定积分在实际问题中的应用

1、第二节 定积分在实际问题中的应用Application of Definite Integral教学目的：熟练掌握求解平面图形的面积方法，并能灵活、恰当地选择积分变量；会求平行截容 教学重点 教学难点 教学方法 教学容：面面积已知的立体的体积，并能求解旋转体的体积；能够解决物理应用中变力作 功、液体压力方面的冋题定积分几何应用；定积分在物理中的应用 求解平面图形的面积；求旋转体的体积 运用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积 精讲:定积分的几何应用；多练:用定积分求平面图形的面积和立体的体积、定积分的几何应用1. 平面图形的面积设函数yfi(x),yf2(x)均在区间a,b上连续，且fi(x)

2、f2(x),x a,b,现计算由y f1(x), y f2(x), x a, x b所围成的平面图形的面积.分析求解如下：(1) 如图6-3所示，该图形对应变量x的变化区间为a,b,且所求平面图形的面积 S对区 间a,b具有可加性.(2) 在区间a,b任取一小区间x,x dx，其所对应的小曲边梯形的面积 ，可用以dx为底，f1(x)f2(x)为高的小矩形的面积(图6-3)中阴影部分的面积)近似代替即面积微元为dS f1(x) f2(x)dx(3)所求图形的面积bS af2(x) f2(x)dxy jiy ri/1(h)0<1x+JrhX图6-3【例1】求曲线yex，直线x 0,x1及y

3、0所围成的平面图形的面积解对应变量x的变化区间为0,1,在0,1任取一小区间x,x dx，其所对应小窄条的面积用以dx为底,以f (x) g(x) ex 0 ex为高的矩形的面积近似代替，即面积微元dS exdx于是所求面积Sex0 e 1【例2】求曲线y x2及y 2 x2所围成的平面图形的面积y x 2求出交点坐标为y 2 x2(1,1)和(1,1),积分变量x的变化区间为1,1,面积微元dSf(x) g(x)dxdS(22(12 2x x )dx2x)dx于是所求面积112(11(10 x2)dxx2)dxx (y),x若平面图形是由连续曲线面积应如何表达呢？分析求解如下：(1) 对应变

4、量y的变化区间为c,d,且所求面积(2) 在y的变化区间c,d任取一小区间y,y(y)为长，以 dy为宽的矩形面积近似代替dS用以(y)于是所求面积【例3】此时(y)于是所求面积(y),(y)(y), y c, y d所围成的，其S对区间c,d 具有可加性.dy，其所对应的小曲边梯形的面积可 ,即面积微元为(y) (y)dydc (y) (y)dy2求曲线x y ,直线y2x y一/解得交点坐标为(22所围成的平面图形的面积1,1)和(4,2),则对应变量y的变化区间为1,2,2,2(y) y，则面积微元dS (y(y)2(y)dy2)dy2S dS121(yy2)dy92x2及y x所围成的

5、平面图形的面积 解 为了确定积分变量的变化围，首先求交点的坐标.【例4】求由y2x面积微元)dxdSf(x)g(x)dxS12、(x0 'x )dx1 21 31x-x(X12302 由 y X 得交点(0,0),(1,1).y x方法一选x为积分变量，则对应x的变化区间为0,1,此时f(x) x, g(x)2x方法二选y为积分变量，对应y的变化区间为0,1,此时(y)dS (y) (y)dy G. y> y,，(y)y)dyy则面积微元y)dy2 13 2 注:由此例可知，积分变量的选取不是唯一的 问题的难易程度也会不同.16，但在有些问题中，积分变量选择的不同，求解2x【例5

6、】求椭圆a2y亍1的面积b解 椭圆关于x轴,y轴均对称，故所求面积为第一象限部分的面积的4倍，即S 4S1a4 0 ydx利用椭圆的参数方程acostbsint应用定积分的换元法,dxasintdt，且当 x0时,t i,x a时,t °,于是0S 4 _bsint(2acost)dt4ab°F n2tdt4abp 1 cos2t , dt 0t 14ab 一 sin2t2 ab0242. 空间立体的体积(1)平行截面面积为已知的立体的体积 设某空间立体垂直于一定轴的各个截面面积已知，则这个立体的体积可用微元法求解不失一般性，不妨取定轴为X轴,垂直于x轴的各个截面面积为关于

7、x的连续函数s(x),x的变化区间为a,b.该立体体 积V对区 间a,b具有可 加性取x为积分 变量,在a,b任取一小区间 x,x dx,其所对应的小薄片的体积用底面积为 S(x),高为dx的柱体的体积近似代替，即体 积微元为dV S( x) dx于是所求立体的体积bV S(x)a【例6】一平面经过半径为 R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算这个平面截圆柱体所得契形体的体积2 2 2解 取该平面与底面圆的交线为x轴建立直角坐标系，则底面圆的方程为 x y R ,2x R, R任取一点x ,过x作垂直于x轴的截面，截得一直角三角形，其 ，故其面积半圆的方程即为yR2在x轴的变化区间 底长为

8、 y,高度为 ytanS(x)1y y tan21 2y tan2)tan1 2 2(R x2于是体积RRS(x)dxR 1tanR2Itan21 tan2(R2R 2r(R2(R2xx2)dxx2)dx3x )(2)旋转体的体积 类型1:求由连续曲线 一周而成立体的体积.过任意一点x a,b作垂直于 S(x) f 2(x),于是所求旋转体的体积f (x),直线x a,x b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转轴的平面，截面是半径为f(x)的圆,其面积为bS(x)dxab 2a f2(x)dx2【例7】求由y x及x 1,y0所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成立体的体解 积分变量X轴的变化区间为0

