工程光学郁道银版习题解答一题不落第十二章光及衍射

1、工程光郁道银学习题解答第十二章光的衍射波长为500nm的平行光垂直照射在宽度为 0.025mm的单缝上，以焦距为 50cm的会 聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求（1）衍射图样中央亮纹的半宽度； （2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（3）第一亮纹和第二亮纹的强度。解：（1）零强度点有asin n （n 1, 2, 3）.中央亮纹的角半宽度为亮纹半宽度r0 f50102_ _ 9500 1030.025 100.01m（2）第一亮纹，有asin 1 4.4934.4931a4.493 50010 93.14 0.025 100.0286rad12f 1 50 10 2 0.0286 0

2、.0143m 14.3mm同理 r2 24.6mm2(3)衍射光强I I0 sin,其中 asin当asin n 时为暗纹，tg 为亮纹对应级娄攵00114.4930.0471827.7250.016942.平行光斜入射到单缝上，证明：（1 ）单缝夫琅和费衍射强度公式为2asin（sin sin i）I I0 式中，I0是中央亮纹中心强度；a是缝宽；是a （sinsin i）衍射角，i是入射角（见图12-50）（2）中央亮纹的角半宽度为acosi证明:即可，对于中央亮斑sin sin i3 .在不透明细丝的夫琅和费衍射图样中，测得暗条纹的间距为1.5mm,所用透镜的焦距为30mm,光波波长为6

3、32.8nm。问细丝直径是多少？解：设直径为a ,则有一 f daf 632.8 10 9 0.03a 3 0.0126mmd 1.5 10 34 .利用第三节的结果导出外径和内径分别为a和b的圆环（见图12-51）的夫琅和费衍射强a度公式，并求出当b a时，（1）圆环衍射与半径为 a的圆孔衍射图样的中心强度之比；（2）2解:圆环衍射图样第一个暗环的角半径。同样，解移崂p点喃娜6、图2 2J1 kbEb pb2c' 4kb因此圆环在P点产生的振幅为工程光郁道银学习题解答E EaEb22 .a J1 ka c'ka2b J1 kbkbP点强度为I E22c'22 .a J

4、1 kakab2J1 I kb2kb对于衍射场中心,b242 ,2 ac'b42.2 a bc a2 b2 2(1)(2)a时, 29ca16Ia 016第一暗纹有2 .a J1 kakab2J1 I kbkb1aaJi ka -aJ k- 22查表可有ka3.144ka3.1443.144 0.51 2 a a4.（1） 一束直径为2mm的氨速激光（632.8nm）自地面射向月球，已知地面和月球相距3.76 103km，问在月球上得到的光斑有多大？（2）如果用望远镜用作为扩束器将该扩展成直径为 4m的光束, 月球，在月球上的光斑为多大？该用多大倍数的望远镜？将扩束后的光束再射向解：（

5、1）圆孔衍射角半宽度为0.61，传到月球上时光斑直径为0.61D 2 l 2 a0.61 632.8 10 91 10 33.76 108 290.3km（2）若用望远镜扩束，则放大倍数为2000倍。直径D' 2 'l 2 06 l 20.61 632.8 109- 3.76 108 145.2m2工程光郁道银学习题解答5.若望远镜能分辨角距离为 3 10 7 rad的两颗星，它的物镜的最小直径是多少？同时为了充分利用望远镜的分辨率，望远镜应有多大的放大率?一一一一一一 9 一2.24m0.610.61 550 102解：D =3 10人眼分辨率为1'一 一 42.9

6、10 rad10 43 10 7= 9006.若要使照相机感光胶片能分辨2 m的线距，（1）感光胶片的分辨率至少是每毫米当时线；（2）照相机镜头的相对孔径D/f至少有多大？（光波波长为 550nm）解：（1）胶片分辨率为（2） D 1.22d7. 一台显微镜的数值孔径为1，八一N 3 500线/毫米2 10 3N = N 0.3414900.85,问(1)它用于波长400nm时的最小分辨距离是多少？ （2）若利用油浸物镜使数值孔径增大到1.45 ,分辨率提高了多少倍？ （ 3）显微镜的放大率应设计成多大？（设人眼的最小分辨率为1）。90.610.61 400 106解：(1) 0.29 10

