第一章行列式的基本计算和线性代数的基本概念

1、第一章 行列式 §1. 1 二阶、三阶行列式 一、二元线性方程组与二阶行列式 用消元法解二元线性方程组, 方程(2)´a11-方程(1)´a21得 (a11a22-a12a21) x2= a11b2-b1a21, 于是 ; 类似地有 (a11a22-a12a21) x1= b1a22-a12b2, .我们把a11a22-a12a21称为二阶行列式, 并记为, 即 . 在二阶行列式中, 横排称为行, 竖排称为列. a ij称为行列式的元素, 它是行列式中第i行第j列的元素. 从左上角元素到右下角元素的实联线称为主对角线, 从右上角元素到左下角元素的虚联线称为副对角线

2、. 于是二阶行列式是主对角线上两元素之积减去的副对角线上二元素之积所得的差, 这一计算法则称为对角线法则. 按对角线法则可得 , . 若记, , , 则线性方程组的解可表为 , . 例1 求解二元线性方程组 解 由于 , , , 因此 , . 二 、三阶行列式 用消元法解三元线性方程组, 可得 x2=× × ×, x3=× × ×. 我们把表达式 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31称为三阶行列式, 记为 , 即 =a11a22a33+a12a23a31

3、+a13a21a32 -a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31. 对角线法则: 按对角线法则, 有 =b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32 -b1a23a32-a12b2a33-a13a22b3. 若记 , , , , 则三元线性方程组的解为 , , . 例2 计算三阶行列式. 解 按对角线法则, 有 D=1´2´(-2)+2´1´(-3)+(-4)´(-2)´4 -1´1´4-2´(-2)´(-2)-(-4)´2´(-3) =-4-6+3

4、2-4-8-24=-14. 例3 求解方程. 解 方程左端的三阶行列式 D=3x2+4x+18-9x-2x2-12=x2-5x+6, 由x2-5x+6=0解得x=2或x=3. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式, 为研究四阶及更高阶行列式, 下面先介绍有关全排列的知识, 然后引出n阶行列式的概念. §1. 2 全排列及其逆序数 引例 用1、2、3三个数字, 可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解 百位上可以从1、2、3中任意选取一个, 共有3种选法; 百位数字确定后, 十位上的数字在剩余的两个数中选取, 共有两种选法; 百位和十位上的数字都确定后, 个位上的数字只能取剩下的一个数字

5、, 即只有一种选法. 因此总共有3´2´1=6种选法, 即可以组成6个没有重复数字的三位数. 这6个三位数是 123, 231, 312, 132, 213, 321. 我们把n个不同的对象(称为元素)排成一列, 叫做这n个元素的全排列(也简称排列). n个不同元素的所有排列的总数, 通常用Pn表示. Pn的计算公式: Pn=n×(n-1)×(n-2)× × × 3×2×1=n!. 比如由a, b, c组成的所有排列为 a b c, a c b, b a c, b c a, c a b, c b a .

6、abb是排列吗? 以下我们只讨论n个自然数的全排列. 在n个自然数的全排列中排列123× × ×n称为标准排列. 在一个排列中, 如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序不同, 就说有1个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数. 逆序数为奇数的排列叫做奇排列, 逆序数为偶数的排列叫做偶排列. 逆序数的计算法: 在排列p1p2× × ×pn中, 如果pi的前面有ti个大于pi的数, 就说元素pi的逆序数是ti. 全体元素的逆序数之和 t=t1+t2+ × × × +tn即是这个排列的逆序数.

