古扎拉蒂-计量经济学课件

1、第一节计量经济学 一、什么是计量经济学？ 计量经济学诞生于20世纪20年代末30年代初 是经济学的一个分支学科 20世纪20年代，挪威经济学家弗里希（R.Frish）将它定义为经济理论、统计学、数学三者的结合 三、计量经济学与经济计量学 计量经济学：强调它是一门经济学科，强调它的经济学内涵与外延 经济计量学：强调经济计量的方法，是估计经济模型和检验经济模型 四、模型与计量经济学模型 语义模型：用语言描述现实 如：产出量是由资本、劳动、技术等投入要素决定的 物理模型：用简化的实物描述现实 如：一栋楼房的模型 几何模型：用图形描述现实 如：一个零部件的加工图 计算机模拟模型：用计算机技术描述现实

2、如：人工神经元网络技术 数学模型：用数学语言描述现实 经济数学模型：用数学方法描述经济活动 如数理经济模型，计量经济模型区分数理经济模型与计量经济模型区分数理经济模型与计量经济模型LKAeQLKTfQrt),(如：6756. 03608. 00128. 06479. 021LKeQLKAeQtrt、如：五、计量经济学的内容体系 1、广义计量经济学和狭义计量经济学 广义计量经济学：利用经济理论、数学、统计学定量研究经济现象的经济计量方法的统称。包括回归分析方法、投入产出分析方法、时间序列分析方法，等等 狭义计量经济学：以揭示经济现象的因果关系为目的，主要应用回归分析方法 单方程模型：研究单一经济

3、现象，揭示单向因果关系 联立方程模型：研究一个经济系统，揭示复杂的因果关系 2、初、中、高级计量经济学 初级：数理统计学基础知识，经典线性单方程模型的理论与方法。 中级：矩阵描述的经典线性单方程模型理论与方法，经典线性联立方程模型理论与方法，传统的应用模型。 高级：非经典的、现代的计量经济学模型理论、方法与应用 本书属于初、中级计量经济学 3、理论计量经济学和应用计量经济学 理论计量经济学：以介绍、研究计量经济学的理论与方法为主要内容，侧重于理论与方法的数学证明与推导 数学理论基础 参数估计方法 检验方法 应用计量经济学：以建立、应用计量经济学模型为主要内容，侧重于实际问题的处理。 4、经典计

4、量经济学和非经典计量经济学 经典计量经济学理论方法特征： 模型类型：采用随机模型 模型导向：以经济理论为导向 模型结构：因果关系的线性模型 数据类型：时序数据，截面数据 估计方法：最小二乘法、最大或然法 应用方面的特征： 方法论基础：实证分析，经验分析，归纳 功能：结构分析，政策评价，经济预测，理论检验与发展 应用领域：生产，消费，投资，货币需求，宏观经济 非经典计量经济学 即现代计量经济学 包括：微观计量经济学、非参数计量经济学、时间序列计量经济学、动态计量经济学 参考高级计量经济学 模型类型：1977年以后的半参数回归模型和无参数回归模型 参数估计方法：广义矩方法 数据类型：平行数据、离散

5、数据、受限数据、持续数据 本书:以经典计量经济学为主,并介绍简单的应用较多的非经典计量经济学 微观计量经济学和宏观计量经济学 微观计量经济学 属于非经典计量经济学 内容:对个人和家庭的经济行为进行经验分析 微观数据:截面数据和平行(panel)数据 宏观计量经济学 属于经典计量经济学 内容:对宏观经济进行分析、评价、预测 目前研究方向：单位根检验，协整检验，动态计量经济学六、计量经济学是一门经济学科 计量经济学的定义： 计量经济学是定量化的经济学或经济学的定量化：是经济理论、统计学、数学三者的结合。 计量经济学的地位 计量经济学是严格区别于数理统计学的 建立计量经济模型的全过程，都需要以经济理

