乘法公式培优辅导讲义-高中课件精选

1、乘法公式培优训练题型一：aL型a1 .已知 X2 3x+1=0,贝U x24-y=. X2 .若a2+-L=14,贝Ua+工一5的值为.?a3 .已知a+-l=7,贝U a3+上的值是.3 3aa.4 .已知工2=3,贝 v4-k-i-=.XX45. (1)猜想：试猜想a2+b2与2ab的大小关系，并说明理由；(2)应用：已知x-1=5金k0),求X2+3的值；*J(3)拓展：代数式乂2+4是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由;若存在，请求出最小值.题型二：换元，整体思想1 .已知 a+b=4,则,晓+ab+_b=-2 .已知(2017 a) 2+ (2016 a) 2=1,贝U (20

2、17 a) (2016 a) =.3 .已知(2017 A) 2( 2015 A) 2=2016,贝U (2017 A) 2+( 2015 A)2 的值为4 .计算(1) (+) - (1 - -(+)的结果是2 32 3 42 3 42 35 . 计算(a1+&+&-1)(a2+a3+&-1+&) 一 ( a2+&+&-1)(a1+a2+a)题型三、添与凑1.对于算式 2 (3+1) (32+1) (34+1) (38+1) (316+1) (332+1) +1.(1)计算出算式的结果；(2)结果的个位数字是几？2 .化简：6 (7+1) (72+1) (74+1) (78+1) (716+

3、1) +1=.3 .计算下列各式:(1)1- _L=22(3) (1-) (1-) (1-) =；2232 铲(4)请你根据上面算式所得的简便方法计算下式:(1-V)(1224. (1)计算:-V)(1 (1-v)(1-332 铲10工(a- 1) (a+1) =；(a-1) (a2+a+1) =；(a-1) (a3+a2+a+1) =；(2)由上面的规律我们可以猜想，得到：(a- 1) (a2017+a2016+a2015+a2014+- - +a2+a+1) =+52+5+1.(3)利用上面的结论，求下列各式的值. 22017+22016+22015+22014+22+2+152017+5

4、2016+52015+52014题型四、化简求值1.已知代数式(x 2y) 2 (xy) (x+y) 2y2(1)当x=1, y=3时，求代数式的值；(2)当4x=3y,求代数式的值.3.已知 a2+2a- 2=0,求代数式(3a+2) (3a- 2) -2a (4a - 1)的值.3 . (1)已知 a2+b2=3, a-b=1,求(2 a) (2b)的值.(2)设 b=ma(aw0),是否存在实数 m,使得(2a-b) 2- (a-2b) (a+2b) +4a (a+b)能化简为12a2?若能，请求出满足条件的 m值；若不能，请说 明理由.4 .计算:(1) (-48“一(24甜)？(件b

5、2);(2)已知 xm=3, xn=2,求 x23n 的值；(3)已知 6x=5y,求代数式(x3y) 2 (x y) (x+y) 5y2的值.题型五、综合运用1 .如果等式x2+3x+2 =x-1)2+Bx-1)+C恒成立，其中B,C为常数，B+C=.2 .已知长方形的周长为16cm它两邻边长分别为 xcm, ycm,且满足(x-y) 2-2x+2y+1=0,求其面积.3 .两个不相等的实数a, b满足a2+b2=5.(1)若ab=2,求a+b的值;(2)若 a2 - 2a=m b2- 2b=m 求 a+b 和 m的值.4 .已知|x - y+1|与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy

6、+y2的值.5.将4个数a b c d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成.)，定义:,卜ad-bc.上述记号叫做2阶行列式，若工+1 I =8.求x的化 1-x x+16 .把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些 有用的式子.(1)图1是由几个面积不等的小正方形与小长方形拼成的一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个正方形的面积， 你发现了什么结论？请写 出来.(2)图2是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一 直线上，连结BD BF,若两正方形的边长满足a+b=10, ab=20,试求阴影部 分的面积.却开心快乐每一天7 .图

