章末复习课2019(秋)数学必修第三册人教B版(新教材)改题型

1、要点回顾网络构建特殊角枸三章末复习课弧长与Lh卜：而任篁角的概念三角国教他I各攀附的符号打也偏 的=用函同m三例函敦皋柔式求伯.、化冏、J用归5核心归纳1 .三角函数的概念重点掌握以下两方面内容：理解任意角的概念和弧度的意义，能正确迅速进行弧度与角度的换算.掌握任意的角a的正弦、余弦和正切的定义，能正确快速利用三角函数值在各 个象限的符号解题，能求三角函数的定义域和一些简单三角函数的值域.2 .同角三角函数的基本关系式能用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值和三角恒等式的证明；能逆用公 式sin2 a+ COS2 a= 1巧妙解题.3 .诱导公式能用公式一至公式四将任意角的三角函数化为锐角三

2、角函数，利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记所有诱导公式.善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用，通过这些公式进行化简、求值，达到培养推理运算能力和逻辑思维能力的目的.4 .三角函数的图像与性质函数y= sin xy= cos xy=tan x图像4定义域RR冗 k九一立，.九k tt+ 2 (k C Z)值域T, 1-1, 1(00, + °0)最值 .九x= 2k 冗+ 2(kCZ)时，ymax= 1; 兀 x=2kn 2(kZ)时，ymin= 1x=2k：t (kZ)时， ymax= 1;x=2k：t+ HkCZ)时， ymin= - 1无取大、最小值周期性周期 T

3、=2k：t (kZ)周期 T = 2k：t (kC Z)周期 T= kn (kZ)奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2k：t 2, 2k兀+ 2(k Z)上都是增函数；在2旧金，2k：t+ 32(k Z)上都是减函数在2kL兀，2k兀(kZ)上都是增函数；在2k：t, 2k：t+ 兀(kZ)上都是减函数在每个区间(k：t-,k7t+* (kC Z)上都是增函数对称性轴对称图形，对称轴力 程是冗.,、x=k：t+ 2， k Z；中心 对称图形，对称中心是(k：t, 0) kCZ轴对称图形，对称轴方程th x k kC Z;中心对称图形，对称,、一冗中心是k：t+ 2, 0kCZ中心对称图形，对称中

4、,一 k兀心是,0 (kZ)5 .三角函数的图像与性质的应用(1)重点掌握“五点法”，会进行三角函数图像的变换，能从图像中获取尽可 能多的信息，如周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、中心对称等， 如最高点、最低点与对称中心之间位置关系等.能从三角函数的图像归纳出函数的性质.(2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性.在运用三角函数性质解题时，要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、化归转 化思想将综合性较强的试题完整准确地进行解答 .要点聚焦nmmmmihiiiii 分类突破 I M I要点一 任意角的三角函数的定义及三角函数线掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义

5、及三角函数线，能够利用三角函数的定义 求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数值的符号， 借助三角函数线求三角 函数的定义域.【例11求函数y= 4sin x+ cosx的定义域.sin x>0,解由题意知 icos x 2>0,sin x>0,即 1cos X> 2，如图，结合三角函数线知：2k嫉x02k肝兀(kC Z),冗 冗，2kL3<x<2k3 (k Z),一，i冗解得 2k后x<2k- (k Z),3函数的定义域为 一 一 一 九一 x|2k 后x< 2k 兀+ 3, k Z .【训练 11设 f (x) =yjl 2sin x.(1)

6、求f (x)的定义域；(2)求f (x)的值域及取最大值时x的值.解 (1)由1 2sin x>0,根据正弦函数图像知：513九 _定义域为x|2k：t+ 6后x< 2k兀十 方，kCZ.1(2) - -1<sin x<2，0<1-2sin x<3, .f (x)的值域为0,回3.3 冗 ,当x=2k：t+ -2-, k Z时，f (x)取得最大值.要点二同角三角函数的关系式及诱导公式(1)牢记两个基本关系式sin2a+ coS2 - 1及'si詈 = tan %并能应用两个关系式 COS oc进行三角函数的求值、化简、证明.在应用中，要注意掌握解题

7、的技巧，同时要 体会数学思想方法如数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想及函数与方 程思想的应用. 兀. 一 .(2)诱导公式可概括为k2±a (kZ)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是： 奇变偶不变，符号看象限.其中的奇、偶是指2的奇数倍或偶数倍，变与不变是指 函数名称的变化.若是奇数倍，则函数名称变为相应的异名函数(即正余互变)； 若是偶数倍，则函数名称不变.符号看象限是指把 a看成锐角时原函数值的符号 作为结果的符号.【例 2】已知 J+Jan 2 = 4,求(sin 0 3cos ® (cos 0 sin 0)的1+tan (2九一8)值.2+tan 0解法一

8、由已知二4,1 tan 02+ tan 8= 4 (1 tan 0),解得 tan 4 2.(sin 0 3cos 0) (cos 0 sin )0 =4sin 0cos 0 sincos2 811. sin2 0+ cos2 0 tan2 0+ 1 5【训练2 已知a是三角形的内角，且sin什cos a=15(1)求tan a的值; 1 (2) 把溢2sin2 用tan a表小出来，并求其值 .1sin a+ cos a=c,解 (1)法一联立方程5 sin2 a+ cos2 a= 1 , 由得cos a= 1 sin %将其代入, 0 3coj 04sin 0cos 0 sin2 0 3c

