数字通信4-2带限信号传输的最佳检测

1、14.3 带限信号传输的最佳检测带限信号传输的最佳检测 和错误概率和错误概率信号类型：信号类型：ASK，PSK，QAM特点：特点： 以低带宽需求为主要特征以低带宽需求为主要特征，传输方式具有低维，传输方式具有低维度，与发送信号的数目无关，功率效率随消息数的增加而度，与发送信号的数目无关，功率效率随消息数的增加而减小。减小。24.3.1 ASK或或PAM信号信号 传输的最佳检测和错误概率传输的最佳检测和错误概率3选择离选择离r最近的幅度电平为判决输出最近的幅度电平为判决输出带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率ASK信号（信号（M个个一维信号点一维信号点）mgmAs21

2、任意两点之间的最小距离任意两点之间的最小距离:m =1, 2, ，M(21)mAmM 2min212log1bavgMdM最大相关度量判决规则最大相关度量判决规则smsm+1sm-1两相邻信号点两相邻信号点之间的距离之间的距离:mindASK星座图中两种类型的点：星座图中两种类型的点：2个外点个外点外点的错误是内点错误概率的一半，因为噪声仅在一个方向上外点的错误是内点错误概率的一半，因为噪声仅在一个方向上引起错误引起错误min2mdrsnminmin0222eiddPP nQNM-2个内点个内点内点被发送时，当内点被发送时，当 时，发生错误时，发生错误min0122eoeidPPQN4符号的错

3、误概率符号的错误概率1minmin001(|)1(2)2222MemPP error m sentMddMQQMNN代入代入dmin:2222006log6log12(1)211bavgbavgeMMPQQMMNMNmin02(1)2dMQMN带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率5注意注意: :lM=2时，相当于二进制双极性信号的错误概率时，相当于二进制双极性信号的错误概率lM较小时，较小时，M每增加每增加1倍，比特倍，比特SNR的增加超的增加超过过4dBl当当M较的大时，较的大时，M每增加每增加1倍，要求比特倍，要求比特SNR增加近增加近6dB2222006log

4、6log12(1)211bavgbavgeMMPQQMMNMNl平均比特平均比特SNR用用6log2M/(M2-1)来加权，当来加权，当M增加时，要使增加时，要使Pe不变，必须提高比特不变，必须提高比特SNR带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率64.3.2 PSK信号传输的最佳检测信号传输的最佳检测 和错误概率和错误概率7计算接收信号计算接收信号 r=( r1, r2 ) 的相位，选择相位最接近的相位，选择相位最接近r的信号向量的信号向量sm向量表达式向量表达式)1(22cos)()(mMtftgtscm信号波形信号波形22cos(1),sin(1)msmmMMmm

5、srsrC),(121tanrrr1mM，0tT最大相关度量判决准则最大相关度量判决准则m =（1，2，M）相关检测器相关检测器相位检测器相位检测器等价为等价为12g其中：其中： 每个波形的能量每个波形的能量g( t ) 发送信号的脉冲波形发送信号的脉冲波形（等能量）（等能量）r 的相位：的相位：PSK信号信号带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率8假设：发送信号相位假设：发送信号相位发送信号向量发送信号向量0r1, 0s:MM判决域为判决域为D1：相当于相当于发送信号发送信号s1(t)11rn接收信号接收信号 r =r1, r2 向量分量向量分量22nr 1( )E

6、 r0)(2rE20222/21rrrN由于：由于： n1, n2 联合高斯随机变量联合高斯随机变量r1, r2 也是联合高斯随机变量也是联合高斯随机变量联合联合PDF22121222()1( ,)exp22rrrrrP r r带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率问题：问题：接收信号接收信号r的相位的的相位的PDF？9)/(tan121rrr设设2221rrV2,222cos1( ,)exp22rrVrrrVVPV符号符号SNR/1( )rMerrMPPd ),(,rVVPrdVVeedVVPPrsrsrrVrVr02/)cos2(sin20,2221),()(符号