7、例4 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中, t1=0, t2=1, t3=0, t4=3, t5=1, 3位于首位, 其逆序数为0; 2的前面比2大的数有一个(3), 故其逆序数为1; 5的前面没有比5大的数, 故其逆序数为0; 1的前面比1大的数有三个(3、2、5), 故其逆序数为3; 4的前面比4大的数有一个(5), 故其逆序数为1; 于是排列32514的逆序数为 t=0+1+0+3+1=5. 标准排列12345的逆序数是多少?§1. 3 n阶行列式的定义 为推广行列式概念, 必须找出二阶、三阶行列式的展开式的共同特征. 观察展开式 =a11a22a33+a12a

8、23a31+a13a21a32 -a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31. 可以得到如下规律: (1)三阶行列式右边的每一项都恰是三个元素的乘积, 这三个元素位于不同的行、不同的列. 行列式右边任一项除正负号外可以写成 , 这里第一个下标(行标)排列成标准次序123, 而第二个下标(列标)排成其中p1p2p3它是1、2、3三个数的某个排列. 这样的排列共有6种, 对应行列式右边共含6项. (2)各项的正负号与列标的排列对照: 带正号的三项列标排列是: 123, 231, 312; 带负号的三项列标排列是: 132, 213, 321. 经计算可知前三个排列都是偶排列, 而后

9、三个排列都是奇排列. 因此各项所带的正负号可以表示为(-1)t, 其中t为列标排列的逆序数. 总之, 三阶行列式可以写成 , 其中t为排列p1p2p3的逆序数, 表示对1、2、3三个数的所有排列p1p2p3取和. 仿此, 可以把行列式推广到一般情形. 定义 由n2个数aij (i, j=1, 2, × × ×, n)构成的代数和 称为n阶行列式, 记为 , 简记为det(aij), 其中p1p2 × × × pn为自然数1, 2, × × × n的一个排列, t为这个排列的逆序数, 表示对所有排列p1p2

10、 × × × pn取和. 在n阶行列式D中, 数aij为行列式D的(i, j)元. 特别规定一阶行列式|a|的值就是a. 注: n阶行列式共有n!项, 且冠以正号的项和冠以负号的项各占一半. 在行列式中, 的行标的排列为123 × × × n, 表明n个元素取自不同的行, 列标的排列为p1p2 × × × pn, 表明n个元素取自不同的列, 所以表示取自不同行不同列的n个元素的乘积. 如果p1p2 × × × pn为奇排列, 则面冠以负号; 如果p1p2 × 

11、15; × pn为偶排列, 则前面冠以正号. 例5 证明n阶行列式 ; . 解 第一式左端称为对角行列式, 其结果是显然的, 下面只证第二式. 若记li=a i, n-i+1 , 则依行列式定义 , =(-1)t a1na2, n-1 × × × an1=(-1)tl1l2 × × × ln, 其中t为排列n×(n-1)× × ×21的逆序数, 故 t=0+1+2+ × × × +(n-1) . 主对角线以下(上)的元素都为0的行列式叫做上(下)三角行列式

12、, 它的值与对角行列式一样. 例6 证明下三角形行列式 . 解 我们要求出展开式中所有可能不为零的乘积项. 要使取自不同行不同列的n个元素的乘积不一定为零, 第一行只能取a11, 第二行只能取a22, 第三行只能取a33, × × × , 第n行只能取ann. 这样的乘积项只有一个, 这就是a11a22a33 × × × ann. 因为它的列标排列为标准排列, 其逆序数为0, 所以在它前面带有正号. 因此 . 补充例题: 例1 在6阶行列式det(aij)中, 元素乘积a15a23a32a44a51a66前应取什么符号？ 解 因为列标

13、排列532416的逆序数为t=0+1+2+1+4+0=8, 为偶排列, 所以在该乘积项的前面应取正号. 例2 用行列式定义计算行列式. 解 为使取自不同行不同列的元素的乘积不为0, 第1列只能取a21, 第3列只能取a43, 第4列只能取a14, 第2列只能取a32, 所以四个元素的乘积为a21a43a14a32=a14a21a32a43,其列标排列为4123, 它的逆序数为3, 是奇排列, 所以D=(-1)3a14a21a32a43=-a14a21a32a43=-1.§1. 4 对换 在排列中, 将任意两个元素对调, 其余的元素不动, 就得到另一个排列, 这种对排列的变换方法称为对

