2017-2018学年高中数学第四讲数学归纳法证明不等式达标检测新人教A版选修4-5

1、第四讲数学归纳法证明不等式达标检测时间：120 分钟满分：150 分一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的)_ _111i .用数学归纳法证明对任意x 0 和正整数n都有x+x2+x4+xnr+门+1”时，需要验证的使命题成立的最小正整数值n。应为()-1A.no= 1B.no= 2C.nc= 1,2D.以上答案均不正确1解析：当no= 1 时，x+-2成立，故选 A.X答案：A2.从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶，每步只能跨上 1 级或 2 级，走完这n级台阶共有f(n) 种走法，则下面的猜想正确的是()A.f(n)

2、=f(n 1) +f(n 2)(n3)B.f(n) = 2f(n 1)(n2)C.f(n) = 2f(n 1) 1(n2)D.f(n) =f(n 1)f(n 2)(n3)n,n= 1, 2,解析：分别取n= 1,2,3,4 尸验证，得f(n)=f n+f n ?,n3.答案：A3.设凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+ 1 边形的对角形的条数f(n+ 1)为()A.f(n) +n+ 1B.f(n) +nC.f(n) +n 1D.f(n) +n 2解析：凸n+1 边形的对角线的条数等于凸n边形的对角线的条数，加上多的那个点向其他点引的对角线的条数(n 2)条，再加上原来有一边成为对角线，共有f(

3、n) +n 1 条对角线，故选 C.答案：C4.用数学归纳法证明“n3+ (n+1)3+ (n+ 2)3,n 2 能被 9 整除”，利用归纳假设证n=k+1，只需展开()233A.(k+ 3)B.(k+ 2)C. (k+ 1)3D.(k+ 1)3+(k+ 2)3解析：n=k时，式子为k3+ (k+1)3+ (k+ 2)3,3333n=k+ 1 时，式子为(k+ 1) + (k+ 2) + (k+ 3),故只需展开(k+ 3)3.答案：A解析：由完全归纳法可知，只有当n的初始取值成立且由n=k成立能推得n=k+ 1 时也成5.F 列说法中正确的是(A. 若一个命题当n= 1,2 时为真，则此命题

4、为真命题B.若一个命题当n=k时成立且推得n=k+ 1 时也成立，则这个命题为真命题C.若一个命题当n= 1,2 时为真，则当n= 3 时这个命题也为真D.若一个命题当n= 1 时为真，n=k时为真能推得n=k+ 1 时亦为真，则此命题为真命题4立时，才可以证明结论正确，二者缺一不可.A, B, C 项均不全面.答案：D6.平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f(k)，则增加一条直线l后，它们的交点个数最多为()A.f(k) + 1B. f(k) +kC. f(k) +k+ 1D. kf(k)解析：第k+1 条直线与前k条直线都相交且有不同交点时，交点个数最多，此时应比原先增加k个交点.答案

5、：B7.用数学归纳法证明34n+1+ 52n+1(n N+)能被 8 整除时,=k+ 1 时命题成立，对于34(k+1)+1+ 5若n=k时，命题成立，欲证当A.B.C56X 34k+1+25(34k+1+52k+1)严+1)+1可变形为(25(34k+1+ 52k+1)解析：由 34(k+1)+1+ 52(k+1)+1= 81X34k+1+ 25X 52k+1+ 25X3D.4k+125X 34k+1=56X 34k+1+25(34k+1+52k+1).答案：A&数列刘的前n项和S=n2an(n 2),而a1= 1 通过计算a2,a3,a4,猜想an等于(4A.n+2B.2n n+1

