解析几何中的定点定值问题含答案

1、解析几何中的定点和定值问题【教学目标】学会合理选择参数(坐标、斜率等)表示动态图形中的几何对象，探究、证明其不 变性质(定点、定值等)，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中的作用.【教学难、重点】解题思路的优化.【教学方法】讨论式【教学过程】一、基础练习221、过直线x=4上动点P作圆O: x +y =4的切线PA、PB ,则两切点所在直线 AB恒过一定点.此定点的坐标为.【答案】(1,0)【解析】设动点坐标为 P(4,t),则以OP直径的圆C方程为：x(x4)+y(y1)=0 ,故AB是两圆的公共弦，其方程为 4x +ty =4 .注：部分优秀学生可由/x+y0y =r2公式直接得出.

2、入 4x-4=0令c 得定点(1,0).y =0' ，2、已知PQ是过椭圆C： 2x2+y2 =1中心的任一弦， A是椭圆C上异于P、Q的任意一点.若AP、AQ分别有斜率3 k2 ,则K k2=.【答案】-2【解析】设 P(x, y), A(x0, yO),则 Q(-x, - y)22v。y y。 y _v。 -yk1 k2 -一 22，x0 f x0 x x0 f2x/ y? =1又由A、P均在椭圆上，故有：4 ° y0 ' 2x2 y2 =122两式相减得2(xo2-x2)+(y。2_y2)=0,kK=y02y2=-2x0 - x2 x3、椭圆362B两点,AB的

3、垂直平分线交x轴于N ,则|nf|：|ab|等于e_ 124-1【答案】14【解析】设直线AB斜率为k,则直线方程为 y=k(x-3),与椭圆方程联立消去y 整理可得(3+4k2 )x224k2x+36k2108 = 0,则 x1x2 =24k23 4k2 ,x1x22_36k -108""23 4k所以yy2-18k2",3 4k则AB中点为12k2-9k3+4k2,3+4k2所以AB中垂线方程为9k y 3 4k212k2x -23 4k2“3k2令 y =0,则*=23 4k2，即N3k23+4k213k2所以 NF =3 - -3 3+4k229(1 k2

4、)3 4k2AB = J(1+ k2 )(x1 +x2 f -4x236 1 k23 4k2,所以NFAB224、已知椭圆 0+、=1(a >b >0),a bA,F是其左顶点和左焦点,P是圆22.2x y = b+ =1 ,过右焦点F作不垂直于x轴的直线交椭圆于 A、 27PA 上的动点，若 PA=常数，则此椭圆的离心率是PF【答案】e=15s!2【解析】因为pAPF=常数，所以当点P分别在（土 b, 0）时比值相等,即 a-b = a+b b -c b+c,整理得：b2 =ac,又因为b2 =a2 -c2 ,所以 a2 -c2 -ac = 0同除以a2可得e2+e-1=0,解得

5、离心率一 5 -1 e=2二、典例讨论x2 y2.一 .一.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： 一+工=1的左顶点为A,过原点O的直线（与42坐标轴不重合）与椭圆 C交于P, Q两点，直线PA, QA分别与y轴交于M, N两点.试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论.分析一：设PQ的方程为y =kx ,设点P （x0, y0 ） （ X0 >0）,则点Q（.，）.消去y得x2=1 2k2y =kx,联乂方程组x2 2y2 =4所以 xo,则 yo 二 _2k_ .1 2k2. 1 2k2 k/ 2k所以直线 AP的方程为y=： (x + 2从而 M

6、 0,2k1 + "1 +2k2、 1+Jl+2k2一2k同理可得点N 0,2=: 1-J1+2k2 J所以以MN为直径的圆的方程为 x2 +(y2k2k)(y)=01 J 2k21 - J 2k2c c2k2k整理得：x2 y2 -()y-2 = 01 ,1 2k2 1 - J 2k2, 22由!x y -2=0,可得定点 F(±V2, 0)y =0分析二2设P (x0, y0),则Q (- x0, - y0),代入椭圆方程可得 x0+2yo2.=4.由直线PA方程为:丫0, 一、 ry =一(x+2),可得 m 0, x0 +22y0x +2J,同理由直线QA方程可得N

