北京市西城区2016届高三数学二模试卷文(含解析)

1、2016 年北京市西城区高考数学二模试卷（文科）一.选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.1 .设全集 U=R 集合 A=x|x 0 , B=x|xv1，则集合（？UA）QB=（,+m）A.(-s,0)B.(-s,0C.(1,+s)D. 12.下列函数中，既是奇函数又在 R 上单调递减的是()A. y B . y=e- xC. y= - x3D . y=l nxX3.设 x,y 满足约束条件-1，则 z=x+3y 的最大值是（y+l0Ci4.执行如图所示的程序框图，如果输出的S=，那么判断框内应填入的条件是（15TO!i=

2、2tS = l否A. iv3 B.iv4 C.iv5 D.iv65.在厶ABC中, 角 A，B，A.6.A.C.）B“ m n0”C是“曲线7.C 所对的边分另为 a, b, c,若 sin (A+B) =一, a=3, c=4.Dm（+ny2=1 为焦点在 x 轴上的椭圆”的（充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件某市家庭煤气的使用量 x（m）和煤气费（x）（元）满足关系（x）=则 sinA=C, 0 x卫2已知某家庭今年前三个月的煤气费如表月份用气量煤气费一月份4m34 元3二月份25m314 元P 三月份35m519 元若四月份该家庭使用了20 卅

3、的煤气，则其煤气费为()A.11.5 元 B. 11 元 C. 10.5 元 D. 10 元&设直线 I : 3x+4y+a=0，圆 C: (x - 2)2+y2=2，若在直线 I 上存在一点 M,使得过 M 的圆 C 的切线MP MQ( P, Q 为切点)满足/ PMQ=9，贝 U a 的取值范围是()A. - 18, 6B. 6 - 5 , 6+5二C. - 16, 4D. -6- 5 _,- 6+5 二C 的焦点在x轴上，渐近线方程为y= I J，则其离心率为若点(4, 2)在 C 上，则双曲线 C 的方程为厂，Z 0)的动直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，抛物 线 C 在

4、点 A 和点 B 处的切线相交于点 Q,直线 AQ BQ 与 x 轴分别相交于点 E, F.(I)写出抛物线 C 的焦点坐标和准线方程；(n)求证：点 Q 在直线 y= - m 上；19.已知函数 f (x)=x a(x+a)2BDG初申牛高中生5（川）判断是否存在点 P,使得四边形 PEQF 为矩形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在, 说明理由.62016 年北京市西城区高考数学二模试卷(文科)参考答案与试题解析一.选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.1. 设全集 U=R 集合 A=x|x 0 , B=x|xv1，则

5、集合(？识)门 B=()A.(-8,0)B.(-a,0C.(1,+8)D. 1,+8)【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】求出集合 A 的补集，从而求出其和 B 的交集即可.【解答】解：集合 A=x|x 0 ,；=x|xw0,/ B=x|xv1,(?uA)nB=x|xw0,故选：B.2.下列函数中，既是奇函数又在R 上单调递减的是()-x3A.y= B . y=e C. y= - x D. y=lnx【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断.【分析】根据反比例函数的单调性，奇函数图象的对称性，指数函数和对数函数的图象，以 及奇函数定义，减函数的定义便可判断每个选项的正误，从而找出正

6、确选项.【解答】 解：A.反比例函数， 在 R 上没有单调性，该选项错误；XB. ；-“一T ,图象不关于原点对称，不是奇函数，该选项错误；eC. y= - x3的定义域为 R,且-(-x)3=-( - x3);该函数为奇函数；x 增大时，x3增大，-x3减小，即 y 减小，该函数在 R 上单调递减；该选项正确；D. 对数函数 y=lnx 的图象不关于原点对称，不是奇函数，该选项错误. 故选 C.3 .设 x, y 满足约束条件* x 十泸 i 1,则 z=x+3y 的最大值是()y+l0A 1【考点】【分析】71B.C. - D . 133简单线性规划.作出不等式组对应的平面区域， 禾 U