6、1C.2n 1D.12n11 2解析：由a2=s- s=他-1得a2=3=药51 1 2由a3=sSa=9a34a2得a3=2a2=6=3x4.3122由a4=SS3= 16a4 9a3得a4=a3= = ，猜想an=5104x5nn+1答案：B+1，左边需要增加的代数式为()2k+ 1C.k+ 1解析：当n=k时左边的最后一项是 2k,n=k+1 时左边的最后一项是 2k+ 2,而左边各项都是连续的，所以n=k+ 1 时比n=k时左边少了 (k+ 1)，而多了答案：B10- 1114A.JD.7解析：由 2 018 = 4X504+ 2,而an= 4n是每一个下边不封闭的正方形左上顶点的数，

7、故应选 D.答案：D_2n4+n1 21 + 2+ 3+n= 厂，则当n=k+ 1 时左端应在n=k的基础上加上(A. k22B. (k+1)C.-2 2 2D. (k+ 1) + (k+ 2) + (k+ 1) 解析：当n=k时，左端=1 + 2 + 3 +k2,2 2 2 2当n=k+ 1 时，左端=1+ 2+3 + +k+ (k+ 1) + (k+ 2) + (k+ 1).故当n=k+ 1 时，左端应在n=k的基础上加上(k2+1) + (k2+ 2) + (k+ 1)2，故应选 D.答案：D9.用数学归纳法证明(n+ 1)(n+ 2) (+n) = 2x1x3x-x(2n1)(nNU)

8、时，从k到kA. 2k+ 1B.2(2k+ 1)D.2k+ 3k+1(2k+ 1) (2k+ 2).因此增加的代数式是?k+l2k+9- =2(2k+1).10把正整数按如图所示的规律排序，则从2 018 到 2 020 的箭头方向依次为( )C.f11用数学归纳法证明6k+14+k+1712若k棱柱有f(k)个对角面，则k+1 棱柱的对角面的个数为()B.f(k) +k 1D.f(k) + 2解析：如图所示是k+1 棱柱的一个横截面，显然从k棱柱到k+1 棱柱，增 加了从A+1发出的对角线 k 2 条，即相应对角面 k 2 个，以及 AA 棱变为对 角线(变为相应的对角面).故f(k+ 1)

9、 =f(k) + (k 2) + 1 =f(k) +k 1.答案：B二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中的横线上)、1 1 1 1 / 1 1 1、13.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1 -+ - 4+n+7=n+2 +n+4+!C j时，若已假设n=k(k2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证式成立.解析：n=k为偶数，.下一个偶数为n=k+ 2答案：k+ 214._ 在数列刘中，a1= 1，且S,S+ 1,2S 成等差数列，则Sa,S3,S4分别为_ ，猜想$ =- .解析：S= 1,2Sn+1=Sn+ 2S.当n= 1 时,152S=S3+

10、 2,S=815.设f(n)= H + +n+i1+,用数学归纳法证明f(n) 3.在“假设n=k时成立”后，f(k+ 1)与f(k)的关系是f(k+ 1) =f(k) _ .A. 2f(k)C. f(k) +k当n= 2 时,2S3=$+2,S3=4 ；当n= 3 时,8解析：当n=k时，f(k)=1+k1+k+71+k+k； 当n=k+ 1 时，f(k+ 1)=1+黑1+kT21+2kT2，所以应乘1+為1+2k2 占.答案：1+2k+i1+2k+2-k+i16.有以下四个命题：n(1) 2 2n+1(n3).2(2) 2 + 4+ 6+-+ 2n=n+n+2(n1).凸n边形内角和为f(

11、n) = (n- 1)n(n3).n n-?凸n边形对角线条数f(n) =(n4).其中满足假设n=k(kN+,kno)时命题成立，则当n=k+1 时命题也成立.”但不满足 “当n=no(no是题中给定的n的初始值)时命题成立”的命题序号是 _ .解析：当n取第一个值时经验证(2) , (3) , (4)均不成立，(1)不符合题意，对于(4)假设n=k(kN+,kno)时命题成立，则当n=k+ 1 时命题不成立.所以 (3)正确.答案：(3)三、解答题(本大题共有 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12 分)用数学归纳法证明对于整数n0,An= 11n+2