6、论为指导，以对经济现象的深入认识为基础。第二节第二节建立计量经济学模型的步骤和要建立计量经济学模型的步骤和要点点建模背景： 对象:经典单方程计量经济学模型 揭示客观存在的因果关系 采用回归分析的方法建模步骤 一、理论模型的设计目的因素变量理论模型 1、确定模型所包含的变量 可作为解释变量：外生经济变量，外生条件变量，外生政策变量，滞后被解释变量 外生条件变量，外生政策变量，通常以虚变量形式出现 因素与变量 正确选择解释变量： 经济学理论与经济行为规律 变量数据的可得性 变量之间的关系,要求相互独立LKAeQrt如： 2、确定模型的数学形式 主要依据经济行为理论 数理经济学：生产函数、消费函数、

7、需求函数、投资函数 作散点图 各种形式尝试拟合 3、拟定理论模型中待估参数的理论期望值 依据参数的经济含义确定 如： 、 ：资本、劳动产出弹性， ：技术进步速度，A：效率系数01， 0 1 ，0 1(接近0)，A0LKAeQrt 二、样本数据的收集 1、几类常用的样本数据 时间序列数据 样本区间经济行为的一致性如纺织业，以80年代中期作为分界线 样本数据的可比性（价格） 样本观测值过于集中的问题 模型随机误差项序列相关的问题 截面数据 样本与母体的一致性 模型随机误差项的异方差问题 虚变量数据 2、样本数据的质量 完整性：各变量得到相同容量的样本观测值 准确性：数据准确，且数据间相互对应 可比

8、性 统计范围 价格 一致性：母体与样本的一致性 三、模型参数的估计 四、模型的检验 1、经济意义检验：参数估计量与理论期望值的符号、大小、相互之间的关系是否合理？ 符号： 大小： 参数之间的关系：木材消耗量电力消耗量职工人数固定资产原值煤炭产量00256. 00068. 015. 000067. 0108)(51. 0)(85. 169. 2)(职工人数固定资产原值煤炭产量LnLnLn)(40. 6)(20. 169. 3)(日用品类价格人均收入人均购买日用品支出额LnLnLn 2、统计检验 拟合优度检验 变量的显著性检验 方程的显著性检验 3、计量经济学检验 随机误差项的序列相关性检验 异方

9、差性检验 解释变量的多重共线性检验 4、模型预测检验：参数估计量稳定性检验（超样本特性） 利用扩大了的样本重新估计模型参数，检验其与原来估计值的显著性 用于样本以外的实际预测，检验预测值与实际值的显著性 五、计量经济学模型成功的三要素 理论：经济理论，所研究的经济现象的行为理论 方法：模型方法和计算方法 数据：信息 六、计量经济学软件 Eviews SPSS SAS第三节计量经济学模型的应用 一、结构分析：对经济现象中变量之间相互关系的研究 弹性分析 弹性：某一变量的相对变化引起另一变量的相对变化的度量，即变量的变化率之比 乘数分析 乘数：某一变量的绝对变化引起另一变量的绝对变化的度量，即变量

10、的变化量之比，也称倍数 乘数从简化式模型获得 结构式模型的解释变量中可以出现内生变量 简化式的解释变量中全部为外生或滞后内生变量 比较静力分析：是比较经济系统的不同平衡位置之间的联系，探索经济系统从一个平衡点到另一个平衡点时变量的变化，研究系统中某个变量或参数的变化对另外变量或参数的影响。 弹性分析、乘数分析都是比较静力分析的形式 二、经济预测 经济预测不理想的原因 非稳定发展的经济过程 缺乏规范行为理论的经济活动 模型的建立滞后于经济现实与经济理论 三、政策评价 研究不同的政策对经济目标所产生的影响的差异 方法： 工具目标法：根据预测目标值求解政策变量值 政策模拟 最优控制方法：计量经济学模