7、错误概率：符号错误概率：0/sN在在V的范围积分的范围积分)(rrP（发送信号相位为（发送信号相位为0时）时）带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率10讨论几种特殊情况讨论几种特殊情况02bbPQNlM=2，二进制相位调制二进制相位调制lM=4，实际上是实际上是两个相位正交的二进制相位调制两个相位正交的二进制相位调制正确判决概率：正确判决概率：2202(1)1bcbPPQN错误概率：错误概率：002211212bbecPPQQNN u比特错误概率：比特错误概率：同上同上u符号错误概率：符号错误概率：带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率11l

8、M4数值积分数值积分l在在大大M值和大值和大SNR时：时：近似处理近似处理2/sin/1cossrMserrMPed rsrePrsr2sincos)(udeMus)/sin(222)/sin(22MQs)/sin(22MkQb2logsbkkM1bePPk等价的比特错误概率等价的比特错误概率当当M增加时，比特增加时，比特SNR付出的代价付出的代价/1()rMerrMPPd （k比特中仅含单比特比特中仅含单比特 差错差错）带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率4dB 5dB 考虑到：考虑到：1.Gray码映射；码映射；2. 最可能相邻相位间差错最可能相邻相位间差错12

9、PSK相干解调存在的问题相干解调存在的问题 相位模糊相位模糊解决办法：解决办法：采用采用差分编码差分编码PSK DPSKl相干相位解调需要相干相位解调需要载波相位的信息载波相位的信息；l载波相位来自载波相位来自接收信号，通过某些非线性运算接收信号，通过某些非线性运算得到。得到。因为：因为：对前后相邻的信号间的相位差进行编码。对前后相邻的信号间的相位差进行编码。u二进制二进制PSK：平方运算，滤除倍频分量，二分频后提取载波：平方运算，滤除倍频分量，二分频后提取载波频率和相位的估值。频率和相位的估值。 结果：会产生结果：会产生180o的相位模糊。的相位模糊。u四相四相PSK：4次方运算，滤除次方运

10、算，滤除4次谐波分量，次谐波分量，4分频后提取载分频后提取载波频率和相位的估值。波频率和相位的估值。 结果：会产生结果：会产生90o和和180o的相位模糊。的相位模糊。带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率135.2 无记忆调制的最佳接收机性能无记忆调制的最佳接收机性能l相干解调：相干解调： 近似于近似于PSK错误概率的错误概率的2倍！倍！u将将当前时刻当前时刻接收信号与接收信号与前一时刻前一时刻接接收信号的相位进行比较。收信号的相位进行比较。l非相干解调：非相干解调：DPSK 性能：性能：u经推导可得二进制经推导可得二进制DPSK错误概率：错误概率：0/21Nbbe

11、PDPSK与与PSK性能比较性能比较l大大SRN时，时，DPSK稍次于稍次于PSK.l但但DPSK不需要用复杂的方法来估计载波相位。不需要用复杂的方法来估计载波相位。l四相四相DPSK比四相比四相PSK（即（即QPSK）差大约）差大约2.3dB. Pe10-5时，二进制时，二进制DPSK与与PSK的的SNR相差小于相差小于1dB。144.3.3 QAM信号传输的最佳检测信号传输的最佳检测 和错误概率和错误概率15QAM信号的最佳检测中，需要两个滤波器匹配于基向量：信号的最佳检测中，需要两个滤波器匹配于基向量：向量表达式向量表达式tftgAtftgAtscmscmcm2sin)(2cos)()(

12、QAM信号波形信号波形gmsgmcmAAs21,211mM0tT12( )( )cos2cgtg tf t22( )( )sin2cgtg tf t 匹配滤波器输出匹配滤波器输出 r=( r1, r2)计算计算C( r, sm) = 2r.sm- m判决域取决于信号星座的形状。判决域取决于信号星座的形状。带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率1622212( 3 )224avgAAA平均发送信号能量：平均发送信号能量：1. M=4的的QAM2214 ( 2 )24avgAA 两幅度，四相位两幅度，四相位QAM：四相信号：四相信号：结论：结论：两个信号集具有相同的差错性

