北师大版高二理科数学选修2-1期末试卷及答案

1、高二年级理科数学选修2-1 期末测试卷、选择题(每小题 5 分，共 12 小题，满分 60 分)1.已知命题p：x：=R,使 tan x =1，其中正确的是()(A)p： x R,使 tan x = 1(B)p： x- R, 使 tanx = 1(C)p： - x R, 使 tan x = 1(D)p： - x R,使 tan x = 12.抛物线y2=4ax(a：0)的焦点坐标是()(A)(a, 0)( B) ( a, 0)(C)(0,a)(D)( 0, a)13.设a R，则a 1是1的()(A)充分但不必要条件(B)必要但不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4.已知 ABC

2、 的三个顶点为 A( 3，3，2)，B( 4, 3, 7), C (0, 5, 1),贝 U BC 边上的中线长为()(A) 2( B) 3( C) 4( D) 55. 有以下命题：如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a,b的关系是不共线；2O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底，则点0,代B,C一定共面；3已知向量a, b,c是空间的一个基底，则向量a亠b, a b, c也是空间的一个基底。其中正确的命题是()(A)(B)(C)(D)6.如图：在平行六面体ABCD - AB1C1D1中，M为AG与B1D1的交点。若AB = a,AD = b,

3、AA,= c则下列向量中与BM相等的向量是(11 (A)a b c221 1 -(C)a b c2 2(A)xy=1(x丰0)(B)x丄=1(XM0)362020362222(C)x=1(x丰0)(D)x=1(XM0)6202067.已知 ABC 的周长为 20，且顶点 B (0， 4) , C (0 , 4)，则顶点 A 的轨迹方程是)1I1-(B)abc221 1-(D) abc22A (X1, y1)B ( X2, y2)两点，如果x1，x2=6,那么AB=(A) 6(B) 8(C) 9()(D) 10D1MA1B1DC9.若直线y =kx 2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点，

4、那么k的取值范围是 (2 2 2 28.过抛物线 y2= 4x 的焦点作直线交抛物线于(A)(15V15c 515一(-一)(B)(0,)(C)(一,0)(D) (-，一1)3333310.试在抛物线y2= -4x上求一点 P,使其到焦点F 的距离与到A(-2,1)的距离之和最小，则该点坐标为( )(A)丄1(B)-1,1(C)(2,2逅)(D) ( 2,20)1 4丿14丿11.在长方体 ABCD-AB1C1D1中，如果 AB=BC=1 AA,=2，那么 A 到直线 A1C 的距离为()(A) 6(B)戒(C)二(D)仝32332 212.已知点F1、F2分别是椭圆 爲爲=1 的左、右焦点，

5、过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点,a b若厶ABF为正三角形，则该椭圆的离心率e 为()(A)1( B)2( C 丄(D)2233、填空题(每小题 4 分，共 4 小题，满分 16 分)13. 已知A( 1, 2, 11 )、B( 4, 2, 3)、C (x,y, 15)三点共线，则x y =_。14. 已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2 米时，量得水面宽 8 米。当水面升高 1 米后，水面宽度是_米。16.一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；2在ABC中，“.B =60”是“ A,.B,. C三个角成等差数列”的充要条件x 1x y 3223是的充要条件；“amivbmi”

6、是“a017、解：若方程x mx0有两个不等的负根，贝 U,. 2 分捲+x2= m cO所以m 2，即p: m 2.3 分若方程4x24(m-2)x 1=0无实根，则厶=16(m-2)2-16：0,即1：m：3, 所以p:1：m：3.因为p q为真，则p,q至少一个为真，又p q为假，则p, q至少一个为假.所以p, q一真一假，即“p真q假”或“p假q真”. 8 分Im 2工 m _ 2所以亠 或. 10 分m 兰 1 或 m K3 1 m 3所以m _3或1：m乞2.故实数m的取值范围为(1,2U3,：) . 12 分18、解：由斤-2 2,0、F22.2,0，长轴长为6得：c =2-、

