应用平面向量基本定理解题题型归纳

1、平面向量基本定理常用题型归纳何树衡刘建一平面向量基本定理：如果 e；,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且仅有一对实数 儿,心使得2 =儿自 十九21平面向量基本定理是正交分解和坐标表示的基础，它为“数”和“形”搭起了桥梁，在向量知识体系中处于核心地位.笔者对近十年高考有关平面向量基本定理题目作了系统研究，认为大致分为以下题型：一、基本题型随处可见1.1 直接利用九，九2唯一性求解例1:在直角坐标平面上，已知 。是原点，OA= (2,Y),OB = (-2,-2),若xOA + yOB =3AB ,求实数x,y的值解：xOA + yOB = x(2,M) +

2、y(-2-2) = (2x -2y,-4x-2y)2x-2y = -12，x = -3口门 4 c % c，即x为一3, y为3.-4x-2y=6j =31.2 构建三角形，利用正余弦定理求解例2：如图，平面内有三个向量OA,Ob,OC ,其中OA与OB夹角为120。，oA与oc 的夹角为 30o, OA =OB|=1,OC=2V3 ,若OC = kOA+nOb(九,Rw R),则解：过C作CD/ OB交OA的延长线于 D,在RtAODC,OC OD CD |一|一=-_DC =2, OD =4,即九=4, 口=2 sin 60* sin 90 0 sin 30 011二、共线问题仅考常新/&

3、quot;C、2.1感受平面内论在解题中简而快捷。O一-D常用结论：点O是直线l外一点，点A, B是直线l上任意两点，求证:直线上任意一点P,存在实数t,使得OP关于基咚AQA,OB的分析式为OP =（1t）OA tOB/P反之，若OP=（1-t）OA+tOB则A, P, B三点共线一、1B（特别地令t=l, opJoaJob称为向量中点公式） 222例 3:在 ABC中，AN =1 NC , P是 BN上的一点，若 AP = mAB+AC ,则 311实数m的值为1解：: AN = NC , 3 B,P,N三点共线，又 AP =mAB 112.2感受向量数形二重性在证明平面几何中独特魅力例4

4、:在平行四边形 OAC井，BD=1BC, Og BA相交于E,求证：BE=1 BA 34证明：如图，设 E'是线段BA上的一点，且BE =1BA,只需证E, E'重4合即可1 1 设 OA=a, OB=b, BD = a OD=b+a331.3 . 1 -3-b） = 一（a 3b） = 一（b a） 二 一 OD Y 11OE'=OB BE'=bBA=b （a44.OE ,D三点共线，E,E'重合，. BE=1BA 4三、区域问题渐成热点由平面内三点共线定理拓展可以研究区域问题，为解决线性规划问题画出可行域提供理论上依据和操作上的便利，也可以解决向量中

5、类似于点所在位置 问题.定理：设O,A,B为平面内不共线的三个定点，动点C满足OC =xOA + yOB（x, ye R）,记直线 OA OB AB分别为l oa, l。41 ab,平面被分成如图7个部分（I VH ）,得出结论表（1）,表（2）7/，B充要条件/ x,y满足条:人1动点C所在区域（不含边禀'_纱K°,iI/x>0, y>0 且 x+y<1nx>0, y>0 且 x+y>1mx>0, y<0 且 x+y>1IVx>0 , y>0 且 x+y>1 或x<0,y>1VX<0,

6、0<y< 1VI0<x< 1,y<0vnX<0,y<0表(2)f充要条件动点c在线上x,y所满足条件相同特征不同特征C在线段AB上x+y=1x>0,y>0C在线段AB的延长线上x<0,y>0C在线段BA的延长线上x>0,y<0C在线段OA上y=00<x<lC在线段OA的延长线上x>1C在线段AO的延长线上x<0C在线段OB上x=00<y<lC在线段OB的延长线上y>1C在线段BO的延长线上上y<0在近十年高考题中，区域问题常以下面两种题型出现3.1动点所在位置定，判断系

7、数满足条件例5:如图，平面内的两条相交直线 OP和OP将该平面分割成四个部分,I , n ,m，IV（不包括边界），若OP = aOR+bOP2,且点P落在第m部分，则实数a,b满足（A.a>0,b>0B.a>0,b<0T P2OIVC.a<0,b>0D.a<0,b<0答案：B例6:如图OM AB,点P在射线OM射线OB及AB的延长线围成的阴影部，当 x= 分内（不含边界）运动，且 OP = xOA+yOB,则x的取值范围是1时，y的取值范围是213一 :二 y :二一22解：QM殳 OS/ 1能在线段ST上S作OB平行线交ABMkS'线

8、#TXTOP的终点P只答案：x<0由区域 V 性质得 x<0,0<y01,当 OS=1AB=1(OBOA)= 1OA + 1OB ,2222此时y=l,当T在AB的延长线上时，由表(2)得C在线段AB延长线上时x<0, y>0 2且 x+y=1二. OP= 1 OA + yOB ,- - +y=1：. y=3 即1<y<3222223.2系数满足条件定，判断动点所在位置例 7: 平面上定点 A、 B 满足 OA卜pB卜OAOB = 2 , 则点 POP=KOA+NOB, K|+|H E1(九* w R)所表示的区域面积是(中 )A. 2理B. 2 73

9、C. 4V2% 缈B答案：DAwOVx解：令OA与x轴的非负半轴重合，Ob在第一象限内BOA|=OB =OA OB cos / AOB=2. / AOB三.在第一象限，K>0, N>0OP = ?一OA + nOB.九+ N01P点形成图形的面积为 &aob=OA|Ob卜in /AOB=1 X2X2X sin | = 3,同理Sa a OB = 73Sv b/ ab=4 V3巩固练习及参考答案1 .已知 a =(1,2),b = (3,4),c = (15,22),若展=13,2b，求：X,.2 .已知 4ABC和点 M 满足mA + MB +MC = 0 ,若存在实数 m使得AB AC =mAM 成立，贝U m=()A. 2B. 3C. 43.如右图, 点，点N在边D. 5在 ABC中，点M是BCAC 上，且 AN=2NC AM的中与BNM相交于点P,求AP:PM的值.4.已知平行四边形 ABCD点P为四边形内部或者边界上任意一点，向量1 2广，AP=xAB + yAD ,贝 U O< x< -, O < y< -的概率是（）2 3A. -B. -C. -