13、能！两个信号集具有相同的差错性能！QAM的错误概率与信号点的星座图有关！的错误概率与信号点的星座图有关！两种信号星座图两种信号星座图Ad2minAAAA321错误概率主要取决于信号点之间的最小距离。错误概率主要取决于信号点之间的最小距离。带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率限制条件：限制条件： ，信号等概。，信号等概。172. M=8的的QAM26avgA平均发送信号能量：平均发送信号能量：主要研究四相信号星座图主要研究四相信号星座图22122211()()MavgmcmsmMmcmsmAAMAaaMAd2min图（图（a）,（c）：）：),(msmcaa由由A归一

14、化的信号点坐标归一化的信号点坐标26.83avgA图（图（b）：）：24.73avgA图（图（d）：）：(d)信号星座图要求的功率最小信号星座图要求的功率最小 最好的最好的8点点QAM星座图星座图比比(a)、(c) 小小1dB；比；比 (b) 小小1.6dB。带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率183. M16QAMl 圆周形多幅度信号星座圆周形多幅度信号星座对于对于AWGN信道，圆周形信道，圆周形16 QAM星座星座不是不是最好的。最好的。l 矩形信号星座矩形信号星座在两个正交载波上施加两个在两个正交载波上施加两个PAM信号来产生。信号来产生。kM2，k为偶数时为

15、偶数时QAM信号星座信号星座在两个正交载波上的在两个正交载波上的两个两个PAM信号信号等效为等效为其中每个具有其中每个具有 个信号点个信号点2/2kM 例：例：16QAM星座是星座是最佳最佳8QAM信号星座的推广信号星座的推广。容易产生，容易解调。容易产生，容易解调。带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率19正确判决概率正确判决概率21cMPAMPPM元元QAM的符号错误概率的符号错误概率203log12 11bavMPAMMPQMNM211M QAMMPAMPP 每一路每一路 元元PAM的错误概率为的错误概率为MPAMPM带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输

16、的最佳检测和错误概率2200203log3log114 111113log41bavbavM QAMbavMMPQQMNMNMMMQMN20lPAM，PSK：增加速率的代价是：增加速率的代价是6dB/bit QAM：增加速率的代价是：增加速率的代价是3dB/bitM元元QAM与与PAM，PSK性能比较性能比较QAM PSKM元元PSKM元元QAM0132 11sMPQMNM)/sin(22MQPsM比较比较两种类型的信号都是二维的。两种类型的信号都是二维的。QAM的功率效率的功率效率比比PAM和和PSK高高lPSK的优点在于包络是恒定的的优点在于包络是恒定的l在在M相同的情况下：相同的情况下：

17、带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率2logsbavM0ssN错误概率主要由错误概率主要由Q函函数的自变量支配！数的自变量支配！21两个两个Q函数自变量的比值函数自变量的比值：讨论：讨论：)/(sin2) 1/(32MMRMlM=4时：时：RM=1，4-PSK与与4-QAM具有同样的性能具有同样的性能lM4时：时：RM1，M元元QAM的性能比的性能比M元元PSK好好32-QAM比比32-PSK有有7dB的性能改善！的性能改善！带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率224.4 功限信号传输的最佳检测功限信号传输的最佳检测 和错误概率和错误概率

18、功限信号类型：正交信号，双正交信号，单纯信号等功限信号类型：正交信号，双正交信号，单纯信号等特点：高维星座表征，功率效率高，带宽效率低特点：高维星座表征，功率效率高，带宽效率低 234.4.1 正交信号传输的最佳检测正交信号传输的最佳检测 和错误概率和错误概率245.2 无记忆调制的最佳接收机性能无记忆调制的最佳接收机性能考虑等能量正交信号的传输考虑等能量正交信号的传输 N=M信号矢量信号矢量：12(, 0,0, 0)( 0,0, 0)( 0, 0,0,)MsssMkmkkmmsrsrsrC1),(m=1, 2, ，M最佳检测器：按最大互相关准则判决最佳检测器：按最大互相关准则判决选择最大者对

19、应的选择最大者对应的sm255.2 无记忆调制的最佳接收机性能无记忆调制的最佳接收机性能M个相关器组的输出：个相关器组的输出：121100()1()exprxP xNN第一个相关器第一个相关器输出的输出的PDF：111( ,)()rC r sn222( ,)rC r sn( ,)MMMrC r sn020/exp1)(NxNxPmmrm其余其余M-1个相关器个相关器输出的输出的PDF：m =2, 3, ，M11rn归一化处理后：归一化处理后：rm = nm假定发送信号假定发送信号s1，则接收矢量：，则接收矢量：112,Mrsnnnn265.2 无记忆调制的最佳接收机性能无记忆调制的最佳接收机性