7、用目标函数的几何意义， 进行求最值即可.【解答】解：由 z=x+3y 得药三一丄、丨三作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)7由图象可知当直线 y -丄门上经过点 A 时，直线 y -三汀丄的截距最大,A. iv3 Biv4 Civ5 Div6【考点】程序框图.【分析】根据程序框图，模拟运行过程，根据程序输出的S值，即可得出判断框内应填入的 条件.【解答】解：进行循环前 i=2 , S=1,计算 S=，应满足循环条件，i=3 ;执行循环后 S应满足循环条件，匸4;此时 z 也最大，y=2x代入目标函数 z=x+3y，得132充z= +3X=33 3，即A（一，）i=2tS=l故z=x+3y

8、的最大值为8执行循环后 S=，应满足循环条件，i=5 ;10执行循环后 S=K，应不满足条件循环条件，输出S=z1515故判断框内应填入的条件是iv5;故选：C.5.在厶 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,若 sin (A+B) = , a=3, c=4,则 sinA=?( )A.B.C.D.3446【考点】 正弦定理.【分析】由内角和定理及诱导公式知sin (A+B) =sinC= ，再利用正弦定理求解.【解答】 解： A+B+Cn,/ sin (A+B) =sinC=,3又Ta=3,c=4,a = csinA sinC si nA=,4故选 B.6.mon0”

9、是曲线ny2=1 为焦点在 x 轴上的椭圆”的()A.充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C.充分必要条件 D .既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】由m n 0”，知方程 mf+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”；由方程 mX+ ny2=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆”，知n m0”.所以m n0”是方程 mf+ny2=1 表示焦 点在 x 轴上的椭圆”的既不充分也不必要条件.【解答】 解：Tm n0” ?方程 mf+ ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”，方程 mX+ny2=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆”？n m0”， “m n0”是方程

10、 mf+ ny2=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆”的既不充分也不必要条件. 故选 D.已知某家庭今年前三个月的煤气费如表3sinA=一，37.某市家庭煤气的使用量x( m3)和煤气费 f( x)(元)满足关系9月份用气里煤气费一月份4m34 元二月份25m314 元P 三月份35nf19 元若四月份该家庭使用了20 卅的煤气，则其煤气费为()D. 10 元A. 11.5【考点】【分析】即可.【解答】将( 25,元B. 11 元 C. 10.5 元函数的值.根据待定系数法求出AB、C 的值，求出 f (x )的表达式，从而求出 f (20)的值解：由题意得：C=4,14) , ( 35 , 19

11、)代入 f (x)A=5=4+B( x - A),得:故 x=20 时:故选：A.f (20) =11.5 ,&设直线 I 的切线 MPA. - 18 , 6:3x+4y+a=0，圆 C: (x - 2)2+y2=2，若在直线 I 上存在一点MQ( P, Q 为切点)满足/ PMQ=9，贝 U a 的取值范围是(B. 6 - 5 占,6+恋C. - 16 , 4 D. - 6 - 5 占,-6+5 屈M,使得过 M 的圆 C)【考点】圆的切线方程.【分析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为 再由点到直线的距离公式得到关于a 的不等式求解【解答】解：圆 C: (x- 2)2+y2=2

12、,圆心为：(2 , 在直线 l 上存在一点 M 使得过 M 的圆 C 的切线C(2, 0)到直线 I 的距离小于或等于 2,0),半径为.-,MP MQ( P , Q 为切点)满足/ PMQ=9 ,在直线 l 上存在一点 M 使得 M 到 C (2 , 0)的距离等于 2 ,只需 C (2 , 0)到直线 l 的距离小于或等于 2 , j / NJ,|3X2+4X0+a|故一;-:.2 ,解得-16Wa 4 ,护+4,故选：C.二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9.已知复数 z= (2- i ) (1+i ),则在复平面内，z 对应点的坐标为(3 , 1).【考点】