12、+122n+1能被 133 整除.证明：当n= 0 时，Ao= 112+ 12= 133 能被 133 整除.假设n=k时，A= 11k+2+ 122k+1能被 133 整除.当n=k+ 1 时，k+32k+3k+222k+1A+1= 11+12= 11 11+12 12k+22k+122k+1=11 11 + 11 12 + (12 11) 12 .k+22k+12k+1=11 (11+ 12) + 133 12. n= k + 1 时，命题也成立.根据(1)(2)，对于任意整数n0,命题都成立.Xn1118.(12 分)设Xn是由X1= 2,Xn+1= +(nN+)定义的数列，求证：Xn

13、2 + .2XnY n证明：(1)当n= 1 时，X1= 2 2+ 1,不等式成立.1Xk1假设当n=k(k1)时，不等式成立，即Xk 2 +1 那么，当n=k+ 1 时，Xk+1= +_.k2Xk9由归纳假设，Xk 2+右则 2+2?1011门12Xk+1=X2k+丄+2k+= 2 +2 +2Xk2 2k22k，k+ 11当n=k+ 1 时，不等式xnj2+石成立.1综上，得Xn2,k N+)时等式成立，即 tana tan 2a +tan2a tan 3a +tan(k1)a tanka19. (12 分)证明：tana tan 2a +tan 2a tan 3a+ tan(n 1)a t

14、annatannan(n2,nN).证明：当n= 2 时，左边=tan亠， tan 2a2tana右边=iar- 2=蔦1tanr221tan2a2a tan 2a ,当nk+ 1 时，tana tan 2a +tan 一2a tan 3a +tan(k1)a tanka +tanka tan(k+ 1)a=tana tan 2a=左边，等式成立.tanka硏丁k.tankatana1tana11tan k +1tanaa-(k+ 1),所以当nk+ 1 时，等式也成立.由(1)和知，当n2,nN+时等式恒成立.1tomta n(k+ 1)a tana k1220. (12 分)数列an满足

15、S= 2nan(n N).(1) 计算ai,a2,a3,a4，并由此猜想通项公式an；(2) 用数学归纳法证明(1)中的猜想.解析：(1)当n= 1 时，ai=S= 2ai,二ai= 1.3a1+a2=S2= 2x2a2,.a2=7a1+a2+a3= S=2x3a3,a3 = .4当n= 4 时，a1+a2+a3+ su = S = 2x4 a4,15a4.482 1由此猜想an= ?n-1(n N+).证明：当n= 1 时，a1= 1,结论成立.那么n=k+ 1(k1且kN+)时,ak+1=Sk+1Sk= 2(k+ 1) ak+1 2k+ak= 2+akak+1.这表明n=k+ 1 时，结论

16、成立, 所以an=寻丁(n N).21.(13 分)在平面内有n条直线，每两条直线都相交，任何三条直线不共点，求证：这则当n=k+ 1 时，即增加一条直线I,因为任何两条直线都相交， 所以I与k条直线都相交， 有k个交点；又因为任何三条直线不共点，所以这k个交点不同于k条直线的交点，且k个交点也互不相同，如此k个交点把直线I分成k+1 段，每一段把它所在的平面区域分为两部分，故新增加了k+ 1 个平面部分.当n= 2 时,当n= 3 时,假设n=k(kl且k N*)时，结论成立，即Tk 2ak+1= 2 +ak,a 1)时命题成立，即k条直线把平面分成f(k)=k2+k+ 22个部分.k2+k+ 222k+k+ 2 + 2k+ 2213所以f(k+ 1) =f(k) +k+ 1142k+k+22所以当n=k+ 1 时命题也成立.由(2)可知当nN+时，命题成立,XnX2+22.(13 分)设xi0,XiM1,且xn+i=2十 ,n N+.用数学归纳法证明：如果3Xn十 1则XnXn+1.证明：用数学归纳法证明:即平面上通过同一点的n条直线分平面为2小n+n+ 22个部分.如果 0X11, 则 0Xn1.(1)n=