9、o$ 0=77sin2 升 cos2 04tan 0 tan2 8 3 8 43 1= 二 =二.tan2 时 14+1整理得 25sin2a 5sin a12 = 0.2 +tan 0法二 由已知二4,解得tan 8= 2.1 tan 0.sin 0八.八八 八即cco a= 2, sin 0= 2cos Hcos(sin 0 3cos 0) (cos 0 sin 0)2八sina是二角形内角,sin a>0,4 a= 5,3 cos a= 1 5,= (2cos 0 3cos 0) (cos 0 2cos =cos 0.tan ：. 3法二 sin a+ cos1 a= 5,(sin

10、 什 cos a) 2即 1 +2sin ocos a：24= 25,2sin ocos a= 25,224 49(sin a cos a) = 1 2sin ocos cif= 1 + 25= 25.12a< tt,ocos a= < 0 且 0<25二 sina>0, cos o<0, sina cos A 0,二 sinsin由sina+ cosa cos tan4 3.(2)cos a一tari2 a+ 1二2，1 tan a1 a= 5,7 a= 5,sincos a=35,sin2 a+ cos2 asin2 升 coa= z - =cos2 asin

11、2 a cos2 a sin2 a cos2 a sin2 a2cos a tan k4, 31tan2 a+ 1 二cos a sin2 a 1 tan2 a1-243 +1257 .要点三三角函数的图像及变换三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现.在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质.具体要求:7a cos c=厂，5'(1)用“五点法”作y= Asin (x+小)的图像时，确定五个关键点的方法是 分别令x+(|)= 0,兀，32, 2 7t.(2)对于v= Asin (x+小)+b的

12、图像变换，应注意先“平移”后“伸缩”与 先“伸缩”后“平移”的区别.(3)由已知函数图像求函数y=Asin (x+小)(A>0,>0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A,由周期确定，由适合解析式的点的坐标来确定 也但由图像求得的y=Asin (x+小)(A>0,>0) 的解析式一般不是唯一的，只有限定小的取值范围，才能得出唯一的解，否则小 的值不确定，解析式也就不唯一.【例3】已知函数f (x) = Asin (叶小)(A>0, w>0, 0<必< 九)在一个周期内白图像如图所示.(1)求y=f (x)的解析式；

13、(2)若函数y= g (x)与y=f (x)的图像关于直线x=2对称，求y= g (x)的 解析式.解 (1)由题意知 A=2, T=7 (1) =8,2_5 5故=T = 4.:图像过点(一1, 0), 4+ Q0.；小=4.冗 冗所求的函数解析式为f (x) =2sin4x+4 .(2) vg (x)与f (x)的图像关于直线x=2对称，- g (x)的图彳a是由f (x)沿x轴平移得到的，找出f (x)上的点(1, 2)关于, 冗冗直线x=2的对称点(3, 2),代入g (x) =2sin4x+ 8,得 仁4, 一二一，一,冗 冗g (x)的解析式为 g (x) =2sin4x4.【训练

14、3】 已知函数f(x)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式可能为().、 一 . x 冗A.f (x) =2sin 2-6一 /、厂，.九B.f (x) =q2cos4x+ 4x 九C.f (x) =2cos2 3一 一 ，、 一.,几D.f (x) = 2sin 4x+' /6解析由图像知周期T=4砥19= 2,排除B、D;由f (0) =1,可排除A.答案 C要点四三角函数的性质 应掌握y= sin x, y=cos x, y=tan x的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性 等有关性质，在此基础上掌握函数 y=Asin （叶小），y=Acos （x+小）及y= Atan（cox

15、+9的相关性质.在研究其相关性质时，将 x+小看成一个整体，利用 整体代换思想解题是常见的技巧._ _ 一， 一_ 九 .一 九一.【例 4】已知 a>0,函数 f (x) =2asin2x+ 6 +2a+b,当 xC 0,-时,-5<f (x) < 1.（1）求常数a, b的值;、一兀 一.一，(2)设 g (x) =f x+2 ,且 1g g (x) >0,求 g (x)的单调区间.解(1) . x 0, 2 ,jt6'7jt6 . c , 11"sin 2x+6 ' 2，1，一.一九 L - 2asin 2x+$ C 2a, a., f

16、(x) b, 3a+ b,又 丁 -5<f (x) < 1 , .b= 5, 3a+ b= 1,因止匕a = 2, b= 5.(2)由(1)得 a=2, b= 5,一，、 ， 一 .九 . f (x) = 4sin 2x+6 1,g (x) = f x+ 2 = 4sin 2x+ 今一1.八，九.= 4sin 2x+6 1,又由 1g g (x) >0 得 g (x) >1,.,一,冗 ， 4sin 2x+ 1>1, 6，. . 八 , 1 1 sin 2x+z 622k：t+袅2x+<2kTt+4, kCZ, 666 5,冗冗 _冗、，,冗其中当 2k：t

17、+ 6<2x+6<2kTt+ 2, kCZ 时，g (x)单调递增，即 k：K x< 心+ 6,k Z, Tt g (x)的单调增区间为 kw kTt+ 6 , k Z. ,冗冗5冗.一、一、. 一九又丁当 2k：t+ 2<2x+6<2kTt+ -, kCZ 时，g (x)单调递减，即 k什6Vx<k：t九,一+ o, k Z. 3 冗冗 .g (x)的单调减区间为 k什6，kTt+ 3 , k Z.【训练4】已知f (x)是定义在R上的偶函数，对任意实数x满足f (x+ 2)= f(x),且f (x)在 3, 2上单调递减，而% B是锐角三角形的两个内角，求证：f (sin >f (cos 位.证明 vf (x+ 2) =f (x),；y= f (x)的周期为2. .f (x)在1,