一元二次方程综合培优1[难度大-含参考答案解析]

1、WORD格式整理版321、已知 x2 _5x -2000 =0 ,则（x-2）-（x-1）*1 的值是 x -22、已知 a2 2004a +1 =0 ,则 2a2 4007a +004 =a 13、若 ab #1 ,且 5a2 + 2005a +7=0 , 7b2 +2005b +5=0 ,则 a = b4、已知方程2x2 2ax+3a 4=0没有实数根，则代数式 Ja2 8a+16 + 2 a =5、已知y =2x +%6 -x ,则y的最大值为6、已知 a+b+c=0, abc=2, c>0,则（）A、ab 0R a b < -2C a b < -3口 a b <

2、 -42.一7、已知 a-b =8 , ab +c +16=0,则 a+b+c=.8、已知 m2 +m1=0,贝U m3 +2m2 2006 =.9、已知 a -b =4 , ab +c2 +4 =0 ,贝U a +b =.10、若方程 x2 + px q =0 的二根为 x1 , x2，且 x1 A1， p +q +3 A0 ,则 x2 （）A、小于1B、等于1G大于1D不能确定_ 311、已知0（是方程x2 +x二二0的一个根，则 03 _1的值为. 4:12、若 3x2 -x=1 ,则 9x4 +12x3 -2x2 -7x+2008=（）A、 2011B 2010C 2009口 2008

3、13、方程 J3x+2 J3x 2 =2的解为 .14、已知 2x2 -6x +y2 =0 ,则 x2 +y2 +2x 的最大值是（）A、14B 15C 160 1815、方程x2 2|x| 笠=m恰有3个实根，则m=（）A、1B 1.5C 2口 2.516、方程x2十3x - =9的全体实数根之积为（）x 3x -7A、60B -60C 10D -10217、关于x的一兀二次方程 2x 5xa =0 （a为常数）的两根之比x1 ： x2 =2 :3 ,则x2 一兑=（）- 13A、1B 2C -H 32218、已知是a、P方程x2 +x 1 =0的两个实根，则 a4_3P=.19、若关于x的

4、方程 用-=-匚 +ax二口只有一解，求a的值。 x -1 x - x x中考真题.131 1、若x =1 ,则x -3的值为（）xx2、已知实数s、P满足«2 +3« 1=0 , P2 3P 1=0,且d #1 ,则口上十3P的值为（）A、1B、3C - 3H 103、实数x、y满足方程x1117、已知头数 mi n 满足 m +m-2009 =0, 2-2009 =0（mn #-1 ）,则-n=. n nm9、已知方程x2十（2k+1x+k2 2=0的两实根的平方和等于11, k的取值是（）A 3 或 1B 与C 1H 310、设a, b是整数，方程x2 +ax + b

5、=0有一个实数根是、：74石,则a+b=.13、已知方程ax4 -（a -3 x2+3a =0的一根小于2 ,另外三根皆大于 1 ,求a的取值范围。14、已知关于x的方程x2 2x+k=0有实数根x1 , x2且y =x； +x；,试问：y值是否有最 大值或最小值，若有，试求出其值，若没有，请说明理由。 +2y2 2xy+x 3y+1 =0 ,贝U y最大值为（）A1B 3C > -D、不存在2 244、方程（x2 +x -1 x+=1的所有整数解的个数是（）A 2B 3C 4D 55、已知关于x的方程ax2 +bx+c =0的两根分别为 -3和1,则方程bx2+cx + a =0的两根

6、为（ ）A、_1和 1R 1 和 1C 1 和-1D -和-13 2326、实数x、y满足x2 +xy +y2 =2 ,记u =x2 -xy + y2 ,则u的取值范围是（）.22A - -u _6R u_2C 1 _u _6H 1_u_233学习指导参考一元二次方程培优题及参考答案1、已知 X2 _5x _2000 =0 ,则32x -2 - x -11x -2的值是（D）A 2001答案：DB 2002C、2003D 2004(x -2 3 -仅 一1 2 +1x -22一 x2x=x 2004 x =2004x - 2解析：由 x2 5x 2000 =0 得：x2 4x=x+20002-