13、复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数乙则在复平面内，z 对应点的坐标可求.【解答】解：z= ( 2- i ) (1+i) =3+i ,则在复平面内，z 对应点的坐标为：(3 , 1).故答案为：(3 , 1).101110.设平面向量,-满足 I |=| |=2 , ； ? （ + ） =7,则向量,.夹角的余弦值为 _【考点】平面向量数量积的运算.【分析】利用向量数量积的运算性质将? （ +）=7 展开得出卜=3，代入向量的夹角公式计算.【解答】解：T?（七一）|.;=7，即4- =7,-i =3，故答案为：厂11.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长

14、为3【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、判断出位置关系，由直观图求出该四棱锥最长棱的棱长.【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个直角梯形，AD 丄 AB AD/ BC, AD=AB=2 BC=1,PAL 底面 ABCD 且 PA=2该四棱锥最长棱的棱长为 PC=、fJ y:.二一.=3,正f主）视側（左）视1213【考点】函数零点的判定定理；函数的值.【分析】由分段函数可知f(-J - ，则ff=f()= 分段函数的图象，数形结合得答案.1 1【解答】解：由分段函数可知 f (-)=,二 2i丄-ff(：)=f()

15、 =Z二12设双曲线 C 的焦点在 x 轴上，渐近线方程为y=x，则其离心率为 _;若点(4, 2) 在 C 上，则双曲线 C 的方程为二双曲线的简单性质.根据双曲线渐近线和 a,【考点】【分析】待定系数法求入，即可得到结论.b 的关系建立方程进行求解即可求出离心率的大小，禾 U用【解答】解：双曲线C 的焦点在 x 轴上，渐近线方程为 y=：,则 e2=，则 e=,42以2设双曲线方程为-y2=入，入0,2若点(4, 2)在 C 上，.入=- 一 r _=8 4=4,2心即双曲线方程为2 y =4,故答案为：. 213.设函数 f (x)二“冗那么 ff(4)=_L；若函数 y=f(x)且只有

16、两个零点，则实数 k 的取值范围是-,+)画出14由 y=f (x) k=0, 得 f (x) =k.令 y=k 与 y=f (x),作出函数 y=k 与 y=f (x)的图象如图:由图可知，函数 y=f (x) k 有且只有两个零点，则实数故答案为：士；(_, +m).14.在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优，若 A 电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B 电影，则称A 电影不亚于 B 电影，已知共有 5 部微电影参展，如果某部电影不亚于其他4 部，就称此部电影为优秀影片，那么在这 5 部微电影中，最多可能有5 部优秀影片.

17、【考点】进行简单的合情推理.【分析】记这 5 部微电影为 Ai- A5,设这 5 部微电影为先退到两部电影的情形， 若 Ai的点播 量A 的点播量，且 A2 的专家评分A 的专家评分，则优秀影片最多可能有 2 部，以此类推 可知：这 5 部微电影中，优秀影片最多可能有 5 部.【解答】 解：记这 5 部微电影为 Ai As, 设这 5 部微电影为先退到两部电影的情形，若 A 的点播量A2的点播量，且 A2的专家评分A 的专家评分，则优秀影片最多可能有2 部；再考虑 3 部电影的情形，若 Ai的点播量A2的点播量A的点播量， 且 A3的专家评分A2的专家评分Ai的专家评分，则优秀影片最多可能有3

18、 部.以此类推可知：这 5 部微电影中，优秀影片最多可能有 5 部.故答案为：5.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤.i5.已知函数 f (x) = (i+ :-tanx ) cos2x.(I)求函数 f (x)的定义域和最小正周期；(n)当 x( 0, )时，求函数 f (x)的值域.【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法.【分析】(i)由二倍角公式和两角和的正弦公式对函数化简，利用周期公式求得函数的最小正周期.irk 的取值范围是15(2)根据x的范围确定2xv，的范围，进而利用正弦函数的性质求得函数的值域.【解答