7、0,2y0x0 -2,可得以MN为直径的圆为x2 + y - 2y0<%+2J2y0整理得：x2 y2 -由于 x。2 -4 二2y。22y0 . 2y°x0 2 x0 - 2，代入整理即可得2xOx2-44x°y。y-2 = 0分析三：勿证：kAPkAQb22 a故可设直线AP斜率为k ,则直线AQ斜率为12k直线AP方程为y=k(x+2),从而得M (0, 2k),以2k1代k得N.0,I kJ121故知以MN为直径的圆的万程为 x2+(y2k)(y+) = 0 k1整理得：x2 y2 -2 ( 2k)y=0 kx2 +y2 2 = 0l由Jx y 2 0,可得定

8、点F(±V2, 0).y = 0分析四、 设M(0, m), N(0, n),则以MN为直径的圆的方程为 x2 + (y m)( y n) = 022.即 x y _(m n)y mn = 0一. b21一再由 kAPkAQ= kAMkAN= 2= 一仔mn =- 2,下略a 222例2、已知离心率为e的椭圆C : +4=1(a Ab>0)恰过两点(1, e)和(2, 0). a b求椭圆C的方程;(2)已知AB、MN为椭圆C上的两动弦，其中 M、N关于原点O对称，AB过点E(1, 0),且AB、MN斜率互为相反数.试问：直线 AM、BN的斜率之和是否为定值？证明你的结论.解析

9、:由题意:a = 21e2I +a2b2e 二 一二 2二12b2 -1所以椭圆2C的方程为？- + y2=1.4(2)设 AB 方程为 y =k(x-1) , A(xi,y1)，B(x, y2),则MN方程为y = -kx又设 M (X3,一%),N(X3, kx3)_ yi -y2 -仇 _ k(xi -1) 区 k(x2 -1)-心KamKbn 一一Xi -x3x2x3Xi -x3x2x3士匕，口k (x1 x3 -1)(x2 x3) (x2。x3-1)(x1。x3) I则整理得：kAM - kBN = (-1一3一、2一V23一Ax匕 由巾)汽2 x3)k 2x1x2 2x3 -(xi

10、 x2)kAM +kBN (xi -x3)(x2 必)y = k(x -1) 一由9 消元整理得：(4k2+1)x2 8k2x+4k2 4 = 0 ,x2 4y2 =44k2 -4x1x2 =24k2 18k2所以 x1 x2 = -8-4k2 1,y = -kx , 一又由22消兀整理得：x 4y =422-_24(4k +1)x =4,所以 x34k2 1将、代入式得：kAM kBN 0.22例2(变式)、已知离心率为e的椭圆C ：0+与=1(a Ab。)恰过两点(1,e)和(2,0). a b(3)求椭圆C的方程；(4)已知AB、MN为椭圆C上的两动弦，其中M、N关于原点O对称，AB过定

11、点E(m, 0), ( 2 m < 2)且AB、MN斜率互为相反数.试问：直线AM、BN的斜率之和是否为定值？证明你的结论解析：a 二2二ce =一由题意：1 1 e2=<2+ =12la2 b2Jb =12所以椭圆C的方程为人 + y2 =1.4(4)设 AB方程为 y=k(xm),人(人,乂)，B(x2, y?),则MN方程为y = -kx又设 M(X3, -仅),N(X3, kx3),y1 kx3y2 - kx3kAM ' kBN 二x1 -x3x2x3k(x1 m) kx3 k(x2 m) -kx3=r xi - x3x2x3则整理得:_ k hi x3 -m)(x

12、2 x3) (x2 x3 m)(x1 x3) 1kAM ' kBN =；-；(x -x3)(x2 x3)kAMk BNk |2x1x2 2x32 -m(x1 x2)(x1 -x3)(x2 x3),y =k(x -m)2222 2由 W 22消兀整理得：(4k +1)x -8k mx+4k m 4=0,x2 4y2 =4所以x1x228k m,224k m -4=2, xix2 -24k2 14k2 1,y = -kx , 一 又由0消兀整理得:x2 4y2 =42224(4k2 +1)x2 = 4 ,所以 x324k2 1将、代入式得:kAMkBN = 0三、课外作业221、已知椭圆

13、+L=1 a、B是其左、右顶点，动点 M满足 42在x轴上有异于点 A、B的定点Q,以MP为直径的圆经过直线为.【答案】(0,0)【解析】 试题分析：设 M (2,t),则AM : y=-(x +2),与椭圆方程联立消4MB LAB,连结AM交椭圆于点P,BP、MQ的交点，则点 Q的坐标y得(t2 +8)x2 +4t2x+4t2_32=0,8t216 -2t8t2 a 2所以xp 2，yp ，因此kBP2=，即kiBMk=11,点 Q的坐标为O 0,0 )t2 8t 816 -2t c t2-2t 822x y 2、已知P是椭圆 一十二=1上不同于左顶点 A、右顶点B的任意一点，记直线 PA,