7、 x -112=x - 2= x _ 4x - 4x -2归纳：本题解决的方法是通过降次达到化简的目的。2、已知a2-2004a+1=0 ,则2a2-4007a+-2004 =.a 1答案：20022221解析：由 a 2004a+1=0得：a +1 =2004a , a = 2004a -1, a+=2004 a原式=2 2004 a -1 )-4007 a20042004a归纳：本题解决的方法是通过降次达到化简的目的。3、若 ab ¥1 ,且 5a2 + 2005a +7=0 , 7b2 +2005b +5=0 ,则 a = b答案：75解析：由 7b2 +2005b+5=0 得

8、：5 口+2005X1+7=0bb112ab #1 ,即a 1-，把a和1作为一兀二次万程 5x2 +2005x +7 =0的两根bb.1 a 7 a -一二一二一b b 5归纳：本题是通过构造一元二次方程的两根，利用根与系数的关系解决问题。4、已知方程2x2 2ax+3a 4=0没有实数根，则代数式 Ja2 -8a+16+|2-a=.答案：2考点：根的判别式。分析：由方程2x2 2ax+3a4=0没有实数根，得0 ,求的a的范围，然后根据此范围化简代数式。解答：解：,已知方程 2x2 -2ax + 3a 4 =0没有实数根AF0,即 4a2 _4x2x(3a _4 尸0, a2 6a+8 Y

9、0 ,得 2 Y a y4则代数式 Ja2 8a +16 +|2 -a| =|a-4|+|a-2|=4-a +a 2=2归纳：本题考查了一元二次方程根的判别式。当Af。时，方程没有实数根。同时考查了一元二次不等式的解法、二次根式的性质和绝对值的意义。5、已知y =2x +力6二二X ,则y的最大值为 .答案：978考点：二次函数的最值。专题：计算题；换元法.分析：此题只需先令*话X=t之0,用x表示t,代入求y关于t的二次函数的最值即可。解答：令 j6x =t 之0, x=6t2贝U y =2x . 6 -x =12 -2t2 t = -2t2 t 12 = -2 t -124 81 一 一一

10、 .又t之0,且y关于t的二次函数开口向下，则在 t=一处取得最大值4一，197即y最大值为121,即9788归纳：本题考查了二次函数的最值，关键是采用换元法，将J61x用t来表示进行解题比较简便。6、已知 a+b+c=0, abc = 2, c>0,则()A、ab 0R a b - -2C a b - -3口 a b - -4答案：B考点：根的判别式。专题：综合题。2、分析：由a+b+c=0, abc = 2, cO,得至U a, b两个负数,再由a+b=c, ab=,这 c2222一样可以把a,b看作万程x2+cx+=0的两根，根据根的判别式得到 A = c2-4父一20 ,解得c之

11、2, cc然后由a , b - -c得到a b - -2 .解答：a+b+c=O, abc = 2, c*0 a 0, bO , cO2 a b :-c , ab -c22，可以把a, b看作万程x +cx+=0cA=c2 -42 >0 ,解得 c>2c = -(a +b户2 ,即 a +bE-2cWORD格式整理版点评：本题考查了一元二次方程根的判别式：如方程有两个实数根，则 0 00 .也考查了一 元二次方程根与系数的关系以及绝对值的含义。7、已知 a -b =8 , ab +c2 +16 =0,则 a +b +c =.答案：0考点：因式分解的应用；非负数的性质：偶次方。分析：

12、本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口。由ab=8可得a = b+8 ;将其代入ab+c2+16=0得：b2 +8b +c2 +16=0;此时可发现b2 + 8b+16正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求出b、c的值，进而可求得解答：a -b =8a的值；然后代值运算即可。a=b 8学习指导参考一2又.ab c 16=02222_b +8b+c +16 = 0 ,即（b+4） +c =0，b=-4, c =0 a =4，a+b+c=0归纳：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法.8、已知