7、1是一个长为2ml宽为2n的长方形纸片(其中mrn),先用剪刀沿图中虚 线剪开成四块完全相同的小长方形，然后拼成如图2所示的大正方形.(1)请用两种不同方法表示图2中阴影部分的面积： ;.(2)写出关于(m+n 2, (m- n) 2, mn的一个等式.(3)若m+n=10 mn=20求图2中阴影部分的面积.图1图二8 .从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形(如图1),然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).(1)上述操作能验证的等式是 (请选择正确的一个)A. a2 - 2ab+b2= (a- b) 2B. a2 - b2= (a+b) (a - b)C. a2+ab=a (a+b)(

8、2)若 x29y2=12, x+3y=4,求 x 3y 的值；1 -l) (1-2016220172(3)计算：(1-J-) (1-J-) (1-J-)22329.有一系列等式:图21X2X3X 4+1=5= (12+3X 1+1) 2X3X4X 5+1=112= (22+3X2+1) 3X4X5X6+1=192= (32+3X3+1) 4X5X6X7+1=292= (42+3X4+1)(1)根据你的观察、归纳、发现的规律，写出 8X9X10X11+1的结果(2)试猜想n (n+1) (n+2) (n+3) +1是哪一个数的平方，并予以证明.10 . (1)已知 a+b=3, ab=- 2,求

9、代数式(a-b) 2的值.(2)已知 a、b 满足(2a+2b+3) (2a+2b- 3) =55,求 a+b 的值.11 .如图，长方形的两边长分别为 m+1, m+7如图，长方形的两边长分别为m+2 m+4 （其中m为正整数）（1）图中长方形的面积S=;图中长方形的面积 &=比较：S 4 （填“”）（2）现有一正方形，其周长与图中的长方形周长相等,则求正方形的边长（用含 m的代数式表示）；试探究：该正方形面积S与图中长方形面积S的差（即S-S1）是一个常数， 求出这个常数.（3）在（1）的条件下，若某个图形的面积介于 Si、S2之间（不包括S、S2）并 且面积为整数，这样白整数值有且只有

10、10个，求m的值.12 .先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m+2mn+2n- 6n+9=0,求m和n的值.解：n2+2mn+2ri- 6n+9=0m+2mn+n+n2- 6n+9=0（ m+n 2+ （n - 3） 2=0m+n=0 n 3=0m=- 3, n=3问题（1）若 x2+2y2 2xy+4y+4=0,求 xy 的值.（2）已知a, b, c是AABC的三边长,满足 a2+b2=10a+8b- 41,且c是AABC中 最长的边，求c的取值范围.26.已知x、y互为相反数，且（x+3） 2- （y+3） 2=6,求x、y的值.开心快乐每一天2017年12月02乘法公式培优训练参考

11、答案与试题解析一.选择题(共11小题)1.已知 x2- 3x+1=0,贝U 1t2T= 7 x【解答】解：V X2- 3x+1=0,x+ =3, x(x+) 2=x2+2=91,x J. x2+=7.2 X故答案为：7.2 .化简：6 (7+1) (72+1) (74+1) ( 78+1) (716+1) +1= 732 .【解答】解：原式=(7T) (7+1) (72+1) ( 74+1) (78+1) (716+1) +1=(72- 1) (72+1) (74+1) ( 78+1) (716+1) +1=(74- 1) (74+1) (78+1) ( 716+1) +1=(78- 1) (

12、78+1) (716+1) +1=(716- 1) (716+1) +1=732- 1+1=732.故答案为：7323 .已知(2017 a) 2+ (2016-a) 2=1,贝U (2017 a) (2016 a) = 0 【解答】解：.( 2017- a) 2+ (2016-a) 2=1,. (2017- a) - (2016-a) 2+2 (2017- a) (2016-a) =1,即 1+2 (2017-a) (2016- a) =1, 2 (2017- a) (2016-a) =0,(2017-a) (2016-a) =0,故答案为：0.4.若a2+-l_=14,贝Ua+工 5的值为

13、 1或9 / a【解答】解：:小一 二14,2a a2+2+=14+2,2 a即 1 -=16,aa+=4,aa+- - 5= - 1 或-9, a故答案为：-1或-9.5.已知 a+b=4,则占整+ab+7rb = 8 22【解答】解：、:， *MU (a2+2ab+t2) (a+b) 2 x 422=8.6 .已知工=3,贝U y4+A-= 119 .XX【解答】解：(X-3 2+32+2=11 , x x ：二二, 一1 . =119,故答案为：119.7 .已知(2017 A) 2 (2015- A) 2=2016,贝U (2017 A) 2+ (2015A) 2 的值为 4+24vn

