椭圆与双曲线必背经典结论

1、(a>0,b >0)内，则过Po的弦中点的轨迹方3/7椭圆与双曲线的必背的经典结论1 . 点P处的切线 PT平分 PFF2在点P处的外角.2 .PT平分 PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线 PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4 .以焦点半径PR为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.225.若R(xo,yo)在椭圆x2+y2=1上，则过P0的椭圆的切线方程是 券十邛 =1. a ba b22x y6.右B(xo,yo)在椭圆 二十一=1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为Pi、P2,则切点a b弦P1P2的直线

2、方程是萼+邛=1. a2b222x y 7.椭圆-y+4=1 (a > b> 0)的左右焦点分别为F1, F2,点P为椭圆上任意一点a by/F1PF2 =L则椭圆的焦点角形的面积为S杏1Pf2 =b2tan3 .22x y8 . 椭圆-y+J=1 (a>b>0)的焦半径公式：a2 b2|MFJ=a e-, |MF2|=a-e%( F1(-c,0) , F2(c,0) M(Xo,y。).9 .设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点 F的椭圆准线于 M N两点，则MFL NF.10 .过椭圆一个焦点F的直线与椭圆

3、交于两点P、Q, A、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点 M, A2P和AQ交于点 N 则 MF!NF. 2211 . AB是椭圆xy +与=1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则 a bkoM kAB = 2，即 KaB = 一 2°aa y022则被Po所平分的中点弦的方程是x y .12.右 F0(x0,yO)在椭圆 2 + 2 =1 内， a b22xqx . Y0Y _ x0 . _yo_2 I 2-2. 2 .a b a b2213.若P0(x0,y0)在椭圆x十4=1内 a b22y%Ly2 . 22. 2a bab双曲线1 . 点P处的切线

4、 PT平分 PF1F2在点P处的内角.2 . PT平分 PFF2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点3 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4 .以焦点半径PFi为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P在右支；外切:P在左支)x2 y25 .若P0(%,y0)在双曲线彳=1 (a>0,b>0)上，则过P0的双曲线的切线方程a b是W 一里二1. a bx2 y26 .若2(x040)在双曲线 -7 =1 (a>0,b >0)外，则过Po作双曲线的两条切a b线切点为Pi、P2,则切点弦P1P2的直线方程是

5、笺_%2y =1. a b227.xyF1, F2,点P为双曲线上任双曲线 2 '2 =1 (a>0,b >o)的左右焦点分别为ab8.意一点2EPF2=¥,则双曲线的焦点角形的面积为S 'F1PF2 - b cot-.22x y双曲线二22=1(a>0,b>o)的焦半径公式：(F1(c,0) , F2(c,0) a b当 M (x0, y°)在右支上时，|MFi 卜e%+a, |MF2 |=ex0a.当 M (x0, y°)在左支上时，|MFi |=-e+a, |MF2 卜e% -a9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交

6、P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点 F的双曲线准线于 M N两点，则MFL NF.10.过双曲线一个焦点 F的直线与双曲线交于两点P、Q, A、A2为双曲线实轴上的顶点,AP和A2Q交于点 M A2P和AiQ交于点 N,则 MFL NF.11.12.x2y2AB是双曲线 22- =1 (a>0,b >0)的不平仃于对称轴的弦，M(xo,yo)为ABa bb2b2的中点，则 Kom Kab =T0，即 Kabay。ay。22若P0(x0,yo)在双曲线 与一4=1 (a>0,b>0)内，则被 Po所平分的中点弦的 a b方程是22x

7、76;xy° yx° y=13.22若P0(x0,yo)在双曲线y'n a b22程是与一%二等一均a b a b椭圆与双曲线的对偶性质 -(会推导的经典结论)椭 圆x2 y21 .椭圆-2+4=1 (a>b>o)的两个顶点为 A(a,0)，A2(a,0),与y轴平行的直 a b2 2线交椭圆于Pi、P2时AiPi与A2P2交点的轨迹方程是 与%=1.a bx2y22.过椭圆-2+0=1 (a >0,b >0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直 a b 一，_一八，、-b2x线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBC =-&

8、#176; (常数).a V。22x y3.若P为椭圆-2十三=1 (a>b>0)上异于长轴端点的任一点，F1,F 2是焦点，aP=tan co t 一 .22a ba _ c“讦2=0(, /PF2F1=B,则 a c224.F1、F2,P (异于长轴端点)为椭圆上ZPF1F2 = P，/F1F2P =尸，则有设椭圆 +4=1 (a> b>0)的两个焦点为a2b2任意一点，在 PF1F2中，记 ZF1PF2 =asin 二 _ c _ sin .，sin a225.若椭圆 十4=1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F、F2,左准线为L,则当0 a b&l