14、换. 将相邻两个元素对换, 叫做相邻对换. 定理1 一个排列中的任意两个元素对换, 排列改变奇偶性. 定理1 任一排列经过一次对换后必改变其奇偶性. 证 先证明相邻对换的情形. 设排列为a1 × × × al abb1 × × × bm. 对换a与b之后得到排列a1 × × × al bab1 × × × bm.显然, 元素a1, × × × , al和b1, × × × bm的逆序列数经过对换并不改变, 而a, b

15、两个元素的逆序数改变为: 当a<b时, 经过对换后, a的逆序数增加1, 而b的逆序数不变; 当a>b时, 经过对换后, a的逆序数不变, 而b的逆序数减少1, 所以排列a1 × × × al abb1 × × × bm与排列a1 × × × al bab1 × × × bm的奇偶性不同. 再证明一般对换情形. 设排列为a1 × × × al ab1 × × × bmbc1 × × &

16、#215; cn. 把它作m次相邻对换, 变成a1 × × × al abb1 × × × bmc1 × × × cn, 再作m+1次相邻对换, 变成a1 × × × al bb1 × × × bmac1 × × × cn. 总之, 经2m+1次相邻对换, 排列a1 × × × al ab1 × × × bmbc1 × × ×

17、cn变成排列a1 × × × al bb1 × × × bmac1 × × × cn, 所以这两个排称的奇偶性相反. 推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数. 证明 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数, 而标准排列是偶排列, 因此知推论成立. 利用定理1, 下面来讨论行列式定义的另一种表示法. 对于行列式的任一项,其中1 × × × i × × × j × × × n

18、是标准排列, t为排列p1 × × × pi × × × pj × × × pn的逆序列数, 则有其中r0是行标排列的逆序数, 其值为0对换元素与r1和t1分别是对换后行标和列标排列的逆序数× × × 继续对换, 使列标排列为标准排列其中r是当列标排列成为标准排列时行标排列的逆序数, t0是列标排列的逆序数, 其值为0. 因此, 行列式中任一项可写成的形式. 定理2 n阶行列式也可定义为,其中t为行标排列p1p2 × × × pn的逆序数. 证

19、按行列式定义有,记. 由上面讨论知: 对于D中任一项, 总有且仅有D1中的某一项与之对应并且相等; 反之, 对于D1中的任一项, 也总有且仅有D中的某一项与之对应并相等, 于是D与D1中的项可以一一对应并相等, 从而D=D1. §1.5 行列式的性质转置行列式: 记, ,行列式DT称为行列式D的转置行列式. 性质1 行列式D与它的转置行列式DT相等. 证 记D=det(aij)的转置行列式, 则bij=aji (i, j=1, 2, × × ×, n). 按定义. 而由定理2, 有, 故DT=D . 由此性质可知, 行列式中的行与列具有同等的地位, 行列

20、式的性质凡是对行成立的对列也同样成立, 反之亦然. 性质2 互换行列式的两行, 行列式变号. 证 设行列式是由行列式D=det(aij)对换i, j两行得到的, 即bkp=akp(k¹i, j), bip=ajp, bjp=aip(p=1, 2, × × ×, n). 于是 , 其中1 × × × i × × × j× × × n为标准排列, t为排列p1 × × × pi × × ×pj × &

21、#215; ×pn的逆序数. 设排列p1 × × × pj × × ×pi × × ×pn的逆序数为t1 , 则, 故. 以r i表示行列式的第i行, 以c i表示第i列. 交换i, j两行记作ri«rj, 交换i, j两列记作ci«cj. 推论1 如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列式等于零. 证 把这两行互换, 有D=-D, 故D=0. 性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k, 等于用数k乘此行列式. 即. 第i行(或列)乘以k, 记作ri´

22、;k(或ci´k). 推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 第i行(或列)提出公因子k, 记作ri¸k(或ci¸k). 性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例, 则行列式等于零. 性质5 若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和, 例如第i行的元素都是两数之和: ,则D等于下列两个行列式之和: . . 性质6 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去, 行列式不变. 即. 以数k乘第j行加到第i行上, 记作ri+krj. 例7 计算. 解 (下一步: c1«c2) (下一步: r2