14、_.【解答】解：设 x=2017 - A, y=2015 - A, .x2y2=2016,xy= 12714,x - y=2x2+y2= (x-y) 2+2xy=4 24*.i 二Vx2+y20,x2+y2=4+24：fT?(2017-A) 2+ (2015-A) 2=4+24,1故答案为：4+24.二8.已知a+2=7、贝U a3+L的值是 322 a /【解答】解：= a+1 =7, a( a+) 2=49, a a2+2=49,aa2+ - =47, a=7X46=322.故答案为：322.9.如果等式x2+3x+2= (x-1) 2+B (x-1) +C恒成立，其中B, C为常数，B+

15、C=11.【解答】解：V x2+3x+2= (x1) 2+B (x1) +C=x+ (B-2) x+1+C恒成立，B- 2=3, 1+C=2. .B=5, C=6,故 B+C=11故答案为：11.10.计算(1-2-工)(1+1+1)2 32 3 4(1-1-) (+1)的结果是工 2342 3-4-【解答】解：(1(1+-1+1) ( 1 -1-1-1) (1+1)2 32 3 42 3 42 3=(1 -)X (1+1) + (1-1-1) xl- (1-1-1) X (1+1)2 32 32 342 32 3(1+1)2 3=(1 土义(+)42 3=(1 - - -+1+)2 3 2

16、34故答案为：411. 计算(a+&+an-1)(a+a3+an 1+a) (a2+a3+a-1)(a1+a2+&)=aan【解答 解：设 x=a+&+a, y=a2+a3+&-1,则原式=(x an) (y+an) - yx=xy+xan - any - an2 - xy2=an (x y) an=an (a+a2+ +an)2a2+&+a 1) an=an (a1+an) an =a1an,故答案为：a8.选择题（共16小题）212 .已知长方形的周长为16cm,匕两邻边长分别为xcm, ycm,且酒足（x-y） -2x+2y+1=0,求其面积.【解答】解：由题意得：2 （x+y） =16

17、,解得：x+y=8;:(x y) 2 2x+2y+1= (x y) 22(x y) +1= (xy 1) 2=0, x - y=1 .联立成方程组(尸LK-y=l解得：，了，长方形面积 S=xy=3- x .Z-=J-cni. 2 2 4答：长方形的面积为cm2.413 .两个不相等的实数a, b满足a2+b2=5.(1)若ab=2,求a+b的值;(2)若 a2 - 2a=m b2- 2b=m 求 a+b 和 m的值.【解答】解：(1) V a2+b2=5, ab=2, (a+b) 2=a2+2ab+t)=5+2x2=9,a+b= 3;(2)a2- 2a=m b2-2b=m a2-2a=b2-

18、2b, a2 - 2a+b2 - 2b=2m a2b2 2 (a-b) =0,(a-b) (a+b-2) =0,: a. a+b-2=0,a+b=2,J a2 - 2a+b2 - 2b=2m a2+b2-2 (a+b) =2ma2+b2=5, .5-2X2=2m解得：m=,乙即 a+b=2, m=L. 214 .已知|x y+1|与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值.【解答】解：|x-y+1|与x2+8x+16互为相反数，|x - y+1|与（x+4） 2互为相反数，即 |x y+1|+ （x+4） 2=0,x - y+1=0, x+4=0,解得 x= - 4, y= - 3

19、.当 x=4, y=3 时，原式=（ 一 43） 2=49.15 .将4个数a b c d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成.)，定义 -bc.上述记号叫做2阶行列式，若 I Lf =8.求x的值.1-s x+1【解答】解：根据题意化简1r =8,1-x x+1得：(x+1) 2- (1 - x) 2=8,整理得：x2+2x+1- (1-2x+x2) -8=0,即 4x=8,解得：x=2.16 .把几个图形拼成一个新的图形， 再通过图形面积的计算，常常可以得到一些 有用的式子.(1)图1是由几个面积不等的小正方形与小长方形拼成的一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个正方形的面