19、】 解：(I)函数 f (x)的定义域为x|x +kn, k Z,/ f(x)=(1 + J：ta nx)cos2x=cos2x+J：sin xcosx,= cos2x+-sin2x+=sin (2x+)+ ,2 2 2 6 2 f (x)的最小正周期为 T=n.v2x+6 6H sin (2x+)6-f (x)( 0,16.已知数列an的前 n 项和 S 满足 4an-3Sn=2,其中 n N*.(I)求证：数列an为等比数列；(n)设 bn= an-4n,求数列bn的前 n 项和 Tn.2 (【考点】 数列的求和；等比数列的通项公式.【分析】(I)根据数列的递推关系利用作差法即可证明数列a

20、n成等比数列;(H)求出数列an的通项公式，利用累加法即可求出bn的通项公式.【解答】(I)证明：因为 4an-3Sn=2,所以当 n=1 时，4a1- 3Si =2，解得 a1=2;当 n2 时，4an-1- 3S-1=2，3 分由-，得 4an- 4an-1- 3 ( Sn- Sn-1) =0,所以 an=4an-1、)由 a1=2，得 an工 0,故an是首项为 2，公比为 4 的等比数列.n1(H)解：由(I)，得 an=2X4.则bn的前 n 项和 Tn= (4+41+4n-1)- 4 (1+2+3+ +n) = 一 - 4丨=- 2n21-423C1-2n-:.(fl)：x(0,一

21、),即当0,J时，求函数f(x)所以bpan-4n=4-4n,的值域为(0,.1617.如图，在周长为 8 的矩形 ABCD 中，E, F 分别为 BC, DA 的中点.将矩形 ABCD 沿着线段 EF 折起，使得/ DFA=60 设 G 为 AF 上一点，且满足 CF/平面01團2(I)求证：EF 丄 DG(n)求证：G 为线段 AF 的中点；(川)求线段 CG 长度的最小值.【考点】直线与平面平行的判定.【分析】(I)由 E, F 分别为 BC DA 的中点，可证 EF 丄 FD, EF 丄 FA 从而 EF 丄平面 DFA 即可得证EF 丄 DG(n)由 AB/ EF / CD 易证四边

22、形 ABCD 为平行四边形.连接 AC,设 ACH BD=O 则 AO=CO 又由 CF/平面 BDG 利用线面平行的性质可证CF/ OG 可证 0G 为中位线，即 G 为线段 AF的中点.(川)由已知可得 DFA 为等边三角形，且 DGL FA 又 EF 丄 DG 可得 DGL 平面 ABEF,设 BE的中点为 H,连接 GH CH 可得 CG=GH+CH ,设 DF=x,由题意得 CG= (4 - 2x)2+ (二 x)22-x2- 16x+16 ,利用二次函数的图象和性质即可得解线段CG 长度的最小值.【解答】(本小题满分 14 分)(I)证明：因为在折起前的矩形ABCD 中 , E,

23、F 分别为 BC DA 的中点，所以 EF 丄 FD, EF 丄 FA又因为 FDHFA=F,所以 EF 丄平面 DFA 又因为 D(?平面 DFA所以 EF 丄 DG(n)证明：因为在折起前的矩形ABCD 中 , E, F 分别为 BC DA 的中点，所以在立体图中， AB/ EF/ CD.即在立体图中，四边形 ABCD 为平行四边形.连接 AC,设 ACH BD=0 贝UA0=C0 又因为 CF/平面 BDG CF?平面 ACF,平面 ACFH平面 BDG=0,G 所以 CF/ 0G所以在 ACF 中，0G 为中位线，即 G 为线段 AF 的中点.(川)解：因为 G 为线段 AF 的中点，

