;点H的坐标为(3,25)8);OMOA3在RtAOAM中,cosBOAOAOB59OM -5/ AD=OA, AM 丄 OB,OD 2OM185在RtAODN中:

14、sinBOADN 4,cos/ BOA=OD 5ON _3OD=5 DN72,ON25542554 72点 D 的坐标为25,25.ED(n)矩形DAFE是由矩形 OA ADAOBC旋转得到的,3, ADE 90 ,DE AB 4. OD AD.DOA又DOAODA.OBA 90,BDH ADO90ABDBDE.又BD BD-BDEADBA.由ABDEADBA,得BEH又BHEDHA,- ABHEADHA. DH=BH,设AH x,则DH BH 4x,在RtAADH中,AH2AD2DH2,225即x2324x,得x -825AH8点H的坐标为3浮.DAH,BEAD 3,(川)如图,过 F 作

15、F0 丄 AB, 当 0aw 1800,点 B 与点 F 是对应点,A 为旋转中心,/ BAF 为旋转角,即 / BAF=a, AB=AF=4, / FA=FB FOX AB,1 OA= AB=2,2OA 1-cos/ BAF= =,AF 2/ BAF=60 , 即a=60 当 180aAy求出 sina二,贝Utana=,在22AB20V5213故:抛物线的表达式为:y=1x2-x-3,2则 y=-3,2(1,-2 );SAABC=XACX3H= XBCXA,2 2解得: BH=2、2,MDx 1 PMD 中,tana=- =,即可求解;PMx 2yj22A 关于对称轴的对称点A(5, 6)

16、N,此时 AM+MN 最小,即可求解.(3)作点交 AP 于点【详解】,过点 A 作ANAP分别交(1)将点A、B 坐标代入二次函数表达式得:93b21b23,解得:令 y=0,则 x=-1 或 3,令 x=0,sinBH2丄2 _ 1AB 2X05, 则 tan1a=,2故点 C 坐标为(3, 0),点 PG由题意得: GC=2=PG,故 / PCB=45,延长 PC,过点 D 作 DM 丄 PC 交于点 M ,MDx 1tana- =- =PMx 242 2解得:x=22,则 CD=2x=4,故点 P ( 7, 0);(3)作点 A 关于对称轴的对称点 A( 5, 6),过点 A 作 AN

17、 丄 AP 分别交对称轴与点 M、交 AP 于点 N,此时 AM+MN 最小,r、y1jL*T18i直线 AP 表达式中的 k 值为:=-2,则直线 A N 表达式中的 k 值为一,421设直线 A N 的表达式为:y= x+b,2将点 A 坐标代入上式并求解得:b=,217故直线 A N 的表达式为:y=-x+-,22当 x=1 时,y=4,故点 M (1 , 4),同理直线 AP 的表达式为:y=-2x, 联立 两个方程并求解得:x=-,5714故点 N (-7,14).55【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、解直角三角形等知识,其中( 用对称点求解最小值,是此类题目的一

18、般方法.& 如图(1),已知正方形 ABCD 在直线 MN 的上方 BC 在直线 MN 上,E 是 BC 上一点,以 AE 为边在直线 MN 的上方作正方形 AEFG(1) 连接 GD,求证: ADGAABE;(2) 连接 FC,观察并直接写出 / FCN 的度数(不要写出解答过程)(3)如图(2),将图中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD, AB= 6, BC= 8, E 是线段 BC 上一则 MD=MC=x,在厶 PMD 中,3),利4/ FCN 的大小总保持不变,tan / FCN=.理由见解析.3【解析】【分析】(1 )根据三角形判定方法进行证明即可.(2 )作 FH 丄 M

19、N 于 H.先证 ABEAEHF,得到对应边相等,从而推出 CHF 是等腰直角 三角形,/ FCH 的度数就可以求得了.(3)解法同(2),结合(1)( 2)得:EFHAGAD, EFH ABE,得出 EH=AD=BC=8 由三角函数定义即可得出结论.【详解】(1) 证明:四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是正方形, AB=AD,AE=AG=EF,/BAD= ZEAG=ZADC=90 ZBAEZEAD ZDAG+ZEAD,ZADG=90= ZABE, ZBAE= ZDAG,在厶 ADG 和厶 ABE 中,ADG ABEDAG BAE,AD AB ADGAABE(AAS).(2) 解:ZFC