9、,1,此处f(x)V 1 (x2)2dx4dx0 / 02 x ,则体积15 0【例8】连接坐标原点 O及点P(h,r)的直线,直线x h及x轴围成一个直角三角形 求将它绕x轴旋转一周而成的圆锥体的体积.解 积分变量x的变化区间为0,h,此处yrf(x)为直线OP的方程y hx，于是体2dx2r2r2dx0d及y轴所围成的曲边梯形绕 y轴旋转类型2：求由连续曲线x( y),直线y一周而成的立体的体积 (c d ).过任意一点y c,d,作垂直于y轴的平面,截面是半径为 (y)的圆,其面积为 S( y)2( y),于是所求旋转体的体积ddV cS(y)dy2(y)dyc,y【例9】求由y x3,

10、 y 8及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体的体积.解 积分变量y的变化区间为0,8,此处x (y)3 y 于是体积V ： (3 y)dy8 ?°y3dy3 I5y896052x【例10】求椭圆a与 1分别绕x轴、y轴旋转而成椭球体的体积. b解若椭圆绕x轴旋转，积分变量y f (x)aX的变化区间为a,a,此处x2 ,于是体积Vx2x2 dxb a2 b a2a / 2 a(ax2 )dxa2xa 里 ab2a 3若椭圆绕y轴旋转，积分变量y的变化区间为b,b，此处x ( y) b2y2，于b寸体积bVyyb2 a b22 a b243：22b 2b(bb2ya2by2)

11、dy1 33y二、定积分在物理中的应用1.变力所做的功如果一个物体在恒力 F的作用下，沿力F的方向移动距离s,则力F对物体所做的功是 W F S.如果一个物体在变力 F (x)的作用下作直线运动，不妨设其沿 Ox轴运动,那么当物体由 Ox轴上的点a移动到点b时，变力F(x)对物体所做的功是多少 ？我们仍采用微元法，所做的功 W对区间a,b具有可加性.设变力F(x)是连续变化的，分 割区间a，b，任取一小区间x,x dx，由F(x)的连续性，物体在dx这一小段路径上移动时， F(x)的变化很小，可近似看作不变的，则变力F(x)在小段路径上所做的功可近似看作恒力 做功问题，于是得到功的微元为dW

12、F(x)dx将微元从a到b积分,得到整个区间上力所做的功bW F(x)dxa【例11】将弹簧一段固定，令一段连一个小球，放在光滑面上，点O为小球的平衡位置若 将小球从点0拉到点M(OM s)，求克服弹性力所做的功.解由物理学知道，弹性力的大小和弹簧伸长或压缩的长度成正比，方向指向平衡位置0,即F kx其中k是比例常数.若把小球从点 O(x 0)拉到点M(x s),克服弹性力F,所用力f的大小与F相等, 但方向相反，即f kx,它随小球位置x的变化而变化.在x的变化区间0,s上任取一小段x,x dx,则力f所做的功的微元dW kxdx于是功sk 2W kxdx s02【例12】某空气压缩机，其活

13、塞的面积为 S,在等温压缩的过程中，活塞由为处压缩到X2 处，求压缩机在这段压缩过程中所消耗的功解 由物理学知道，一定量的气体在等温条件下，压强p与体积V的乘积为常数k,即pV k由已知，体积V是活塞面积S与任一点位置x的乘积，即V Sx,因此于是气体作用于活塞上的力活塞作用力f F于是所求功k kV SxkkF pS S - Sxxk,则力f所做的功的微元xkdW dxxXi-dxx【例13】一圆柱形的贮水桶高为 吸出需做多少功解 取深度x为积分变量，则所求功 W对区间 任取一小区间x, x dx,则所对应的小薄层的质量将这一薄层水吸出桶外时，需提升的距离近似为dW x 9 dx? k I

14、n -X25米，底圆半径为3米桶盛满了水试问要把桶的水全部0,5具有可加性应用微元法，在0,5上32 dx 9 dx.x,因此需做功的近似值，即功的微元为9 xdx于是所求功xdxx2225将 9.8 103N/m3,得 W 225298003.46 106J2液体压力现有面积为S的平板，水平置于密度为，深度为h的液体中，则平板一侧所受的压力F pS h S(p为水深为h处的压强值)若将平板垂直放于该液体中，对应不同的液体深度，压强值也不同，那么平板所受压力应 如何求解呢？设平板边缘曲线方程为 y f(x)，(a x b)，则所求压力F对区间具有可加性，现用微 元法来求解在a，b上任取一小区间

15、x，x dx，其对应的小横条上各点液面深度均近似看成x，且液体对它的压力近似看成长为f(x)、宽为dx的小矩形所受的压力，即压力微元为dF x f(x)dx于是所求压力bF x f (x)dxa【例14】有一底面半径为1米，高为2米的圆柱形贮水桶，里面盛满水求水对桶壁的压力 解 积分变量x的变化区间为0,2，在其上任取一小区间x，x dx，高为dx的小圆柱 面所受压力的近似值，即压力微元为dF x 2 idx 2 xdx于是所求压力为22 xdx 20oo349.8 103.92410 N将 9.8 10 N /m代入F【例15】有一半径R 3米的圆形溢水洞，试求水位为3米时作用在闸板上的压力 解 如果水位为3米,积分变量x的变化区间为0, R,在其上任取一小区间x,x dx, 所对应的小窄条上所受压力近似值，即压力微元dW x 2 ydxx 2 R2 x2dx2 x、R2 x2dx于是所求压