7、mnsinu 0.85145(2)提高'竺1.70.85(3)人眼在明视距离处能够分辨的长度为e 250mm250 2.9 10 4 7.25 10 2mm，放大率至少为24257.25 10 2mm30.29 10 mm 1.78.在双缝夫琅和费衍射实验中，所用光波波长632.8nm ,透镜焦距f 50cm ,观察到两相邻亮条纹之间的距离 e 1.5mm,并且第四级亮纹缺级。试求（1）双缝的缝距和缝宽；（2）第1, 2, 3级亮纹的相对强度。解：（1）双缝衍射亮纹条件为 d sin m ,m 0, 1, 2取微分有 d cos令 m 1 ,且cos 1 ,则 三一d又,* ed632

8、.8 10 931.5 100.530.21 10 m(2)衍射极小位置为 asin n一,n 1, 2m 0, 1, 2n m取 n 1,m 4a 0.05mm 4(3)对于第一级亮纹有dsinrr2即d sin2又,.1 d 4aasin-asin第一级亮纹的相对强度”10sin20. 22 sin 一-2_2sin40.81sin 一2同理以 0.4,0.099.在双缝的一个缝前贴一块厚 0.001mm,折射率为1.5的玻璃片。设双缝间距为1.5 m ,缝宽为0.5 m ,用波长500nm的平行光垂直入射。试分析该双缝的夫琅和费衍射图样。解：衍射图样不变，干涉位置变为dsin n n0

9、d m10.一块光栅的宽度为 10cm,每毫米内有 500条缝，光栅后面放置的透镜焦距为500nm。问（1）它产生的波长632.8nm的单色光的1级和2级谱线的半宽度是多少？ （ 2）若入射光是波长为632.8nm和波长之相差0.5nm的两种单色光，它们的1级和2级谱线之间的距离是多少？2 10对于一级主极大有d sin1 18.43.Nd cos3.34103mm同理r2 4.08310 mm5,、 1mm 1mm解：(1)d N 500(2) rd sin m.线色散d cos.1, 2级衍射线色散为500mm0.26mm/nm0.002mm cos18.430.64mm/nm0.5nm谱

10、线间距110.26mm/nm0.5 0.13mm12 0.32mm11.设计一块光栅，要求（1）使波长600nm的第2级谱线的衍射角30°, (2)色散尽可能大，（3）第3级谱线缺级，（4）在波长600nm的2级谱线处能分辨0.02nm的波长差。在选定光栅的参数后, 的几条谱线？解：为使600nm的二级谱线的衍射角问在透镜的焦面上只可能看到波长600nm30 ,则光栅常数d应满足m dsin2 600 10 9sin 302.4 10.色散- dd cosd越小色散越大d 2.4610 m3右第二级缺级，应有 a 0.8 10 m d由条件(4) N 60015000m 0.02 2

11、，光栅总长度L N d 36mm6r毛刈白启"44d sin d 2.4 10,可看至U取同级条纹为 m - 9 4600 10可看到0, 1, 2级,3级缺级，共5条条纹。12.为在一块每毫米1200条刻线的光栅的1级光谱中分辨波长为 632.8nm的一束氢就激光的模结构（两个模之间的频率差为450MHz ）,光栅需要有多宽？解:632.8nm对应的频率为4.7411410 Hz450 106144.741 10632.8 6“410 nm13.光栅总条纹数为，长度为L Nd1.005 106632.86 10 411200证明光束斜入射时,1.005879mm（1）光栅衍射强度分

12、布公式为a .一 sin sin i ,d sin sini12-53, N为光栅缝数。（2）d cosi106sinsin为衍射角；i为入射角，见图,光栅形成主级大的条件可以写为若光栅常数d图12-53 习题18图证明：（1）与垂直入射相比，有-d sin sin id sin sin i同理a . sin sin i（2）光栅形成主极大有d sin sini工程光郁道银学习题解答i _ i 2d cossin m22. d,i 0i . . i i cos cosi ,sin222. .有 d cosi i m14.有一多缝衍射屏如图12-54所示，缝数为2N ,缝宽为a,缝间不透明部分的

13、宽度依次为a和3a。试求正入射情况下，这一衍射屏的夫琅和费衍射强度分布公式。图12-54 习题19图6a sin，多光束产生干涉有sini i2 i31 e e esin1 eiiN eeisin2exp i N1 - 1 ei 12设复数 M 1 ei1 exp i N 1 一2则 M M 4cos2 ，透射光强I 4I0sin.N sin - 241cos 212bsin22sinsin 6NI 4I0 cos2 615. 一块闪耀光栅宽260mm,每毫米有300个刻槽，闪耀角为77012。（1）求光束垂直于槽面入射时，对于波长 500nm的光的分辨本领；（2）光栅的自由光谱范围有 多大？