20、积，你发现了什么结论？请写出来.(2)图2是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一 直线上，连结BD BF,若两正方形的边长满足a+b=10, ab=20,试求阴影部分的 面积.b【解答】解：(1) (a+b+c) (2) 写出关于(m+n 2, (m- n) 2, mn的一个等式(m+n 2= (m n) 2+4mn .(3)若 m+n=10 mn=20【解答】解：（1）图2中阴影部分的面积：（m- n） 2；（m+n 2-4mn故答案为：（m- n） 2； （m+n 2-4mn 2(2) 关于(m+n , (m- n) , mn的一个等式:故答案为：(m+n 2= (

21、m- n) 2+4mn(3) J m+n=10 mn=20=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac(2)a+b=10, ab=20, S阴影a2+b2J- (a+b)?b- -a2a2+b2- ab (a+b) 2-ab x 102- x 22222222220=50 - 30=20.17 .图1是一个长为2m,宽为2n的长方形纸片（其中mn）,先用剪刀沿图中虚线剪开成四块完全相同的小长方形，然后拼成如图2所示的大正方形.（1）请用两种不同方法表示图2中阴影部分的面积：（m- n）2 :（m+n2求图2中阴影部分的面积.图2猫哂El(m+n 2= (m- n) 2+4mn4mn .图2中阴影

22、部分的面积为：（m+n 2-4mn=l0- 4X20=20.18 .对于算式 2 (3+1) (32+1) (34+1) (38+1) (316+1) (332+1) +1.(1)计算出算式的结果；(2)结果的个位数字是几？【解答】解：(1)原式二(3T) x ( 3+1) x ( 32+1) x ( 34+1) x ( 38+1) x(3,(1) X ( 332+1) +1=(32-1) x( 32+1)x(34+1) x( 38+1)x(316+1) x (332+1) +1=(34-1) x( 34+1)x(38+1) x( 316+1)x( 332+1) +1=(332 - 1 ) x

23、 ( 332+1) +1=岁；31=3, 32=9, 33=27, 34=8135=243, 36=729,.每3个数一循环，64+3=21-1,.364的个位数字是3.19 .计算下列各式:(D(2)(3)(4)14色；22（1-p-）（1-a）=一方；（1 _y）（1 _-V）（1 _-V）=-|-一；2348_请你根据上面算式所得的简便方法计算下式：(1-也）（1-士）（1-士）（1-3）（1-1102【解答】解:(2) (1-r)(1-3)=4；（3）原式二生；8故答案为3；;4 3 8(4)原式=?皂?2?2- 2 2 3 3n n 2n开心快乐每一天20 .从边长为a的正方形剪掉一

24、个边长为b的正方形（如图1）,然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）.（1）上述操作能验证的等式是B （请选择正确的一个）A.B.C.a2 - 2ab+b2= (a - b) 2 a2 - b2= (a+b) (a - b) a2+ab=a (a+b)(2)若 x29y2=12, x+3y=4,求 x 3y 的值;(3)计算：(1-与)(1-r)(1-与)22324 工1 -(12016 z2017 2【解答】解：（1）根据阴影部分面积相等可得:a2 - b2= (a+b)(a b),上述操作能验证的等式是B, 故答案为：B;I - I - 一 : -yr- 1 - - 7 l： 77： .

25、： 1L 33 dUlb ZU1B 2U1 dUl=. 一 ，一1门厂一，门一二 2 2017二迹.201721 .有一系列等式: 1 X2X3X4+1=52= (12+3X1+1) 2(22+3X2+1) 2_，一，_22X3X4X5+1=11 =3X4X5X6+1=19=4X5X6X7+1=29=，一2 一 一 、(3+3X3+1)，一2 一 一 .、(4+3X4+1)(1)根据你的观察、归纳、发现的规律，写出 8X9X10X11+1的结果 892(2)试猜想n (n+1) (n+2) (n+3) +1是哪一个数的平方，并予以证明.【解答】解：(1)根据观察、归纳、发现的规律，得到 8X9

26、X10X 11+1= (82+3X 8+1) 2=892;故答案为：892;(2)依此类推：n (n+1) (n+2) (n+3) +1= (n2+3n+1) 2,理由如下等式左边 二(n2+3n )(n2+3n+2 )+1=n4+6n3+9n2+2n2+6n+1=n4+6n3+11n2+6n+1,等式右边n2+3n+1 )2=(n2+1 )2+2 ? 3n ? ( n2+1 )+9n2=n4+2n2+1+6n3+6n+9n2=n4+6n3+11n2+6n+1,左边=右边.22 . (1)已知 a+b=3, ab=- 2,求代数式(a-b) 2的值.(2)已知 a、b 满足(2a+2b+3)