14、 PB的斜率分 124别为ki, k2,则ki k2的值为【答案】-13【解析】设 P(x,y) , A( -273,0), B(2晶0)k yk k2x -2 3kkx2 3 x-2.3 x2 -1222因为P在椭圆上，所以 上+上=1 ,即1242 _ 12 -x2把代入，得2kZx2"223、已知椭圆 '+'=1(2 >b >0)的离心率 a be= , A,B是椭圆的左右顶点,2P为椭圆上不同于AB的动点，直线PA,PB的倾斜角分别为 豆邛，则cos似>=cosQ '.-1)【答案】7【解析】试题分析：因为 A,B是椭圆的左右顶点，P

15、为椭圆上不同于 AB的动点，2222_2 一_ b i_1 c _ 1 a -b _ 1 b _ 3,_ b _ 3， kPA kPB =2*e =二'.一='. 2=_'=_,kPA，kPB =2 =,a2 a 2 a 4 a 4a 43cos(：>' ''')cos： cos : -sin 二 sin 11 - tan tan :14_7cosG, )cos： cos : sin 二 sin ：1 tan： tan ：1342x 24、如图所不，已知椭圆C: + y =1,在椭圆C上任取不同两点 A, B,点A关于x轴的对称4点

16、为A',当A, B变化时，如果直线 AB经过x轴上的定点T(1 , 0),则直线 A'B经过x轴上的【答案】（4, 0）【解析】设直线 AB的方程为x=my+ 1, 2x 2由 « 4 y 得(my+ i)2+4y2=4,即(m2+4) y2+2my lx = my i3= 0.记 A(xi,yi) , B(x2, y2),则 A' (xi, - yi),且 yi + y2= 一2m，yiy2= - -2，m 4m 4当mw。时，经过点A'(xi,-yi),B(x2,y2)的直线方程为y + Yi=jxZLxL.令 y=0,得 x=x2 xy2yiyi

17、 + xi =my2 一 my1yi + myi + i =Y2 Yi2 ,2阿丫20+哂+ myiy?+ yi2my选 +i =¥2+ yi-32mm4- + i = 4,所以 y=0 时，x= 4.-2 mm2 4当m = 0时，直线 AB的方程为x=i,此时A,B重合，经过A' , B的直线有无数条，当然可以有一条经过点（4, 0）的直线.当直线 AB为x轴时，直线 A' B就是直线AB,即x轴，这条直线也经过点（4 ,0）.综上所述，当点A, B变化时，直线 A' B经过x轴上的定点（4, 0）.5、过椭圆22土+一=i的右焦点43F2的直线交椭圆于于

18、M ,N 两点，令 |F2M|=m,|F2N=n，则y2 yix2 - ximn m +22试题分析：不失一般性，不妨取M麻直x轴的情况，此时MN x=i,联立。亍+ =1，得M （i ,3 ) ,n (1, - 3 ),m=n=3 ,222mn 3m n 46、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A,左焦点为-2,0),点B(2, J2)在椭圆C上，直线y =kx(k #0)与椭圆C交于E , F两点，直线AE , AF分别与y轴交于点M ,N .(I)求椭圆C的方程；(n)以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.22x y斛析：(I)斛法一

19、：设椭圆C的方程为 +-2- =1 (a > b > 0), a b因为椭圆的左焦点为 F1(2,0),所以a2 -b2 =4.设椭圆的右焦点为 F2(2,0),已知点B(2,巧)在椭圆C上，由椭圆的定义知|BF1 + BF2 =2a,所以 2a -3,2 ,2 - 4,2 .所以a =2j2,从而b=2.22所以椭圆C的方程为二十匕=1.8422解法二：设椭圆C的方程为 "+4=1 (a >b>0), a b22因为椭圆的左焦点为Fi(2,0),所以a -b =4.42.因为点B(2,衣)在椭圆C上，所以=十方=1 .a b由解得，a=2j2, b = 2.

