北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试：导数及其应用

1、精诚凝聚 =A_A=成就梦想 鑼点亮心灯 /(AvA) 照亮人生.鑼 3.若函数f（x）=3x-x3在区间（a2-12,a）上有最小值，则实数 a的取值范围是（） 【答案】C 4.已知函数f（x） =-X3 ax2 -x-1在（一口 ：）上是单调函数，则实数的取值范围是（ A. (-：,- 3 3, ：) B. - 3, 3 C. (-：，- 3) ( 3, ：) D. (- 3, 3) 【答案】B /W = +-H+tan& 氐【，百 5 设函数 二 ，其中 ，则导数 的取值范围 是（ ） A. -2,2 B.庞曲 C.点 2 D. 72,2 【答案】D a 1 6.对正整数n,设曲线y=x

2、n（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为 an,则数列 f Ln + 1J 的前n项和的公式是（） n n n 1 nV A. 2 B. 22 C. 2 D. 2 - 2 答案：D北大附中 2013 届高三数学一轮复习单元综合测试：导数及其应用 本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分满分 150 分考试时间 120 分钟. 第I卷（选择题共 60 分） 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给岀的四个选项中，只有 一、选择题（本大题共 一项是符合题目要求的） sin x 1 .曲线 v= 一 sin x+ cosx 2 1 一 2 一上 2 【答案】B A.

3、C. 2已知 f（X）二 X A. -2 【答案】B 1在点 M ；4，0）处的切线的斜率为（ B. 1 2 3xf (1)，则 f (1)为 B. -1 C. 0 D. 1 A. (-1, 11) B . (1,4精诚凝聚 =A_A=成就梦想 鑼点亮心灯 /(AvA) 照亮人生.鑼 2 f(x)= ax +bx+c(a,b,cwR )，若 _i 为函数 图象不可能为y =f x的图象是( ) 【答案】D 8.若对任意 x R, f(X)=4xf(1)=-1 ，则 f(x)是 ( A. f(X)= X4 B. f(X)= X4 - 2 3 4 C. f(x) =4x -5 D. f(x)=x

4、2 【答案】B 3 9函数f(x)二x3ax b(a 0)的极大值为 6,极小值为 2,则f (x)的减区间是( ) 【答案】D 1 3 y(单位：万兀)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为 y= gx + 81x 234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为 ( ) A. 13 万件 B. 11 万件 C. 9 万件 D. 7 万件 【答案】C 12已知二次函数 f (X)的图象如下图所示，则其导函数 7 设函数 的一个极值点，则下列 A. (-1 , 1) B. (0 , 1) 【答案】A 10.函数y = f (x)在一点的导数值为 A.充分条件 B.必要条件 C. (-1 , 0

5、) D. (-2 , -1 ) 0是函数y = f (x)在这点取极值的( ) C.充要条件 D.必要非充分条件 11已知某生产厂家的年利润 f (X)的图象的大致形状是( D 精诚凝聚 =A_A=成就梦想 鑼点亮心灯 /(AvA) 照亮人生.鑼 第n卷（非选择题共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上 ） 13某日中午12时整，甲船自 A处以16km/h的速度向正东行驶，乙船自 A的正北18km处以 16km/h的速度向正南行驶，则当日 12时30分时两船之间距离对时间的变化率是 【答案】-1.6 14设P为曲线 C: y =

6、x2 x+ 1 上一点，曲线 C在点P处的切线的斜率的范围是 1,3，则点P 纵坐标的取值范围是 _ -3 1 【答案】4, 3 1 15已知函数y = f（x）=x3 px2 qx的图象与x轴切于非原点的一点，且 y极小-4，那么 p ，q = - 【答案】6, 9 16若函数f（x）=ax Xa （a0 且 a = 1）有两个零点，则实数 a 的取值范围是 . 【答案】（1, ：）精诚凝聚 =A_A=成就梦想 鑼点亮心灯 /(AvA) 照亮人生.鑼 三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤 ) (1 )求函数f X的单调区间和值域. (2 )设

7、 a _1，函数 g x “X2-3a2x-2a , x：=0,ll,若对于任意 x0,1总存在 x0 ：= 0,11使g x0 = f x1成立，求实数 a的取值范围 g x在 【0,1上是减函数.值域为3a22a,2a! 由题意使 f x-!二 g x0 需丨-4,-3 二 1-3a2-2a,2a 18已知函数f x是定义在实数集 R 上的奇函数，当 x 0 时，f x二ax In x,其中a R. (1 )已知函数f(x )的解析式；(2 )若函数f(x )在区间(-旳,一 1 )上是单调减函数，求 a 的取 值范围； (3 )试证明对-a R,存在,i1,e,使f/ = f e 一 f