7、2,a =3所以b =12 2椭圆方程为n1. 5 分912 2设 A(xyj, B(x2, y2),由可知椭圆方程为 1,91直线 AB 的方程为y = X 2把代入得化简并整理得10 x236x *27=01827X1X2,X1X2510又 AB =(1 十平“哮27)=墮5210510 分12 分19、解：(1 )以0为原点，OB、OC、0A分别为 x、y、z轴建立空间直角坐标系则有A(0,0,1)、B(2,0,0)、C(0,2,0)、E(0,1,0).EB =(2,0,0)一(0,1,0) =(2, 1,0),-2COS5 5所以异面直线BE与AC所成角的余弦为-5(2)设平面ABC的

8、法向量为n1=(x,y,z),则n1I AB知: m AB = 2x - z = 0;4 _ AC知：n1AC =2y -z =0取m =(1,1,2)2-1030八贝V cos：EB, n-i, . 10 分1V5T630jf故BE和平面ABC的所成角的正弦值为30. 12 分302设过点 T(3,0)的直线I交抛物线y=2x于点 A(X1,y1)、B(X2,y2).当直线I的钭率下存在时，直线I的方程为x=3，此时,直线I与抛物线相交于A(3,. 6)、B(3, . 6), OA OB = 3。当直线 I 的钭率存在时，设直线I的方程为y=k(x 3),其中 k丰0.|2OA OB=xiX

9、2+yiy2=(y1y2) y1y2=3.4综上所述,命题“.”是真命题.解法二：设直线I的方程为my=x 3 与y2=2x联立得到 y2-2my-6=0OA OB=x1x2+y1y2=(my1+3) (my2+3)+y1y2=(m2+1)y1y2+3m(y1+y2)+9=(m2+1)X(-6)+3mX2m+9= 3. 8 分(2)逆命题是：“设直线 1 交抛物线 y2=2x 于 A、B 两点，如果OA OB = 3,那么该直线过点 T(3,0). ”AC =(0,2, -1)20、证明：(1)解法厂2y = 2x$ =k(x3)2得ky 2y 6k=0,则 yy 6.又x1=y12,12X2

10、=y2,210 分该命题是假命题.例如：取抛物线上的点A(2,2),B(1,1),此时OAQB=3=3,2一2一直线 AB 的方程为y=(x+1),而 T(3,0)不在直线 AB 上. 12 分3点评：由抛物线y2=2x上的点 A(xi,yi)、Bgy2)满足OA OB = 3,可得yiy2= 6。或yiy2=2,如杲yiy2= 6, 可证得直线 AB 过点(3,0);如杲yiy2=2,可证得直线 AB 过点(一 1,0),而不过点(3,0)。21、解：方法一： 证：在 RtBAD中,AD=2,BD=2 2, / AB=2, ABCD 为正方形，因此 BD 丄 AC./ PA 丄平面 ABCD

11、 , BD 二平面 ABCD ,二 BD 丄 PA .又TPAnAC=A / BD 丄平面 PAC.解：(2)由 PA 丄面 ABCD，知 AD 为 PD 在平面 ABCD 的射影，又 CD 丄 AD,/ CD 丄 PD,/ BDAP =0, BDAC =0,即卩 BD 丄 AP, BD 丄 AC,又 APnAC=A,. BD 丄平面 PAC.解：( 2)由(1) 得PD =(0,2,-2),CD =(-2,0,0).设平面 PCD 的法向量为n = (x, y, z)，则m PD = 0, n1CD = 0, PA 丄平面 ABCD ,AP =(0,01)为平面 ABCD 的法向量.即严2y

12、so、2x +0 +0 = 0故平面PCD的法向量可取为n (0,1,1)知/ PDA 为二面角 P CD B 的平面角. 又TPA=AD ,./ PDA= 459 分(3)由(I)得PB =(2,0,-2),PD = (0,2,-2)，设平面 PBD 的法向量为n2=(x,y,z),22、解：（1）由题设知：2a = 4，即 a = 2,将点（1,3）代入椭圆方程得22 2 c2= a2 b2= 4-3 = 1 ，故椭圆方程为y1 ,43焦点 F1、F2的坐标分别为（-1，0）和（1，0）设二面角 P CD B 的大小为匕依题意可得COST =n-i* AP、2则门2*PB =0,门2PD=0，即*%+一20 x=y=z,故可取为0 +2y 2z =0山二（111）.11 分 PC =(2,2,-2) ,C 到面 PBD 的距离为d二n2* PC14 分(2