13、m2 +m_1=0,贝U m3 +2m2 2006 =.答案：-2005考点：因式分解的应用。专题：整体思想。分析：根据已知条件可得到 m2 +m=1 ,然后整体代入代数式求值计算即可。解答：m2 +m -1 =0m2 +m =1 .原式 =m m2 m m -2006 = m2 m -2006 =1 -2006 = -2005点评：这里注意把要求的代数式进行局部因式分解，根据已知条件，整体代值计算。9、已知 a -b =4 , ab +c2 +4 = 0 ,则 a +b =.答案：0考点：拆项、添项、配方、待定系数法。专题：计算题.分析：先将字母b表示字母a,代入ab +c2 +4=0,转化

14、为非负数和的形式，根据非负数的性质求出a、b、c的值，从而得到a+b的值。解答：.1 a -b =4，a =b+4代入 ab +c2 +4=0,可得(b +4b+c2 +4 =0 ,即6十2)+c2 =0b =-2, c =0 a = b +4 =2 a +b =0归纳：本题既考查了对因式分解方法的掌握, 解题关键是将代数式转化为非负数和的形式。又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法。10、若方程x2 + px _q =0的二根为x1 ,X2 ,且 X1 >1 , p +q +3 M0 ,则 X2 ()A、小于1B、等于1G大于1D不能确定答案：A考点：根与系数的关系.专题：计算题.分

15、析：方程x2 +pxq=0的二根为 入，X2 ,根据根与系数的关系及已知条件即可求解。解答：,方程x2+ pxq=0 的二根为x1 ,X2x1 +x2=p ,xj2=q- x1 >1 , p +q > 4x +x2 +x1x2 f 3 . x2 +x1x2 T；3-x1 Y2. . x2(x1 +1 )2x1 +1 >2x2 Y1归纳：本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x1 , x2是方程x2 +px-q = 0的两根时， x1 +x2 =p , x1x2 =-q ._ 311、已知£是方程x2 +x3 =0的一个根，则 “3 一1的值为 .4答案：5考

16、点：因式分解的应用。专题：整体思想。分析：根据已知条件可得到 a2 +a - =0 ,即a2 +a =-然后整体代入代数式求值计算即44可。1 .一一11D 1解答：:支是方程x +x=0的一个根. . a +口 一一 =0 ,即ot +豆=一444二5:.-1 ：工2 一二 -1 :工2，1:, 1 : -1 i(点评：这里注意把要求的代数式进行局部因式分解，根据已知条件，整体代值计算。12、若 3x2 -x =1 ,则 9x4 +12x3 -2x2 -7x +2008 =()A 2011B 2010C 2009口 2008答案：B考点：因式分解的应用.专题：计算题；整体思想. 22432分

17、析：将3x -x=1化简为3x x1=0,整体代入9x +12x -2x 7x+2008变形的式子3x2 Bx2 -x -1 )+5x(3x2 -x -1 1+2fex2 -x -1 )+2010 ,计算即可求角军.解答：3x2 -x =1 ,即 3x2 -x -1 =0.1. 9x4 + 12x3 -2x2 -7x +2008=3x2 3x2 _x _1 5x3x2 -x -1 2 3x2 _x_1 2010 =2010归纳：本题考查因式分解的运用，注意运用整体代入法求解。13、方程 J3x +2 _j3x _2 =2 的解为 .,2答案：-3考点：利用方程的同解原理解答。专题：计算题。解答

18、：,3x - 2 - ,.3x -2 =2两边同时平方得：3x 2 3x -2 -2. 9x2 4 =42整理得：J9x24=3x2再平方得：12x=-8解得：x =3归纳：本题考查将无理方程通过平方的方式转化为有理方程解答。22.2214、已知2x 6x+y =0,则x +y +2x的最大值是()A、14R 15C 16口 18答案：B考点：完全平方公式。分析：由2x2 -6x +y2 =0得y2 =2x2十6x代入x2 + y2 +2x ,通过二次函数的最值，求出它的最大值。解答：2x2 -6x +y2 =0 化为 y2 =-2x2 +6x , 0 < y < , 0 MxM3