9、t;e< J2-1时，可在椭圆上求一点P,使得PE是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.226. P为椭圆 十一=1 (a>b>0)上任一点，F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点， a2 b2则22-|人52白尸人| +尸后户22+|人己|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成7.8.椭圆(x-x0)十(y2y0) =1与直线 Ax+By+C =0有公共点的充要条件是a2b2A2a2 B2b2 一 (Ax By0 C)2.22已知椭圆"十一=1 (a>b>0),O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP_LOQ. a b11(1)2+2|OP| |O

10、Q|114a2b2-2+-2; (2) |OP|2+|OQ|2 的最大值为一2一2； (3) S疝PQ aba b的最小值是9.2过椭圆勺a2,2a b2 TT .a b2y一 =1 (a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦b2MNM勺垂直平分线交x轴于巳 则LPF_L=£| MN | 210.22已知椭圆二 y.a2b2=1( a >b>0) ,A、B、是椭圆上的两点， 线段AB的垂直平分11.12.13.14.15.线与x轴相交于点设P点是椭圆2. 22. 2a - b a - bP(Xo,O)，则一< Xo <aax y-2

11、+-2 =1 ( a>b>0)上异于长轴麻?点的任一点2b2记/F1PF2 =0 ,设A、B是椭圆,F1、F2为其焦点皿2b22,则(1) IPFiIIPFzIi+ssJ© S点“=b tan2.22x y= +22=1 ( a >b>0)的长轴两端点， P是椭圆上的一点, a bNPAB , ZPBA = P, ZBPA = ¥ , c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有22, 22ab |cos二 |2 c 2a b , |PA|=122 . tan= tan. =1 -e .(3) S pab =万 2 cot .a -c cosb -a22xy

12、已知椭圆2+r=1 ( a >b>0)的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F ab的直线与椭圆相交于 A B两点，点C在右准线l上，且BC _L x轴，则直线 AC经过线段EF的中点.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注：在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)17 .椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成

13、定比e.18 .椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项椭圆与双曲线的对偶性质 -(会推导的经典结论)双曲线22x y1.双曲线-2=1 (a>0,b>0)的两个顶点为 A(a,0), A2(a,0),与 y 轴 a b22平行的直线交双曲线于P1、P2时A P1与A2P2交点的轨迹方程是 与+ 2 =1.a2b222x y2.过双曲线 -4=1 (a>0,b >o)上任一点 A(Xo,yo)任意作两条倾斜角互a b补的直线交双曲线于 B,C两点，则直线BC有定向且kBC = bx0 (常数).a yo223.x y右p为双曲线 =1 (a>0,b

14、>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F 1,a bF 2 是焦点，ZPF1F2, ZPF2FP ,则c = taeco£ (或c a 22c -aP:工=t a n co 1 .c a22x2 y2 一 4.设双曲线 2 - 2 =1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P (异于长轴端点) a b为双曲线上任意一点，在 PF1F2中，记ZF1PF2/PFF2 = B , NFF2P ='，则有s7背=c = e.(sin -sin -) a22x y5.F1、F2,左准线为L,右双曲线 下=1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 a

15、 b则当1vew J2+1时，可在双曲线上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.22x y6 . P为双曲线一2-2=1 (a>0,b >0)上任一点 F,F2为二焦点，A为双曲线 a b内一定点，则|AF2|22工厂人| 十 |,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立x2y27 .双曲线22=1 (a>0,b>0)与直线Ax+ By+C =0有公共点的充要条 a b件是 A2a2 - B2b2 , C2.22x y 8 .已知双曲线 3上2=1 (b>a >0), O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点， a

16、b且 OP _ OQ .111(1)2 +2=2|OP|2 |OQ|2 a2文；(3)S22 ;SOPQb - a12 ; (2) |OP| +|OQ|的取小值为b22b2的最小值是畀方b2 -a229.x过双曲线-2 -ab2=1(a>0,b >0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于10.11.M,N两点，弦MN的垂直平分线交 x轴于P,则|PF | 二|MN | 一 222x y已知双曲线'=1 (a>0,b>0) ,A、B是双曲线上的两点,a b垂直平分线与2.2a bx轴相父于点P(x0,0),则x°至或x° Ea线段 AB的2.2a

17、 b22xy设P点是双曲线 二/2=1 (a>0,b >0)上异于实轴端点的任一点 ，F1、F2 ab为其焦点记F1PF2 =02b -则(1) |PF1|PF2|=.(2)1 一 cos 二9/7c，2，S . PF1F2 - b cot 2 .2212.设A、B是双曲线、4=1 (a>0,b>0)的长轴两端点，P是双曲线上的 a2 b2一点，/PAB=o(, /PBA = P , /BPA = ¥ , c、e分别是双曲线的半焦距2离心率，则有(1)1PAi _ 2ab |cos一 | |PA.222.|a -ccos |13.(2) tan - tan :已知双曲线线右焦点F轴，则直线2= 1e.(3) Spab2y ，2=1 (a>0,b >0)b2的直线与双曲线相交于A、AC经过线段EF的中点.2, 22a b x22cot .b a的右准线l与x轴相交于点E ,过双曲B两点，点C在右准线l上，且BC _L x1