20、22所以椭圆C的方程为二十匕=1.84(n)解法一：因为椭圆C的左顶点为 A,则点A的坐标为(-2石,0).22x y因为直线y=kx(k=0)与椭圆 一 +工=1交于两点E , F ,84设点 E (x0, y0 )(不妨设 Xo >0 ),则点 F (%, yO ).y =kx,联立方程组，x2v2消去y得x2= 8 2一工=112k84所以xo =普:，则yo =善11 2k21 2k2所以直线 AE的方程为y=k<x + 2、/2)1 J 2k2因为直线 AE , AF分别与y轴交于点M , N ,2/2k,即点 M 10,1 J 2k22,2k1 J 2k2同理可得点0,

21、 2三1 -、1 2k2所以MN2、2k2、2k1 、1 2k2 1 - J 2k22. 2 1 2k2、k设MN的中点为P ,则点P的坐标为P 'o,I k J则以MN为直径的圆的方程为 x2y -2k、2T Y1+2k2)L即 x2+y2+咯 y=4.2令 y=0,得 x =4,即乂 = 2 或 x = -2 .故以MN为直径的圆经过两定点 P(2,0), F2(2,0).解法二：因为椭圆C的左端点为 A,则点A的坐标为(-26,0 ).22因为直线y =kx(k =0)与椭圆人+工=1交于两点E , F ,84设点 E(x°,y0),则点 F(x。，y0).所以直线AE

22、的方程为y =yo(x+2/2 ).因为直线AE与y轴交于点令x =0得即点M/0 2&y°、 , x0 +272同理可得点22j2y。N 0, 八Xo-272/所以MN2 2y02 . 2yox0 2,2x0 -2 216y°x2 -8因为点E(Xo,yo)在椭圆C上，所以所以MN 设MN的中点为P ,则点P的坐标为P '0 叵° jy0则以MN为直径的圆的方程为 x2,3y016-2 y。即 x2 + y2 + 2x0 y = 4 .V。令 y =0 ,得 x2 = 4 ,即 x = 2或 x = -2 .故以MN为直径的圆经过两定点P(2,0

23、), P2(-2,0 ).解法三：因为椭圆C的左顶点为 A,则点A的坐标为(-2五,0 ).22x y 因为直线y=kx(k#0)与椭圆 一 +=1交于两点E , F,84设点 E(2/2cos9,2sin 6 ) ( 0 曰 兀)，贝U点 F (-272 cos, -2sin 日).所以直线AE的方程为y =2sin -2、2cosu 2 - 2(义+2五、.因为直线AE与y轴交于点M ,2sin2sin 二令乂=0得丫=,即点M , 0,cosi 1cos 1同理可得点N ,0, 2sin 8 i cos1-1所以MN2sin 0 2sin 94cos日+1 cos 9 -1 sin 日设

24、MN的中点为P ,则点P的坐标为P . 0,2cos92则以MN为直径的圆的方程为 x2 + fy + 2cos6 = 一4r- l sin 8 J sin2e22 4cos 二即 x + y +y = 4 .sin1令 y = 0 ,得 x2 = 4 ,即 x = 2 或 x = -2 .故以MN为直径的圆经过两定点P1(2,0), F2(2,0).?在椭圆C上.22§7、已知椭圆 C: 1+冬=1 (a>0, b>0)的离心率为 ，点A(1,a b2(I)求椭圆C的方程；(n)设动直线i与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满又因为点A(1,Y3

25、)在椭圆C上，2足此圆与l相交于两点P1，P2 (两点均不在坐标轴上)，且使得直线 OP1，OP2的斜率之 积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.(I)解：由题意，得c=也,a2=b2+c2, a 2所以二十金二1，解得a =2, b=1, c = J3, a2 4b22所以椭圆C的方程为± + y2=1.42,2_(n)结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为X +y =5.证明如下:222 ,假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x +y =r (r>0).当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx + m.y =kx m,222由方程组 h2得(4k +1)x +8kmx+4m 4 = 0,x 2y =1,4因为直线i与椭圆c有且仅有一个公共点，所以 A =(8km)2 4(4k2 +1)(4m2 -4) =0 ,即 m2 =4k2 +1 .由方程组 (y2 = kx2+m,2得(k2 +1)x2 +2kmx +m2x y =r ,r2 =0则.与=(2km)2 -4(k2 1)(m2 -r2) 0设立Xi,yi), 2(x2,y2),则 为 +用=等, k 1y = -2x + b，设直线OPi, OP2的斜率分别为ki, k2,kk -VW2俨2 一所以x1x222(kx1 m)(kx2 m) _ k x1x2 km(x1x2) mxx2