20、能检测器检测器正确判决的概率：正确判决的概率：11111312)()|,(drrPrrnrnrnPPMc联合概率可以分解为联合概率可以分解为M-1个边缘概率之积个边缘概率之积边缘概率边缘概率mmrmdxxPrrnPm)()|(11111/2/2/)(21012drrPdxePMNrxc012/2/2/21Nrxdxe( r1 大于其余大于其余M-1个相关器输出个相关器输出nm的概率的概率)在给定在给定r1条件下，条件下，n1, n2, nM 同时小于同时小于r1 的联合概率的联合概率将这个联合概率在将这个联合概率在所有所有r1上平均上平均rm 统计独立统计独立m = 2, M正确判决的概率：正

21、确判决的概率：275.2 无记忆调制的最佳接收机性能无记忆调制的最佳接收机性能cMPP1符号错误概率符号错误概率（每个符号携带（每个符号携带k比特比特)212/2021111exp222MyxePedxydyN由于由于M个信号等概个信号等概上式就是平均符号错误概率上式就是平均符号错误概率l可以将可以将符号符号SNR比特比特SNR 的形式的形式转化为转化为0/ N0/ NbkM2l也可以将也可以将符号符号 Pe等效等效二进制错误概率二进制错误概率Pb转化为转化为121eekPPM等概情况下等概情况下,所有符号错误都是等概的，发生的概率都为：所有符号错误都是等概的，发生的概率都为：每个符号的每个符

22、号的平均比特差错数：平均比特差错数：1122121kkeekknkPnkPn 一个符号一个符号 (K个比特个比特) 中中有有n比特差错比特差错的情况：一共有的情况：一共有 种。种。nkbk每个符号传送每个符号传送k比特比特285.2 无记忆调制的最佳接收机性能无记忆调制的最佳接收机性能除于除于k，得到，得到平均比特错误概率：平均比特错误概率：121212kbeekPPP注意：注意： 为了达到给定的比特错误概率，为了达到给定的比特错误概率，增加波形增加波形个数个数M可以减少对比特可以减少对比特SNR的要求的要求。例：例：Pb=10-5 时时M=2 SNR大约为大约为12dBM=64 SNR大约为

23、大约为6dB节省了节省了6dB !问题：问题： 当当M 时，为了达到任意小的错误概时，为了达到任意小的错误概率，所要求的最小率，所要求的最小SNR是多少？是多少？295.2 无记忆调制的最佳接收机性能无记忆调制的最佳接收机性能(2)0kekMP 即时，Shannon极限极限 在在 k （即（即M=2k ）的极限情况下，达到任意小的）的极限情况下，达到任意小的错误概率所要求的最小错误概率所要求的最小SNR为为-1.6dB.结论：结论：)6 . 1(693. 02ln0dBNb若：若：当：当：305.2 无记忆调制的最佳接收机性能无记忆调制的最佳接收机性能正交信号传输的特例：正交信号传输的特例：F

24、SK 频率间隔：频率间隔：l 为正整数为正整数注意：注意：正交正交FSK信号信号2lfT 错误概率：同上错误概率：同上 保持正交性的频率间隔并不能使错误概率最小！保持正交性的频率间隔并不能使错误概率最小！ 可以证明：二进制可以证明：二进制FSK错误概率最小时的错误概率最小时的0.715/fT （FSK变为正交信号的要求）变为正交信号的要求）315.2 无记忆调制的最佳接收机性能无记忆调制的最佳接收机性能双正交信号传输的最佳检测和错误概率双正交信号传输的最佳检测和错误概率解调：解调：1, 0, 0s用用M/2个互相关器或匹配滤波器个互相关器或匹配滤波器假定发送信号假定发送信号s1(t)，相应的信号向量：相应的信号向量：由由M/2个正交信号及其个正交信号及其M/2个负值信号构成个负值信号构成双正交信号：双正交信号：12,Nrnnn接收信号向量