27、(2a+2b- 3) =55,求 a+b 的值.【解答】解：(1)a+b=3, ab=- 2,(a-b) 2= (a+b) 2-4ab=32-4X (-2) =17；(2) (2a+2b+3) (2a+2b- 3) =55, 4 (a+b) 2 - 9=55,(a+b) 2=16,a+b= - . 11 = 4.23.如图，长方形的两边长分别为m+1, m+7如图，长方形的两边长分别为m+2 m+4 （其中m为正整数）图mT图（1）图中长方形的面积S= m+8m+7 ;图中长方形的面积 &= m+6m+8比较：Si S2 （填“”）（2）现有一正方形，其周长与图中的长方形周长相等，则求正方形的

28、边长（用含 m的代数式表示）；试探究：该正方形面积S与图中长方形面积Si的差（即S-Si）是一个常数， 求出这个常数.（3）在（1）的条件下，若某个图形的面积介于 Si、&之间（不包括S、S2）并 且面积为整数，这样的整数值有且只有 10个，求m的值.【解答】解：（1）图中长方形的面积S1= （m+7 （m+1 =m+8m+7图中长方形的面积 S2= （m+4 （m+2 =m+6m+8比较：= S-&=2m- 1, m为正整数，m最小为1, .2m- 110,. SG;(2) 2 (m+7+m+)1 + 4=m+4S Si= (m+4 2 ( m+8m+7 =9定值;(3)由(1)得，S -

29、S2=2m- 1,当 102m 1011 时，.24. (1)计算：(aT) (a+1) = a2- 1 ；(aT) (a2+a+1) = a3 -1 ；(aT) (a3+a2+a+1) = a4 -1 ；(2)由上面的规律我们可以猜想，得到：(a- 1) (a2017+a2016+a2015+a2014+.+a2+a+1) = a2018- 1 ；(3)利用上面的结论，求下列各式的值.浮二浮:厂化+*4+22+2+1U10%20，01=+52+5+1.【解答】解：(1) (a-1) (a+1) =a2 1；(aT) (a2+a+1) =a3 - 1 ；(aT) (a3+a2+a+1) =a4

30、- 1；故答案为：a?-1； a3-1； a4- 1；(2)由上面的规律我们可以猜想，得到：(a- 1) (a2017+a2016+a2015+a2014+. +a2+a+1) =a2018- 1 ；故答案为：a2018-1；(3)理利用上面的结论，求下列各式的值.22。17+22016+22015+22014+ .+22+2+1= (2 - 1 ) X (22017+22016+22015+22014+- - +22+2+1) =22018-1 ；52017+52016+52015+52014+52+5+14(5-1) X ( 52017+52016+52015+52014+52+5+1)4

31、4X ( 52018 1 ).25.先阅读下面的内容，再解决问题, 例题：若 ni+2mn+2ri- 6n+9=0,求 m和 n 的值.解：nr+2mn+2ri- 6n+9=0m+2mn+Mn2- 6n+9=0( m+n 2+ (n - 3) 2=0m+n=0 n 3=0 .m=-3, n=3问题(1)若 x2+2y2- 2xy+4y+4=0,求 xy 的值.(2)已知a, b, c是AABC的三边长,满足 a2+b2=10a+8b-41,且c是AABC中 最长的边，求c的取值范围.【解答】解：(1) x2+2y2 - 2xy+4y+4=x2 - 2xy+y2+y2+4y+4=(x-y) 2+ (y+2) 2=0,x- y=0, y+2=0,解得 x= - 2, y=- 2,xy= (- 2)2吟 4(2) v a2+b2=10a+8b-41, a2 - 10a+25+X-8b+16=0,即(a-5) 2+ (b-4) 2=0,a - 5=0, b- 4=0,解得 a=5, b=4,.c是 ABC中最长的边，二 5 c 2ab,理由为：a2+b2-2ab=(a-b) 20,a2+b22ab；(2)把 x-工=5 两边平方得：(x-1)2=x2+Ar - 2=25,贝U x2+ =27;(3) x