19、故 x2 + y2 +2x = 8xx22二次函数开口向下，当 x =4时表达式取得最大值由于0 MxM3所以x=3时此时y=0 ,表达式取得最大值：15点评：本题是中档题，考查曲线与方程的关系，直接利用圆锥曲线解答比较麻烦，利用转化思想使本题的解答比较简洁，注意二次函数闭区间是的最大值的求法。15、方程x2 2|x| 笠=m恰有3个实根，则 m=()A 1B 1.5C 2口 2.5答案：C考点：解一元二次方程-公式法；绝对值；一元二次方程的解。专题：解题方法。分析：因为方程中带有绝对值符号，所以讨论方程的根分两种情况：当 x0时，原方程为x2 -2x +2 =m ；当 xf0 时，原方程为

20、x2 +2x +2 = m .x2 - 2x 2 - m = 0解答：当x之0时，原方程为：x2 -2x+2=m，化为一般形式为:. .2 二4m -4用求根公式得： x = =1二m -12当xY0时，原方程为：x2 +2x+2 =m，化为一般形式为：x2+2x + 2 m=0用求根公式得：x = * .4m-4 = _im2.方程的根恰为3个，而当m = 2时，方程的3个根分别是x=2, x2 =0 , x3 = 2 .归纳：本题考查未知数的取值范围，以确定字母系数m的值。16、方程x2十3x 色 =9的全体实数根之积为（）x 3x - 7A、60R -60C 10D -10答案：A考点：

21、换元法解分式方程。专题：换元法。23分析：设x2 +3x 7 = y ,原万程化成y =2 ,再整理成整式方程求解即可。 y23 一2. 一斛答：设 x +3x 7 = y ,则 y =2. y 2y 3 = 0 ,斛得 y1 = 1 , y2 = 3y，2“ 3-3 <-'33当y1 ="时，x +3x -7 = ,解得x =2当V2 =3时，x2 +3x 7=3,解得x=2或七-3 、33-3 - .33. . - - 2-5 =60归纳：本题考查了用换元法解分式方程，解次题的关键是把x2 +3x-7看成一个整体来计算，即换元法思想。217、关于x的一兀二次万程 2

22、x 5xa=0 （a为常数）的两根之比 ” : x2 =2:3 ,则x2 % =（）1 3A、1B 2G -D 32 2答案：C考点：一元二次方程根与系数的关系及求解。解答：设2x2 5x a =0的两根分另1J为2k, 3k,由根与系数的关系得：5a2k +3k =2 , 2kM3k = 221225241k =- , a = -3. . x2 -x1 =4仅2 +2 J -4x1x2-=-归纳：本题考查了用根与系数的关系解决问题，关键是利用公式巧妙变形。18、已知是a、P方程x2 +x1 =0的两个实根，则 a432=.答案：5考点：根与系数的关系；代数式求值；完全平方公式。专题：计算题。

23、分析：由方程的根的定义，可知 a1 .综上可知当a=0时，原方程有一个解，x =- , a=一时，x = -2 . 2归纳：本题考查了解分式方程。注意：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能 产生增根，分式方程只有一个解，可能足转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的 整式方程有两个解，而其中一个是原方 24-x2-1,_ ,20、已知二次函数f (x尸ax2 +bx +c(a =0)满足f (-1 )=0且x< f(x A工一对一切实数恒成立，求f (x尸ax2 +bx +c(a =0 )的解析式。考点：函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质。专题：

24、综合题。一 一. .1 +1 , ，分析：取x=1,由1Ef(1)E，能够求出 "1)=1的值；由f (1)=0,知解 +a -1 =0 ,移项，得a2 =1 -CK.,两边平方，整理得 a2 =2 -3a；由一元二次方程根与系数的关系，可知口十P = 1；将两式分别代入a4 -3P ,即可求出其值。解答：a 是方程 x2 +x -1 =0 的根1- a2 +a -1 =02.42a =1 -aa =1 -2a=1 -2a +(1 -a )=2 -3ot又 a、P方程x2+x -1 =0的两个实根:.a 十 P =_1 :. a4 3P =2 -3a -3? =2 3© +

25、P )=2-3父(_1 )=5归纳：本题主要考查了方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系。难度中等。关键是 利用方程根的定义及完全平方公式将所求代数式降次，再结合根与系数的关系求解。19、若关于x的方程 乌-+ax±1只有一解，求a的值。x-1 x -x x1答案：a =0或a =2考点：解分式方程。分析：先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出a的值。解答：原方程化为ax2 +(2-3a x-1 =0(1)当a=0时，原方程有一个解，x=-2(2)当a#0时，方程 A=5a2 +4(a 12 >