24、/ DFA=60 .所以 DFA 为等边三角形，且 DGL FA,又因为EFLDG EFHFA=F,所以 DGL 平面 ABEFBDG17设 BE 的中点为 H,连接 GH CH易得四边形 DGHC 为平行四边形，所以 CH!平面 ABEF所以CG=GH+CH.设 DF=x,由题意得 CH=DG= x, GH=CD=42x,2所以 cG=（ 4 - 2x）2+ （二 x）2= X2- 16X+16,24所以当 x= 时，CGmin.191918某中学有初中学生 1800 人，高中学生 1200 人.为了解学生本学期课外阅读时间，现采 用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名学生，先统计了他们课

25、外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间(单位：小时)分为 5 组：0 , 10),10 , 20) , 20 , 30), 30 , 40) , 40 , 50，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直 方图.(I)写出 a 的值；(n)试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30 个小时的学生人数；(川)从阅读时间不足 10 个小时的样本学生中随机抽取 2 人，求至少抽到 1 名高中生的概 率.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图.【分析】(I)由频率分布直方图中小矩形面积之和为1,能求出 a 的值.(n)由分层抽样，知抽取的初中生有

26、60 名，高中生有 40 名，从而求出所有的初中生中，阅读时间不小于 30 个小时的学生约有 450 人，高中生中，阅读时间不小于 30 个小时的学生 人数约有 420 人由此能求出该校所有学生中，阅读时间不小于30 个小时的学生人数约有多少人.18(川)记“从阅读时间不足10 个小时的样本学生中随机抽取2 人，至少抽到 1 名高中生”为事件 A,利用列举法能求出至少抽到1 名高中生的概率.【解答】 解：(I)由频率分布直方图得(0.005+0.020+a+0.040)x10=1, a=0.03.(n)由分层抽样，知抽取的初中生有60 名，高中生有 40 名.初中生中，阅读时间不小于30 个小

27、时的学生频率为(0.02+0.005)X10=0.25 ,所有的初中生中，阅读时间不小于30 个小时的学生约有 0.25X1800=450 人，同理，高中生中，阅读时间不小于30 个小时的学生频率为(0.03+0.005)X10=0.35 ,学生人数约有 0.35X1200=420 人.该校所有学生中，阅读时间不小于30 个小时的学生人数约有 450+420=870 人.(川)记“从阅读时间不足10 个小时的样本学生中随机抽取2 人，至少抽到 1 名高中生”为事件 A,初中生中，阅读时间不足 10 个小时的学生频率为 0.005X10=0.05，样本人数为 0.05X60=3 人.高中生中，阅

28、读时间不足 10 个小时的学生频率为 0.005X10=0.05，样本人数为 0.05X40=2 人.记这 3 名初中生为 A1, A, A,这 2 名高中生为 B1, B2,则从阅读时间不足 10 个小时的样本学生中随机抽取2 人，所有可能结果有 10 种，即:(A,A2), (A1,A3), (A,B1), (A,Eb), (A, A), (A,B) , (AB2), (A,B1) , (As, B) ,(B1,B2),而事件 A 的结果有 7 种，它们是：(A1,BJ,(A1, B2) ,(A2,B1) ,(A,E2),(A, B ),(A3,E2), (B1,B2),7至少抽到 1 名

29、高中生的概率 P (A)=.1019.已知函数 f (x) =-7(I)若 f( a) =1,求 a 的值；(n)设 aa 时，f (x) = 0，当 xva 时，f (x)v0，所以 f (x)min=f (3a).(x+a)XJ所以当 Xi=3a 时，不存在 X2使得 f (X2)vf (Xi).综上所述，a 的取值范围为 a 0.20.已知抛物线 C: x2=4y，过点 P (0，m) (0)的动直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，抛物线 C 在点 A 和点 B 处的切线相交于点 Q,直线 AQ BQ 与 x 轴分别相交于点 E, F.(I)写出抛物线 C 的焦点坐标和准线方程；(H)求证：点 Q 在直线 y= - m 上；(川)判断是否存在点 P,使得四边形