11、型与最优化方法结合 四、检验和发展经济理论 检验理论：根据经济理论 建立模型 以样本数据进行拟合 发现和发展理论：样本数据 拟合模型 得出经济规律第二章经典单方程计量经济学模型:一元线性回归模型定义：定义：单方程计量经济学模型：以单一经济现象为研究对象，模型中只包括一个方程。分类：分类：1、线性模型、线性模型线性回归模型：是线性模型中的一种。用回归分析方法回归分析方法建立的线性模型，以揭示经济现象中的因果因果关系关系。2、非线性模型、非线性模型第二章第二章第一节第一节回归分析概述回归分析概述一、回归分析基本概念1、变量间的相互关系变量间的关系可分为两类：（1）确定的函数关系（确定性现象之间的关

12、系）（2）不确定的统计相关关系（非确定性现象之间的关系） 如农作物产量Y与施肥量X的关系2rS2、相关分析与回归分析（1）相关的形式：线性相关与非线性相关（2）线性相关程度的衡量： 两个变量： 多个变量的线性相关程度：复相关系数， 偏相关系数22)()()()()()()()()()(),(YYXXYYXXrYVarXVarYEXEXYEYVarXVarYXCovXYXY样本相关系数总体相关系数(3)回归分析的前提：相关密切且有因果关系二、总体回归函数 （双变量）总体回归函数是： 线性总体回归函数：)()/(iiXfXYEiiXXYE10)/(三、随机干扰项)()/(iiXfXYEiiXXYE

13、10)/(iiiiiXfXYEY)()/(iiiiiXXYEY10)/(为随机干扰项称i随机干扰项主要包括下列因素的影响：（1）代表未知的影响因素（2）代表无法获得数据的变量（3）代表众多细小影响因素（4）代表数据观测误差 （5）代表模型设定误差 （6）变量的内在随机性四、样本回归函数 总体回归函数实际上是通过样本回归函数来估计的。iiiXXfY：10)(样本回归函数iiiiieXYY：10样本回归模型第二章第二章第二节第二节一元线性回归模型的参数估计一元线性回归模型的参数估计一、一元线性回归模型的基本假设一元线性回归模型的基本假设：niXYiii,2,110模型的基本假设，也就是应用普通最小

14、二乘法的前提。对于上述模型，其基本假设是：（1）Xi是确定性变量，不是随机变量，而且在重复抽样中取固定值（2）随机误差项0均值、同方差、不存在序列相关：E(i )=0 i=1,2, ,n Var(i )=2 i=1,2, ,n Cov(i , j )=0 ij i,j=1,2, ,n（3）随机误差项与解释变量之间不相关： Cov(Xi , i)=0 i=1,2, ,n（4）随机误差项服从0均值、同方差、0协方差的正态分布：iN(0,2 ) i=1,2, ,n注意： 假设(1)(2)成立,则假设(3)成立 假设(4)成立,则假设(2)成立0)()()()(),(iiiiiiiiiiEEXEXEX

15、EXEXCov (5)随着样本容量的增加,解释变量X的方差趋于一个有限的常数,即: (6)回归模型是正确设定的.时当nQnXXi,)(2二、参数的普通最小二乘估计二、参数的普通最小二乘估计(OLS) 简称OLS（Ordinary Least Square） 设所估计的直线方程为：niXYiii, 2 , 110使Q值达到最小，从而得到0和1 的估计值：niiiYYQ1210、OLS的判断标准(最小二乘法原则)：实际值与估计值的离差平方和达到最小。令 的求解10、niiiniiiXYYYQ121012)(0)()(20)1()(211011100niiiiniiiXXYQXYQ21010iiii

16、iiXXYXXnY2212220)()(iiiiiiiiiiiiiXXnYXYXnXXnYXXYXXYnXnYXnYiiii101010:)4 . 2 . 2(第一个方程由2121221221222122122121221221)()(2)(2)()(2)()(: ) 5 . 2 . 2 (iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixyxXXYYXXXXXXYYXXXXnXnXYYXYYXXnXnXYXXYYXYXXnXYXnYXnYXnYXXnXYXnYXXXXYXYXnXXnYXYXXXnYXYXn由式样本回归函数的离差形iiiiiiiiiiii