20、N= 45理由如下: 作 FH 丄 MN 于 H,如图 1 所示:3)当点 E 由 B 向 C 运动时,动点(不含端点 B、C),以 AE 为边在直线 MN 的上方作矩形 AEFG 使顶点 G 恰好落在射 线 CD 上判断当点 E 由 B 向 C 运动时,/ FCN 的大小是否总保持不变,若 / FCN 的大小不 变,请求出 tan /FCN 的值.若/ FCN 的大小发生改变,请举例说明.则ZEHF= 90=ZABE,/AEX/ABE= 90 /BAEF/AEB= 90 /FEH+ZAEB=90 ,/FEH=ZBAE, 在 EFH 和 ABE 中,EHF ABEFEH BAE,EF AE E

21、FH ABE (AAS ,FH= BE, EH= AB= BC,CH= BE= FH,/ZFHC=90 ZFCN=45:(3) 当点 E 由 B 向 C 运动时,ZFCN 的大小总保持不变,理由如下:由已知可得ZEAG=ZBAD=ZAEF= 90,结合(1)( 2)得:EFHAGAD, EFHAABE,EH= AD= BC= 8, CH= BE,EH FH FHAB BE CH4当点 E 由 B 向 C 运动时,ZFCN 的大小总保持不变,tanZFCN=3【点睛】本题是四边形综合题目,考查了正方形,矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用,其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的

22、相等或成比例.9.现有一个 Z 型的工件(工件厚度忽略不计),如图所示,其中 60cm,ZABC= 90,ZBCD= 60 求该工件如图摆放时的高度(即 离)(结果精确到 0.1m,参考数据:存卜 1.73在 RtAFEH 中, tanZFCN=FHCHEH 84AB 63AB 为 20cm, BC 为A 到 CD 的距【答案】工件如图摆放时的高度约为61.9cm.【解析】【分析】过点 A 作 APICD 于点 P,交 BC 于点 Q,由/CQP=/AQB、/ CPQ=/B= 90 知/A=ZC=60在厶 ABQ 中求得分别求得 AQ、BQ 的长,结合 BC 知 CQ 的长,在 CPQ 中可得

23、PQ,根据 AP = AQ+PQ 得出答案.【详解】解:如图,过点 A 作 APICD 于点 P,交 BC 于点 Q,/ ZCQP= ZAQB, ZCPQ=ZB=90:ZA= ZC=60 ,AB20z =r=目在厶 ABQ 中,/ AQ=ca 川 12BQ= ABtanA= 20ta n60 = 20( cm), CQ= BC- BQ= 60 - 20丁 (cm),在厶 CPQ 中,/ PQ= CQsinC=( 60 - 20、日)sin60 = 30 (、B- 1) cm, AP = AQ+PQ= 40+30 代唱-1) 61 .(cm),答:工件如图摆放时的高度约为61.9cm.【点睛】(

24、cm).本题主要考查解直角三角形的应用,熟练掌握三角函数的定义求得相关线段的长度是解题 的关键.12210.已知抛物线 y=- 一 X2- x+2 与 x 轴交于点 A, B 两点,交 y 轴于 C 点,抛物线的对63称轴与 x 轴交于 H 点,分别以 OC OA 为边作矩形 AECO(1)求直线 AC 的解析式;如图,P 为直线 AC 上方抛物线上的任意一点,在对称轴上有一动点M,当四边形 AOCP面积最大时,求|PM - OM|的值.如图,将 AOC 沿直线 AC 翻折得 ACD,再将 ACD 沿着直线 AC 平移得 AC .D 使得 点A、C 在直线 AC 上,是否存在这样的点 D,使得

25、AE 为直角三角形?若存在,请求 出点 D的坐标;若不存在,请说明理由.国】砂砂15【答案】 y= x+2; (2)点 M 坐标为(-2,)时,四边形 AOCP 的面积最大,此时33613 19| PM - OM|有最大值-6- ; (3)存在,D 坐标为:(0, 4 )或(-6, 2 )或(,一).655【解析】【分析】(1 )令 x= 0,则 y = 2,令 y = 0,则 x= 2 或-6,求出点 A、B、C 坐标,即可求解;(2) 连接 OP 交对称轴于点 M,此时,| PM - OM|有最大值,即可求解;(3) 存在;分 A D 丄 A E;A D 丄 ED ;ED 丄 A E 三种