8、 1 . e 1 【答案】(1) f (0) =0 x ：0时，f (x) - f( -x) =axTn(-x) ax +ln x,x A0 所以 f (x)=0, x =0 ax 1 n( -), x 0时，f(x)=ax+lnx, f(x)=a+2 x 1 1 1 由f x=a亠一 v0 得a v ，一在区间(1，)的取值范围为 -1,0 X X X17.已知函数 4x7 2 x X 0,1. 【答案】(1) f X二 -4x2 16x - 7 (2-x)2 0 X 0,11 .f x的增区间 ：,1 减区间 0： ：f()=-2,f 二-3, .f x 的值域 I -4,-31 2 (2

9、 ) g x =2x-3a a_1 g x ： 0 x 1.0,11 精诚凝聚 =A_A=成就梦想 鑼点亮心灯 /(AvA) 照亮人生.鑼 所以 a 的取值范围为 _：,_1 f e1 = qe 1 =a 1 e-1 e-1 e-1 1 1 解 二a a亠 - 得(11 分)，因为 1 v e 1 v e,所以 二e -1为所求. 匕 e1 19已知函数 f(x)二,g(x) =(2X)e . e e (i) 求函数f (x)的极值； (n)求证：当 x 1 时，f(x) . g(x); (皿) 如果 ： x2，且 f (xj = f (x2)，求证：f (人) f (2 - x2). 【答案

10、】(1)T f(X)=-，二 f x)=1xx ex ex 令 f (x) =0，解得 x =1 . x (严1) 1 (1,咼) (X) + 0 f(x) / 1 极大值- e 1 当x=1时，f(x)取得极大值f(1)=. e 证明：令 F(x)二 f(x) -g(x)二：-(2x)e ,则 e e 当 x 1 时，1 -x v0，2x 2,从而 e2 -e2x v0， F (x) 0， F (x)在(1,=)是增函数. 1 1 F(x) F(1) 0,故当x 1 时,f (x) g(x). e e 证明： f (x)在(-：,1)内是增函数，在(1二)内是减函数. 二当x= x2，且f(

11、x)=f(x2)时，x-i、x2不可能在同一单调区间内. -为：:1 ： x2， 由的结论知 x 1 时，F(x) = f(x)-g(x) 0，二 f (x2) g(x2).(3 ) F(x) = 1 -x ex(1-x) (1-x)(e2-e2x) 精诚凝聚 =A_A=成就梦想 鑼点亮心灯 /(AvA) 照亮人生.鑼 f (XI) =f(X2) , f (Xi) . g(X2) 又 g(X2)= f(2 -X2), f(xi) . f(2 -X2). 20.已知函数 f (x) =ln X 2a , a . R x (1 )若函数 f(x)在2, ：)上是增函数，求实数 a的取值范围; (2

12、 )若函数 f(x)在1，e上的最小值为 3,求实数a的值. 【答案】( f (x) =1 nx +竺 1 )T x , / (x)丄寻 x x / f(X)在2：)上是增函数, 厂(X)丄舉 2均一 彳2均一 g(x)= x x 0 在2， )上恒成立，即a 2在2， )上恒成立.令 2 , 则 a Jg(x)min，x 2 =) x g(X)2 在2,=)上是增函数，. Ig(X)Lin =g 所以实数a的(2 )由(1 )得 X , x 1，e 若2a 0， 即 3x 二 3x2+V 1 o - 在一 ,3 2 上恒成立. 4x 令 h(x)=业,x 4x 1 3X2+1 3 1 - 3，贝 U h(x)= - =x：,由基本不等式可得，当且 2 4x 4 4x 仅当 即 x= 4x 时 h(x)取得最小值，则 h(x)在区间1 ,3上的最小值是 2 h(33) =2， 精诚凝聚 =A_A=成就梦想 鑼点亮心灯 /(AvA) 照亮人生.鑼 即 x=0.012 时，y=1.44 ；由 1.44 = k (0.012)，得 k =10000 , 故 f (x) = 10000 x2 , 3 银行应支付的利息 g(x) =x，f(x) =10000 x , 2 3 设银行可获收益为 y，则y = 480 x - 10000 x , 由于 y =