17、ixyenXXeXXYYyeXYeXYXYXY111010101010101)()()(三、参数估计的最大似然法三、参数估计的最大似然法(ML)(一)最大似然法的思路 如果已经得到了n组样本观测值，它可能来自不同的总体，在这些可供选择的总体中，哪个总体最可能产生已经得到的n组样本观测值呢？使取得n组样本观测值的联合概率为最大的那个总体。(二)最大或然法与最小二乘法的区别1、最大或然原理比最小二乘原理更本质地揭示了通过样本估计总体参数的内在机理。2、参数估计的原理不同 最小二乘法最小二乘法：离差平方和最小，使模型最好地拟合样本数据。最大似然法最大似然法：使得从模型中抽取该n组样本观测值的概率最大

18、。(三)相关概念或然函数：样本观测值联合概率函数。极大似然法：使或然函数极大化以求得总体参数估计量的方法。(四)实例分析如一元线性回归模型：E(i )=0 ， Var(i )=2， i N(0, 2)则：niXYiii,2,110),(210iiXNY复习：xN(, 2),那么，由于所以，计算或然函数为L( )=P(Y1,Y2,Yn)22)(2121)(axexf),(210iiXNY2)(2110221)(iiXYieYP210,2102)(212)2(1iiXYnne2102)(21)2ln()ln(iiXYnLL210)(iiXY2102)(212)2(1iiXYnneL即0)()(20

19、) 1()(211011100niiiiniiiXXYQXYQ21010iiiiiiXXYXXnY四、最小二乘估计量的性质(1)线性性(2)无偏性(3)有效性估计量的小样本性质小样本性质，最佳线性无偏估计量，最佳线性无偏估计量(BLUE)(4)渐近无偏性(5)一致性(6)渐近有效性估计量的大样本或渐近性质样本或渐近性质高斯高斯马尔可夫定理马尔可夫定理(Gauss-Markov theorem) 在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量。1、线性性、线性性线性特性是指参数估计值 分别是 的线性组合。因为：iiiiiiiiiiiiiYkxxYxYxxYYxxyx22

20、221)(10、iiy或随机误差项iiiiiiiiYwYXknXYkYnXnYXY)1(11102、无偏性：、无偏性：参数估计量参数估计量 的均值（期望）等的均值（期望）等于模型参数值。即于模型参数值。即 证证：iiiiiiiiiikXkkXkYk10101)(由于 02iiixxk，1)()(222222iiiiiiiiiiiiiiixxXxxxXxxxXXXxxXxXk故：iik11 1111)()()(iiiiEkkEE 1100EEiiiiiiiiiiwXwwXwYw10100)(由于：11)/ 1 (iiikXkXnw 01)/ 1 (XXXkXXnXkXnXwiiiiiii故： i

21、iw00 0000)()()()(iiiiEwEwEE3、有效性：、有效性：在所有线性、无偏估计量中，最在所有线性、无偏估计量中，最小二乘估计量具有最小方差。小二乘估计量具有最小方差。22222222221021)()()()()()()(iiiiiiiiiiiiiixxxxxVarkXVarkYkVarYkVarVar222222222222222222222222222222222222222222222210202)2()(1)(0212112)1(12)1()1()()()()()(iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixnXxnXnXnXXXxnXnXXXX

22、xnXnXXxnXnxxXnxxXXnnkXkXnnnkXkXnnkXkXnnkXnwVarwXVarwYwVarYwVarVar证明最小方差性假设*1是其他方法得到的关于1的线性无偏估计量： iiYc*1其中，iiidkc，id为不全为零的常数。iiiiiiiiiXccXcYEcYcEE1010*1)()()()(由*1的无偏性，即1*1)(E可知： 110iiiXcc从而有： 0ic，1iiXc*1的方差 2222*1)var()var()var()var(iiiiiiiccYcYc =iiiiiidkdkdk22222222)(由于 2)(iiiiiiiikckkckdk =011222