23、-r1, r4+5r1) (下一步: r2«r3) (下一步: r3+4r2, r4-8r2) (下一步: r3+r4) (下一步: r4-5r3) . 例8 计算. 解 (下一步: r1+r2+r3+r4) (下一步: r1¸6) (下一步: r2-r1, r3-r1, r4-r1 ) . 例9 计算. 解 (下一步: r4-r3, r3-r2, r2-r1) (下一步: r4-r3, r3-r2) (下一步: r4-r3) . 例10 证明D=D1×D2, 其中, , . 证 对D1作运算ri+krj, 把D1化为下三角形行列式, 设为 ; 对D2作运算ci+

24、kcj, 把D2化为下三角形行列式, 设为 . 于是, 对D的前k行作运算ri+krj, 再对后n列作运算ci+kcj, 把D化为下三角形行列式 , 故D=p11× × × pkk q11× × × qnn=D1×D2. 例11 计算2n阶行列式 , 其中未写出的元素为0. 解 把D2n中的第2n行依次与2n-1行、× × ×、第2行对调(作2n-2次相邻对换), 再把第2n列依次与2n-1列、× × ×、第2列对调, 得 , 根据例10的结果, 有 D2n=D2&

25、#215;D2(n-1)=(ad-bc)D2(n-1). 以此作递推公式, 即得 D2n=(ad-bc)2D2(n-2)= × × × =(ad-bc)n-1D2=(ad-bc)n. 例11 计算2n阶行列式 , 其中未写出的元素为0. 解 把D2n中的第2n行依次与2n-1行、× × ×、第2行对调(作2n-2次相邻对换), 再把第2n列依次与2n-1列、× × ×、第2列对调, 得 , 根据例10的结果, 有 D2n=D2×D2(n-1)=(ad-bc)D2(n-1). 以此作递推公式, 即

26、得 D2n=(ad-bc)2D2(n-2)= × × × =(ad-bc)n-1D2=(ad-bc)n. §1.6 行列式按行(列)展开 在n 阶行列式D=det(aij)中, 把元素aij所在的第i行和第j列划去后, 剩下来的n-1阶行列式叫做元素aij的余子式, 记作Mij; 记Aij=(-1)i+ jMij,Aij叫做元素aij的代数余子式. 例如行列式 , 中元素a23的余子式为 , 元素a23的代数余子式为 (-1)2+3M23=-M 23. 引理 在n阶行列式D中, 如果第i行元素除aij外都为零, 那么这行列式等于aij与它的代数余子式Ai

27、j的乘积, 即D=aij×Aij. 简要证明: . 定理3 行列式等于它的任一行(列)各元素与其对应的代数余子式乘积的和, 即 D=ai1Ai1+ai2Ai2+ × × × +ainAin (i=1, 2, × × × , n),或 D=a1jA1j+a2jA2j+ × × × +anj Anj (j=1, 2, × × × , n). 简要证明 因为 , 根据引理, 即得 D=ai1Ai1+ai2Ai2+ × × × +ainAin

28、(i=1, 2, × × × , n). 类似地, 可证 D=a1jA1j+a2jA2j+ × × × +anj Anj (j=1, 2, × × × , n). 这个定理叫做行列式按行(列)展开法则. 例1 计算行列式 . 解 将D按第三列展开,应有 D=a13A13+a23A23+a33A33+a43A43,其中a13=3, a23=1, a33=-1, a43=0, , , , ,所以 D=3´19+1´(-63)+(-1)´18+0´(-10)=-24. 例

29、2 计算n阶范德蒙行列式 . 解 (第n-1行乘-a1加到第n行, 第n-2行乘-a1加到第n-1行, 第n-3行乘-a1加到第n-2行, × × ×) (按第一列展开) =(a2-a1)(a3-a1)× × ×(an-a1)Dn-1, 于是 Dn=(a2-a1)(a3-a1)× × ×(an-a1)Dn-1 =(a2-a1)(a3-a1)× × ×(an-a1)(a3-a2)× × ×(an-a2)Dn-2 =(a2-a1)(a3-a1)