26、0 ,总有两个不同的实数根，由题意知必有一个1根是原方程的增根，从原方程知增根只能是0或1,显然0不是的根，故x=1 ,得a=12所以a +c =b =1 ,由x E f (x),对一切实数恒成立， 知ax2 +bx +c >x ,即ax2 +(b -1 x +c之0对一切实数恒成立，由此能求出f(x)的表达式。解答：解:(1) ,二次函数 f(x 尸 ax2x2 -1+ bx+c(a ¥0，两足 f (一1 )=0且 x E f (x -1 1一.取 x=1 ,得 1 < f (1 )<-所以 f(1)=1a bc=11彳a +c =b =一a -bc=02- x

27、 < f (x ),对一切实数恒成立ax2 +(b -1 x + c至0对一切实数恒成立ac 1ac 16a >0b =Q -1 2 4ac <0一 1 一 a A0 , ac > > 016f x = x24111一 =a +c之2jac之2 当且仅当a =c =一时，等式成立2, 164点评：本题考查二次函数的性质的综合应用，考查函数解析式的求法，解题时要认真审题, 仔细解答，注意函数恒成立条件的灵活运用。21、已知 f(x 尸ax2 +bx+c(a¥0).(1)对任意x1 , x2 ,当X &2有f(X(设2 ), 求证：f (x尸f(x1

28、)；“x2)两个不相等的实根且有一根在(x1 , x2)内。(2)若 f (x )= f")； f 仅2，在(x，x2)内有一根为 m 且 x +x2 =2m-1 .若 f(x)=0的对称轴为x=x° .求证：xc m2.考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；二次函数的性质；等差数列的性质.专题：计算题；转化思想.分析：(1)通过计算一元二次方程的判别式大于0,可得方程有两个不相等的实数根；设方程对应的函数为g(x )由g(x g公尸0,可得方程有一个根属于( X, x2).(2)由题 意可得 f (m 尸 f 仪1)tlxj ,即 a(2m2 x； x； )+b(2m

29、 -x1 -x2 )=0 ,由于 2,二八,以 222、 b2m2 -(x12 +x2 )2 x； + x2、十/口,上x1 4x? =2m -1 ,故 b = -a(2m x1 x2),由 x0 = - =m 证得结2a22论。解答： 证明：(1) : f 0 尸 f"1 . f 仅2 ) f (x )=ax2 +bx+c ='(ax；+bxi 十c +ax2+bx2 + c)整理得：2ax2 2bx - a x12 x2 - b x1 x2 =0A =4b2 +8a b(x； +x； )+b(x1 +x2 )1=2 2ax1 +b 2 +(2ax2 +b 2 x1 t；x

30、22axi +b02ax2 +b a故方程有两个不相等的实数根令 g(x )= f (x )一 "x1，； f2)则 g(xi g(x2 )=； f (xi ) f (x2 ,又 f(x 产 fg )则 g(x g°2 尸o故方程 f (x )= f M J f (x2 )有一根在(xi , x2)内。2(2)二,方程 f (x)= f(x1 ； f"2 ,在(xi , x2)内有一根为 ma 2m2 - xi2 - x2 ib 2m - xi -x2 =0，f m =fx12fx2xi +x2 =2m -i/. b =-a(2m2 -x2 -x2 )故 xo =

31、-2a222222m Tx ，x22 xi ，x22二 m m点评：本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，等差数列的性质,体现了转化的数学思想。一元二次方程成都四中考试真题、若 x =i ,则 x3 3-的值为()xxA、3B、4C、5D、6答案：4考点：因式分解的应用。专题：整体思想。解答：-.1 x - =ix3 口x 一工；x2 +i +2xX(x - I +3L4xx3 I x 人x2J V x.l xj 归纳：本题关键是将x-l=i作为整体，然后将 x3 -；进行因式分解变形解答。 xx2、已知实数a、P满足a2 +3a 1=0 , P2 -33 -i =0 ,且