23、222iiiiiiiiiiixxkxcXcXkcxx故 22122222222*1)var(1)var(iiiiiddxdk因为 02id所以 )var()var(1*1当0id， （ni,2 , 1 ）等号成立，此时：iikc ，*1就是 OLS 估计量1。同理可证明 )var()var(0*0Sampling distribution of OLS estimator 1 and alternative estimator *111*11)()( EE1*14 4、结论、结论 普通最小二乘估计量具有线性性、无偏性、最小普通最小二乘估计量具有线性性、无偏性、最小方差性等优良性质。方差性等优良

24、性质。 具有这些优良性质的估计量又称为具有这些优良性质的估计量又称为最佳线性无偏最佳线性无偏估计量估计量，即，即BLUE估计量估计量（the Best Linear Unbiased Estimators）。）。 显然这些优良的性质依赖于对模型的基本假设。显然这些优良的性质依赖于对模型的基本假设。 全部估计量 线性无偏估计量 BLUE估计量Back1112121212121212111111110)()()()()()()()()()()()()()(limlim)lim)lim()lim()lim(:1)(lim()lim(QXVarXCovXXEEXEXEXXEXEXXEXXEXXEXXE

25、xExEnxPnxPxxPPkPPPPiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii证明的一致性证明五、参数估计量的概率分布与随五、参数估计量的概率分布与随机干扰项方差的估计机干扰项方差的估计1、0和和1的概率分布的概率分布 首首先先，由于解释变量iX是确定性变量，随机误差项i是随机性变量，因此被解释变量iY是随机变量，且其分布（特征）与i相同。其次其次，0和1分别是iY的线性组合，因此0、1的概率分布取决于 Y。在是正态分布的假设下，Y 是正态分布，因此0和1也服从正态分布，其分布特征（密度函数）由其均值和方差唯一决定。因因此此： ),(2211ixN， ),(22200iixn

26、XN1ii222221001:iiixnXx的标准差分别为和 2、随随机机误误差差项项的的方方差差2的的估估计计 在估计的参数0和1的方差和标准差的表达式中，都含有随机扰动项方差2=)var(i。2又称为总总体体方方差差。 由于2实际上是未知的，因此0和1的方差与标准差实际上无法计算。由于随机项i不可观测， 只能从i的估计残差ie出发，对总体方差2进行估计。可以证明可以证明：总体方差2的无偏估计量无偏估计量 为 222nei (2.2.14) 在总体方差2的无偏估计量2求出后， 估计的参数估计的参数0和和1的方差和标准差的估计量的方差和标准差的估计量 分别是：1的样本方差：1的样本标准差： 0

27、的样本方差： 0的样本标准差： Back)16. 2 . 2(2221ixS)17. 2 . 2(21ixS)18. 2 . 2 (22220iixnXS)19. 2 . 2(220iixnXS第二章第三节一元线性回归模型的统计检验一、拟合优度检验拟合优度检验：拟合优度检验：检验模型对样本观测值的拟合程度。最小二乘法所保证的最好拟合最小二乘法所保证的最好拟合与拟合优度检验拟合优度检验最小二乘法所保证的最好拟合：同一问题内部的比较（指最小二乘法比其它方法能更好地拟合）拟合优度检验：是不同问题的比较（变量的变化、增减、模型形式的改变）消费总额消费总额人均可支配收入国内生产总值1、总离差平方和的分解

28、、总离差平方和的分解22)(YYyTSSii总离差平方和22)(YYyESSii回归平方和22)(iiiYYeRSS残差平方和RSSESSTSS)2 .3 .2()()()(222iiiiYYYYYY关系：)2 . 3 . 2()()()(222iiiiYYYYYY可以证明：22)()()(YYYYYYiiii证明：22)()(2)(YYYYYYYYiiiiii)(YYYYiii)()(iiiiiYYYYYY)()(10iiiiiYYYYYX)()()(10iiiiiiiYYYYYXYYiiiiiiXXXYXY)()(1010由正规方程组可推得：iiiiiiXYXYYY0)(0)(iiiiiY