30、15; × ×(an-a1)(a3-a2)× × ×(an-a2) × × ×(an-an-1) . 例2 计算n阶范德蒙行列式 . 解 (第n-1行乘-a1加到第n行, 第n-2行乘-a1加到第n-1行, 第n-3行乘-a1加到第n-2行, × × ×) (按第一列展开) =(a2-a1)(a3-a1)× × ×(an-a1)Dn-1, 于是 Dn=(a2-a1)(a3-a1)× × ×(an-a1)D n-1 =(a2-a

31、1)(a3-a1)× × ×(an-a1)(a3-a2)× × ×(an-a2)Dn-2 =(a2-a1)(a3-a1)× × ×(an-a1)(a3-a2)× × ×(an-a2) × × ×(an-an-1) . 推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即 ai1Aj1+ai2Aj2+ × × × +ainAjn =0 (i¹j), 或 a1iA1j+a2iA

32、2j+ × × × +aniAnj=0 (i¹j). 证明 因为 , 所以 aj1Aj1+aj2Aj2+ × × × +ajnAjn=(aj1+ai1)Aj1+(aj2+ai2)Aj2+ × × × +(ajn+ain)Ajn , 移项化简得 ai1Aj1+ ai2Aj2+ × × × + ainAjn=0. 综合结果: , 或. 相关结果: , . , . 例3 设 , D的(i, j)元的余子式和代数余子式依次记作Mij和Aij, 求 A11+A12+A13+A

33、14及M11+M21+M31+M41. 解 (下一步: r4+r3, r3-r1) (下一步: 按第三列展开) (下一步: c2+c1) (下一步: 按第三行展开) . M11+M21+M31+M41=A11-A21+A31-A41 (下一步: r4+r3) (下一步: 按第三行展开) (下一步: r1-2r3) . 补充题 例1 分别按第一行与第二列展开行列式 . 解 按第一行展开: D=1´(-1)1+1+0´(-1)1+2+(-2)´(-1)1+3 =1´(-8)+0+(-2)´5=-18. 按第二列展开: D=0´(-1)1+

34、2+1´(-1)2+2+3´(-1)3+2 =0+1´(-3)+3´(-1)´5=-3-15=-18. 例2 计算 =(-1)(-1)3+2= =1´(-1)2+2=-6-18=-24. 例3 计算n阶行列式 . 解 按第一行展开, 得 . §1.7 克拉默法则 含有n个未知数n个方程的线性方程组的一般形式为 , ()由它的系数组成的n阶行列式 称为n元线性方程组的系数行列式. 克拉默法则 如果线性方程组()的系数行列式不等于零, 即, 那么, 方程组()有唯一解 , , × × × , ,其中

35、D j (j=1, 2, × × × , n)是把系数行列式D中第j列的元素a1j, a2j, × × × , anj对应地换为方程组的常数项b1, b2, × × × , bn后所得到的n阶行列式, 即. 证明 以行列式D的第j(j=1, 2, × × × , n)列的代数余子式A 1j, A 2j, × × × , A nj分别乘以方程组的第1, 第2, × × × , 第n个方程, 然后相加, 得 (a11A1

36、j+a21A2j+ × × × +an1Anj)x1+(a12A1j+a22A2j+ × × × +an2Anj)x2+ × × × +(a1jA1j+a2jA2j+ × × × +anjAnj)xj+ × × × +(a1nA1j+a2nA2j+ × × × +annAnj)xn =b1A1j+ b2A2j+ × × × + bnAnj,xj的系数等于D, xs(s¹j)的系数等于零. 等号右端等于D的第j列元素以常数项b1, b2, × × × , bn替换后的行列式Dj, 即 Dxj =Dj (j=1