32、aP #i ,则十3P的值为( )A i答案：DB、3G -3WORD 2解析：由 P2301=0 得：1_3父/；=0,即 2=1二，!=P3 : :2 :11 .。1 ,即口#F，把ot和口作为一兀一次方程 x +3x-1 =0的两根,口+春=当，*i 即0P: N 3二 3 ' J2 31 2 31 3i 1=1 9 =10 otPPP J归纳：本题是通过构造一元二次方程的两根，利用根与系数的关系解决问题。3、实数x、y满足方程x2 +2y2 2xy+x 3y+1 =0 ,贝U y最大值为（）A、-B、3C > -D、不存在224答案：B考点：根的判别式。专题：计算题；转化

33、思想。分析：先把方程变形为关于 x的一元二次方程 x2 +（1-2y卜+2y2-3y+1 =0 ,由于此方程 有解，所以之0,这样得到y的不等式4y2 -8y+3<0,解此不等式，得到 y的取值范围，然 后找到最大值。解答：把 x2 +2y2 2xy+x3y+1 =0 看作为关于 x 的 x2 +（12y x + 2y2 _3y+1 = 0 ,并 且此方程有解，所以 之0,即（12y 7 4（2y2 3y+1）之0 4y2 -8y +3 <0 , （2y-3 jj2y-1 ）<013 一 .一 ,，一 31 <y <3故y的最大值是-2 22点评：本题考查了一元二

34、次方程 ax2+bx+c=0 （a¥0, a, b, c为常数）根的判别式。当 A。，方程有两个不相等的实数根；当 A=0 ,方程有两个相等的实数根；当 AY。，方程没有 实数根。同时考查了转化思想的运用和一元二次不等式的解。、，一224、万程2x -x =一的正根的个数为（）xA 3个B、2个C 1个D 0个答案：D考点：二次函数的图象；反比例函数的图象。分析：此题实质是求函数 y1 =2x-x2和函数y2 =2的图象在一、四象限有没有交点，根据 x两个已知函数的图象的交点情况，直接判断。2 一 .2解答：设函数y1 =2xx ,函数y2 =-x:函数y1 =2xx2的图象在一、三

35、、四象限，开口向下，顶点坐标为（1, 1）,对称轴x = 1学习指导参考WORD格式整理版函数y2 =2的图象在一、三象限；而两函数在第一象限没有交点，交点在第三象限 x22即万程2x _x =的正根的个数为 0个。x归纳：此题用函数知识解答比较容易，主要涉及二次函数和反比例函数图象的有关性质，同学们应该熟记且灵活掌握。5、方程（x2 +x 1，* =1的所有整数解的个数是（）A 2R 3C 4D 5答案：C考点：零指数募。专题：分类讨论。分析：方程的右边是1,有三种可能，需要分类讨论。第 1种可能：指数为0,底数不为0;第2种可能：底数为1;第3种可能：底数为 _1 ,指数为偶数。解答：（1

36、）当 x+3=0, x2 +x 1#。时，解得 x=-3; （2）当 x2+x1=1 时，解得 x = 2或1; （3）当x2 +x 1=1 , x+3为偶数时，解得 x=1因而原方程所有整数解是 7, -2,1, -1共4个。点评：本题考查了： a0 =1 （a是不为0的任意数）以及1的任何次方都等于1。本题容易遗漏第3种可能情况而导致误选 B,需特别注意。2 26、关于x的方程ax +bx+c =0的两根分另1J为 一3和1,则方程bx +cx + a = 0的两根为（）A、一1 和 1R 1 和 1C 1 和-1口 -和一13 232答案：B考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程

37、的解.分析：因为方程的两个根为 -3和1,所以方程可以方程因式为 a（x+3x-1）=0,用含a的式子表示b和c,代入后面的方程可以用因式分解求出方程的根。解答：ax2 +bx+c=0的两根为 一3和 1a（x+ 3jx-1 ）=0整理得：ax2 +2ax -3a =0. . b =2a , c=-3a22把 b, c 代入方程 bx +cx+a=0,得：2ax -3ax+a=0a 2x -1 x -1 =0- x1 =- , x2 =12归纳：本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把方程的两根代入方程，整理后用含a的式子表示b和c,然后把b, c代入后面的方程，用因式分解法可以求出方程的根