14、 （ 3）试问空气间隔为1cm ,精细度为25的法布里-珀罗标准具的分辨本领和 自由光谱范围作一比较。解：（1）光栅刻痕数为N 7.8d104闪耀级数为2d sin m 12 mm sin77 12'300500 10 6mm=13，分辨本领为mN106(2)自由光谱范围为一500 38.5nmm 132h(3) F-P标傕具的分辨为 A 0.97ms 0.97 s= 10自由光谱范围为比光栅小得多250027 0.0125nm2h 2 1016. 一透射式阶梯光栅由 20块折射率相同、厚度相等的玻璃平板平行呈阶梯状叠成，厚板t 1cm,玻璃折射率n 1.5,阶梯高度d 0.1cm。以

15、波长 500nm的单色 光垂直照射，试计算（1）入射光方向上干涉主极大的级次；（2）光栅的角色散和分辨本领（假定玻璃折射率不随波长变化）。解：（1）由于阶梯高度 d与 相比极大，所以衍射角极小，此时相邻两阶梯的光程差为 nl cos l d sin n 1 l dn 1 l 4对应 0处，m0 104设n与相比变化很小，即, 0m 2,一10 rad /nm d分辨本领 a mN 104 20 2 10517. 设光栅的振幅透射系数为t(x)t0t1 cos2f°xt1 cos(2f°x),这块光栅2的夫琅和费衍射场中将出现几个衍射斑？各斑的中心强度与零级的比值是多少？18

16、. 在宽度为b的狭缝上放一折射率为 n、折射角为的小光楔，由平面单色波垂直照射(见图12-55),求夫琅和费衍射图样的光强分布以及中央零级极大和极小的方向。19. 图12-56为一透射型闪耀光栅，周期为 d ,闪耀角为，由平面波垂直入射(1)求夫琅和费衍射图样的光强分布。(2)求光栅对m 1级光谱闪耀时 应满足的条件。(3)试分析对m 1级闪耀时，光谱强度分布的特点。图 12-56习题24图20. 如图12-58所示，单色点光源（波长 500nm）安放在离光阑1m远的地方，光 阑上有一个内外半径分别为 0.5mm和1mm的通光圆环。考察点 P离光阑1m （SP连 线通过圆环中心并垂直于圆环平面

17、），问在P点的光强和没有光阑时的光强之比是多少？P图12-58 习题28图解：半径为1mm的圆孔包含波带数为22R r01mm 1000mm 1000mmJ一64r0R1000mm 1000mm 500 10 6mm半径为0.5mm的圆屏挡住的J ' 1圆环通过波带数为 3,由于相邻波带相消，所以只有一个波带的光在P点产生振1 幅，无光阑时P点振幅为第一波带产生振幅的一，所以放置光阑前后光强变化42倍。21. 波长 563.3nm的平行光正入射直径 D 2.6mm的圆孔，与孔相距 r0 1m处放一屏幕。问（1）屏幕上正对圆孔中心的 P点是亮点还是暗点？ （ 2）要使P点变成与（1）相反

18、的情况，至少要把屏幕向前（同时求出向后）移动多少距离？解：在P点包含的波带数为R r021.3 10-9 3 Rr0Rr01 563.3 10 9中心为亮点2r0一J3 21.3 10 39 1.5m2 563.3 103 21.3 10J 4 563.3 10 90.75m(设缝宽为a,缝距为b,且22.试写出图中双狭缝衍射屏的复振幅透射系数的表达式 b=4a)。L后焦面内沿x轴的复振幅(2) .用单位振幅单色平面光波正入射照明时，试求在透镜 分布。(3) .求在透镜L后焦面内沿x轴的光强度分布。干涉主亮纹间距其它t()0,或b2t(rect(2)复振幅分布为：a2)rect (E(x)1.expik(f i f2工)2fE(ikl)e dE(x)1expik(f i fx227)E( )eikl d1-expik( fx227)2a. / a 、sin(- x)axfb cos(- x)(3)光强度分布为:I(x) 4I0a sin(-f2x)2, cos (iklx1dx1ikla2ea2iklx1d( iklx1)2iklxe dxiklikla2 ikla iklae 2 e 21i2sin( iklkla)kla sin() a2kla. /