29、YXYYRSSESSTSS回归平方和残差平方和0)(YYYYiii)2 . 3 . 2()()()(222iiiiYYYYYY从而有：统计量、可决系数22RTSSRSSTSSRSSTSSTSSESSR12总离差平方和回归平方和的特点：2R; 10)1(2 R；，回归方程拟合得越好值越接近1)2(2R)7 . 2 . 2(32()()()3(222122222的PyxyyYYYYTSSESSRiiiiii总体平方和残差平方和1)4 . 3 . 2()3 . 3 . 2(二、变量显著性检验（t检验）变量显著性检验（变量显著性检验（t检验）的任务：检验）的任务： 确保模型中的变量是对被解释变量有显著

30、影响的变量。检验的对象：检验的对象：的显著性11、假设检验假设检验 (1)任务：关于总体分布的假设根据样本的信息判断 程序)2(）：（如提出假设5000 xHH正确、假定01H、根据样本资料2结论合理不合理是正确的假设0H是错误的假设0H依据)3(。中几乎是不可能发生的率事件在一次试验小概率事件原理：小概）：（如提出假设5000 xHH)(100事件假定下构造一个小概率并在正确、假定HH的样本、随机抽取一组容量为 n2试验结果该事件没有发生该事件发生了00HH接受是正确的假设00HH拒绝是错误的假设的分布：1) 1 ()38(1P见服从正态分布),(2211ixN)1 ,0(2211Nxi即：

31、、变量的显著性检验2(2)t统计量(1)建立t统计量的目的：用于检验1的显著性。(2)计算求得；据)5 . 2 . 2(32:1P；检验中提出假设在0:101Ht是未知的。而2) 1 , 0(2211Nxi,2是未知的,2代之故以其估计值)14. 2 . 2)(39(222Pnei,22后代替以分布了。的而是服从自由度为，不再服从正态分布tnNxxii)2() 1 , 0(22112211统计量。这就是即tntSxti),2(1112211x)(xf221) 1(2knt) 1(2kntt若;0H故拒绝则小概率事件发生了，。，故接受则小概率事件没有发生0H) 1(2 kntt若椐样本计算查表检

32、验t )3(0:10H显著性检验，判断解释变量的、采用例：利用tExcel三、参数的置信区间三、参数的置信区间1、要解决的问题：总体参数1以何种置信水平何种置信水平、落入某一区域某一区域之中。)2(1112211ntSxti1)(22tttP1)(22tstPiii1)(22iiststPiii）相应的置信概率为（，的置信区间为：1)(22iiststiii2、如何缩小置信区间？)(11121211stst，）的置信区间为：的置信概率为（)2()()2()()(2221222122212221iiiiiiiixnYYtxnYYtxtxt，即：减小，2t减小2)(2nYYii减小2)(2nYYi

33、i增大样本容量)1 (提高拟合优度)2(间、置信概率，求出各参数的置信区例：利用Excel第二章第二章第四节一元线性回归分析的应用一元线性回归分析的应用:预测问题预测问题的一个无偏估计或个别值是条件均值的一个无偏估计或个别值是条件均值一00001000100010010001000100000)/()()()/()()/(YXYEYXYEXYXXEXYEXYEXYYXYEY、)(1,()(1)(222)(),(2)()(),(2)()()()()(22020100220220222200222222002222220220222120100001010001000100100iiiiiiiii

34、iiixXXnXNYxXXnXXnxxXXXXnXnXxXXXnXxxXxXXxnXVarXCovXVarXVarXCovVarXVarYVarXXEYE、置信区间总体条件均值预测值的二)3 . 4 . 2(0000020020022020100010022020100)/(:)/(1)(1)2()() 1 , 0()()(1,(YYiYYYiStYXYEStYXYE，xXXnSntSXYNXYxXXnXNY的置信区间为总体均值置信度下其中代替)3 . 4 . 2()4 . 4 . 2()5 . 4 . 2(2202002202000100010010001000000020022020000

35、000100100000100)(11, 0)(11)(0)()()()()()(),cov(),cov(2)(1)(),cov(2)()(0)()()(iiixXXnNYYxXXnYYVarXEXEXXEYEYEYYEYYYYxXXnYVarYYYVarYYVarXXEYYEXY、则而总体单个值信区间总体单个值预测值的置三)6 . 4 . 2(000000000020020022020000220200)/(:1)(11)2() 1 , 0()(11, 0YYYYiYYYYYYiStYXYEStYY，xXXnSntSYYNYYxXXnNYY的置信区间为总体均值置信度下其中代替)7 . 4 .