38、。7、实数x、y满足x _11解答：. m +m2009 =0, -2 -2009=0n n +xy +y2 =2 ,记u =x2 -xy + y2 ,则u的取值范围是().22A _ _u <6R _u <2C 1 < u < 6D、1 < u < 233答案：A考点：完全平方公式。专题：综合题。分析：把原式的xy变为2xy xy ,根据完全平方公式特点化简，然后由完全平方式恒大于等于0,得到xy的范围；再把原式中的 xy变为Nxy+3xy,同理得到xy的另一个范围，求出两范 围的公共部分，然后利用不等式的基本性质求出2_2xy的范围，最后利用已知x2+x

39、y + y2=2表示出x2 +y2 ,代入到u中得到u=2-2xy, 2-2xy的范围即为u的范围。解答：由 x2 +xy +y2 =2 得:x2 +2xy + y2 -2 -xy =0 即(x + y j = 2 + xy 至0 ,则 xy 一2由 x2 +xy +y2 =2 得：x2 -2xy +y2 -2 +3xy =0222即(x y ) =2 -3xy >0 ,则 xy <-2 <xy <3 34，不等式两边同时乘以 -2得：4>-2xy > 34 一 一 2两边同时加上 2 得：4 +2 >2 -2xy > - +2 ,即一M22xy

40、M6 33222222- x +xy+y =2. x +y =2xy.u=x xy + y =22xy则u的取值范围是-<u <63点评：此题考查了完全平方公式，以及不等式的基本性质，解题时技巧性比较强，对已知的 式子进行了三次恒等变形，前两次利用拆项法拼凑完全平方式，最后一次变形后整体代入确定出 u关于xy的式子，从而求出u的范围。要求学生熟练掌握完全平方公式的结构特点：两数的平方和加上或减去它们乘积的 2倍等于两数和或差的平方.211一 18、已知头数 m n 满足 m +m-2009 =0 , 2-一一2009 =0(mn #1 ),则-n=. n nm考点：一元二次方程根与

41、系数的关系。分析：根据题意：由 m2 +m2009 =0得：2009|十工1 =0 ;由口 12009 = 0得： m mn n2009( nf +(n )-1 =0 ,又因为 mn#1 ,即 1#n ,因此可以把 ,-n作为一元二次方程 mm2112009x +x1 =0的两根，由根与系数的关系得：n=-.m 200920091 =0, m2_2009 -n-n -10. 1- mn # -1 # -nm.二把,-n作为一元二次方程2009x2 +x 1 =0 的两根 n =+(-n )=-mm m2009归纳：本题考查的是用构造一元二次方程，利用根与系数的关系解答问题，本题的关键是利用已知

42、进行变形是关键所在，不要忽视了mn#1这个条件隐含的题意。9、已知方程x2 +(2k+1x+k2 2=0的两实根的平方和等于11, k的取值是(A、-3 或 1答案: 学习指导参考WORD格式整理版b的值。考点:根与系数的关系；解二次方程-因式分解法；根的判别式。:由题意设方程 x2+(2k+1X +k2 -2 =0 两根为 ,x2,得x1+x2 = -(2k+1),2 x*2 =k-2,然后再根据两实根的平方和等于11,从而解出k值。解答:得X1设方程 x2 +(2k +1 x +k2 -2 =0 两根为 x1 , x2+x2 =-(2k +1 ) x1x2=k2 - 2, =(2k +1

43、f4(k2 -2 )=4k+9 > 0 k4222x1 +x2 =11(x1 +x2 ) -2x1x2 =11. . (2k +1 2 -2(k2 2)=11解得 k=1 或 T.k -94归纳：此题应用二次方程根与系数的关系解题，利用两根的和与两根的积表示两根的平方和，把求未知系数的问题转化为解方程的问题。10、设a, b是整数，方程x2 +ax + b=0有一个实数根是7 - 44r3 ,则a+b =考点:二次方程的解；二次根式的化简求值。专题：方程思想。分析：一个根、-4石=2-73代入方程，得到a,b等式，再由a, b是整数，可以求出 a,b的值。解答：v'7 -4;3