26、情况利用勾股定理列方程求解即可.【详解】(1 )令 x= 0,则 y = 2,令 y = 0,则 x= 2 或-6, / A (- 6, 0 )、B (2, 0)、C (0,82),函数对称轴为:x=- 2,顶点坐标为(-2, ), C 点坐标为(0,2),则过点 C31的直线表达式为:y= kx+2,将点 A 坐标代入上式,解得:k -,则:直线 AC 的表达式3为:yx+2;3四边形 AOCP 面积=AOC 的面积+ ACP 的面积,四边形 AOCP 面积最大时,只需要ACP25/ AE=CD,/AEC= ZADC=90:DM , AM = MC,设:EM= a,则:/EMA=/DMC,

27、EAMBADCM(AAS,二 EM=MC= 6- a .在 RtADCM 中,由勾股定理得: MC2=D&+MD2,即:(6 a)2= 22+a2,解得:a8,则:MC10,过点 D 作 x 轴的垂线交 x331110 g轴于点 N,交 EC 于点 H.在 RtADMC 中,一 DH?MCMD?DC,即:DH2,22则:DH8, HCDC2DH26,即:点 D 的坐标为(55设:ACD 沿着直线 AC 平移了 m 个单位,则:点 A 坐标(-6 一=,),点 D 坐标V10 V10,6 3m 18 m十- 丄一”为(厂),而点 E 坐标为(-6, 2),贝 U6 185書)3mAD2=

28、(24ED2=Q3m2,10)1285若厶 AED 为直角三角形,分三种情5),|PM - 0M|的最大值为:3616(3) 存在.26)22)2=m225x,当 x=- 2 时,y5,即:点 M 坐标为(-2,63况讨论:P 坐标为1221的面积最大即可,设点(m,m2m+2),则点 G 坐标为(m,m+2),633111221123 时,上式SA ACPPG?OA?m2m+2m 2)?6m2-3m,当 m =-226332取得最大值,则点 P 坐标为(-3,.连接 0P 交对称轴于点 M,此时,| PM - OM|有当A D2+AE2=ED2时,36+m4m 104=m232m,解得:m=

29、響,最大值,直线 0P 的表达式为:y此时 D(6 3m 18510,5m帀)为(0,4);当A D2+ED2=AE2时,36+m 232mJQ12824m=m5;1Q4,解得:6 3m 182当AE2+ED2=AD2时,m为(6, 2);4mJQ4+m232mJQ128r=36,解得:m=或 m=2,此时 D(63m 18m,2 )或(319 1Q 5一)为(6,)55JQ55综上所述:D 坐标为:(Q, 4)或(- 6, 2)或(3理).55【点睛】本题考查了二次函数知识综合运用, 涉及到一次函数、 图形平移、 解直角三角形等知识,其中(3)中图形是本题难点,其核心是确定平移后A、D 的坐

30、标,本题难度较大.11 .如图,半圆 O 的直径 AB= 2Q,弦 CD/ AB,动点 M 在半径 OD 上,射线 BM 与弦 CD 相交于点E (点 E 与点 C D 不重合),设 OM = m.(1 )求 DE 的长(用含 m 的代数式表示);4(2)令弦 CD 所对的圆心角为a,且 sin 二.251若厶 DEM 的面积为 S,求 S 关于 m 的函数关系式,并求出 m 的取值范围;2若动点 N 在 CD 上,且 CN= OM,射线 BM 与射线 ON 相交于点求 DE 的长.F,当 / OMF= 9Q。时,23m 6Qm 3QQ)S=5Q vmv1Q),135 DE=.2【解析】【分析】(1 )由 CD/ AB 知厶 DEMsOBM,可得 匹,据此可得;OB OM1(2) 连接 OC、作 OP 丄 CD MQ 丄 CD,由 OC= OD、OP 丄 CD 知/ DOP= / COD 据此 2,43可得 sin/ DOP= sin/ DMQ= _、sin/ODP= _ ,继而由 OM = m、OD= 10 得 QM =553DMsin/ODP= - (10 m),根据三角形的面积公式即可得;如图2,先求得 PD= 8、CD53 如图 3,由 BM= OBsin/ B

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