关于代数式的最值

1、关于代数式的最值第1页共 6 页关于代数式的最值求代数式的最大值及最小值是初中考试中经常出现的题目，它的解法灵活多样，不可概而论，下面就初中阶段较常见的解法举例说明，以便同学们复习参考。一、 配方法例 1.1.设 a a、b b 为实数，那么a2ab b2a 2b的最小值是 _。解：a2ab b2a 2ba2(b 1)a b22b因为(a )20，-(b 1)2024b 1所以当a 0且b 102计算法A.A. 311B.B.、322C.C.131D.D.3222ab21解: 由b22c22c2a2(ab 1)23(b1)2即a 0且b 1时，式子a2ab b2a 2b的值最小，最小值为一 1

2、 1。a22，则ab bc ca的最小值为（关于代数式的最值第2页共 6 页例 2.2.已知：a2b21 , b2c22,c2关于代数式的最值第3页共 6 页2 2 2 2bc ca（a b c）（a b c）6时|a b c|最小，最小值为、22消元法2 2 2例 3 3已知：x 2y 1，则2x 5y的最大值是 _，最小值是 _1 x所以02所以1 x 1a解得b2二2_62因为ab（a b25c）2所以只要|ac|最小，ab bcca就最小，通过计算当a ，b2.62ca的最小值为V V3 3注：也可把 a a、b b、c c 的值直接代入abbc ca通过计算并比较，从而求出其最小值。

3、解：由x22y21得y2x2故选 B B所以ab bc2 26 6 - - 4 4关于代数式的最值第4页共 6 页22925y的最大值为-；当x 1时，2x 5y的最小值为2。-2x21 .X2-2的最大值。x1 x解：原式可变形为四、构造法其中（x-）23可以看成是以 xA|x-|,.3为直角边的直角三角形的斜边长,x所以2x5y2x525x2x225 “2、229(x)2510所以当x2时,2x例 4.4.求y551 x22关于代数式的最值第5页共 6 页A2可以看成是以|x -|,. 2为直角边的直角三角形中的斜边长。因此可构造x图 1 1。(x -)2x当 C C 点与 D D 点不重

4、合时，即IBC ABx关于代数式的最值第6页共 6 页即y AB . 32当 C C 点与 D D 点重合时，即|x1|0时xy AC BCADBD.321所以当|x| 0时即x1时 y y 取最大值.3. 2。x五、坐标法例 5.5.已知：y2x8，求：d . x2y2的最小值。解：如图 2 2,建立直角坐标系，y 2x 8的图象是与 x x 轴，y y 轴的交点分别为 A A （4 4,0 0）、B B（ 0 0，8 8）的一条直线。y01 .图 2 2设 P P（x x，y y）是直线y 2x 8上的一动点，由勾股定理知dx2y2表示P P（x x，y y）与 O O（0 0，0 0）间的距离，易知，只有当OP AB时，dx2y2最小。作OC AB，垂足为 C C。因为OA OB AB OC 2SAOB所以OCOA OB4 88 5AB42825关于代数式的最值第7页共 6 页所以dx2y2的最小值为空。5关于代数式的最值第8页共 6 页六、换元法例 6.6.求y x , 1 2x的最大值。1解：因为1 2x 0,所以x -21则可设xt(t 0)2所以y1t . 2t 1( ：t )22 2,21 _所以当.t0，即t，x 0时，y x /1 2x有最大值 1 1。22七、 利用基本不等式法11彳4/4例 7.7.若xy 1，那么代数式x4y