44、=2 -<3 ,把2 V3代入方程有:7-4.32 - . 3 a b =07 2a b 广4 -a .3 =0. a, b是整数7 2a b =04 -a =0a - -4b =1归纳：本题考查的是二次方程的解,把方程的解代入方程， 由a, b是整数就可以求出 a,11、已知函数y =x2 +(b _1 x+c , (b, c为常数)，这个函数的图象与x轴交于两个不同的两点 A ( x1 , 0)和 B ( x2 , 0)且满足 x2 _x1 M1.(1)求证：b _ 2 b 2c(2)若t Yxi ,试比较t2 +bt +c与xi的大小，并加以证明。考点：抛物线与x轴的交点。专题：证

45、明题；探究型。分析：(1)首先利用求根公式求出 x的值，再由x2 -x1 »1求解； 2(2)已知 x +(b 1 x +c =(x -x1 jx -x2 旗出(t x * -x2 +1).根据 Lx1 推出答案。解答：证明：(1) ;令y =x2 +Q -1 x +c中y = 0得到x2十(b 1尸+c = 02_ 一 b _1 丁 b lb -1 ).一竺 x , 2又 x2 x1 A1，(b1 2 4c >1b2 -2b +1 -4c1b >2(b +2c )(2)由已知x2 +bx+c = (x-x1gx-x2 )+x. 2t bt c = t - x1 t -x

46、21T2 t btc - x1 =t - x1t-x2rt-x1 = t - x1t-x21t Y%t -x1 V0x2 -x1 >1/. t -c；x1 Yx2 -1t -x2 +1 Y0.(t x1gt x2 +1 )>0即 t2 +bt +c>"x1归纳：综合考查了二次函数的求根公式、用函数的观点看不等式等知识。12、已知关于 x的方程(a +2x2 -2ax +a =0有两个不相等的实数根 x1和x2,并且抛物线 y =x2 (2a +1 x+2a 5与x轴的两个交点分别位于点(2, 0)的两旁。(1)求实数a的取值范围；(2)当|x +x2 =2及时，求a

47、的值。考点：抛物线与x轴的交点；根与系数的关系。分析：(1)由一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别式求出 a的取值范围。设抛物线y =x2 -(2a +1 x +2a -5与x轴的两个交点的坐标分别为( a , 0)、( P , 0),且a Y p ,3、P是x2 (2a+1 x+2a 5=0的两个不相等的实数根，再利用x2 (2a+1 k+2a 5 = 0的根的判别式求a的取值范围，又二抛物线y =x2 -(2a +1 + 2a -5与x轴的两个交点分别位于点 (2,0) 的两旁，利用根与系数的关系确定；(2)把代数式变形后，利用根与系数的关系求出a的值。解答：解：(1)二.关于x的方程

48、(a+2 x2 -2ax+a=0有两个不相等的实数根%+2#0'Q=(_2a 2 _4a(a +2广0解得：a、0 ,且a¥-2设抛物线y =x2 (2a +1 x+2a 5与x轴的两个交点的坐标分别为 (a ,0)、( p ,0),且o( Yp小、 P是x2 (2a +1 x +2a 5=0的两个不相等的实数根 = L(2a + 1 J _4x1 x(2a _5)=(2a1 j +21 >0，a为任意实数由根与系数关系得：c( +P =2a +1 , aP =2a -5抛物线y=x2 (2a+1 x+2a 5与x轴的两个交点分别位于点(2, 0)的两旁口2, p>2 . .WZqP2 尸0. . oP -2依+p )+4Y03 2a -5 -2(2a +1 )+40解得：a>33由、得a的取值范围是3faY022(2) ”和x2是关于x的方程0+2卜2ax + a=0的两个不相等的实数根2aax1 +x2 =, x1x2 =a 2a 23aYaY0.2+2 A0x1x2 =Y。2a 2不妨设 x1 A0 , x2 F0x1| + x2 =x1 -x2 =2J2x12 -2x1x2 +x2 =8 ,即(x1 +x2 2 -4x1 x2 =82 2a :