36、 2()8 . 4 . 2(第三章第三章经典单方程计量经济学模型经典单方程计量经济学模型:多元线性回归模型多元线性回归模型第三章第一节多元线性回归模型 一、多元线性回归模型的一般形式： niXXXYikikiii, 2 , 122110nknknnnkkkkXXXYXXXYXXXY2211022222121021121211101即等价于： 写成矩阵形式为：1211) 1(210) 1(212221212111121111nnkkknknnnkknnXXXXXXXXXYYYXY即：nkikikiiikikiiieeeeeXYnieXXXYXYniXXXY21102211022110,:, 2

37、, 1,:, 2 , 1,:其中即其随机表达式即样本回归函数三、多元线性回归模型的基本假定模型的基本假定，也就是应用普通最小二乘法的前提。对于上述模型，其基本假设是：假设假设： x1, x2, , xk是非随机的或固定的，且相互之间互不相关(无多重共线性)即:n(k+1)矩阵X是非随机的，且X的秩(X)=k+1，即满秩nixxxyikikiii,2, 122110假设假设2：随机误差项0均值、同方差及不序列相关：E(i )=0 i=1,2, ,n Var(i )=( )=2 i=1,2, ,nCov(i ,j)=E(ij)=0 ij i,j=1,2, ,nIVarCovCovVarEEEEEE

38、EEEEEnnnnnnnnnnnnn2221112112121121111100)(),(),()()()()()()()(0)()()(即2i假设假设3：随机误差项与解释变量之间不相关： Cov(xji , i)=0 j=1,2, ,k i=1,2, ,n0)()()()()()()()()(:, 0)(1111ikiiiiikiiiiikiiiiikiiiiEXEXEXEXEEXEXEEXXEXE不相关解释变量与随机干扰项即即假设假设4：随机干扰项满足正态分布：iN(0,2 ) i=1,2, ,n即向量有一多维正态分布:N(0,2 I)假设假设5 5：样本容量趋于无穷时，各解释变量的方差趋

39、于有界常数，即：假设假设6 6:模型设定正确 knnkjjijixxxxxknx，QQxxnQXXnxn，n1111221,)(11阶矩阵离差为元素组成的是由各解释变量的矩阵为一非奇异固定矩阵其中或时多元线性回归模型的基本假定假设假设： x1, x2, , xk是非随机的或固定的，且相互之间互不相关(无多重共线性)假设假设2：随机误差项0均值、同方差及不序列相关：假设假设3：随机误差项与解释变量之间不相关;假设假设4：随机干扰项满足正态分布：iN(0,2 ) i=1,2, ,n假设假设5 5：样本容量趋于无穷时，各解释变量的方差趋于有界常数假设假设6 6:模型设定正确 第三章第三章第二节第二节

40、多元线性回归模型的参数估计多元线性回归模型的参数估计22), 2 , 1 , 0(1:估计求出随机干扰项的方差求出参数估计的任务、kj、j 普通最小二乘估计普通最小二乘估计 在满足线性回归模型的基本假设的情况下，多在满足线性回归模型的基本假设的情况下，多元线性回归模型可以采用普通最小二乘法估计元线性回归模型可以采用普通最小二乘法估计参数。参数。随机抽取被解释变量和解释变量的 n 组样本观测值： kjniXYjii, 2 , 1 , 0, 2 , 1),(如果模型的参数估计值已经得到，则有： KikiiiiXXXY22110 i=1,2,n 根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解： 0

41、120000QQQQk (2.3.4)其中 2112)(niiiniiYYeQ 2122110)(nikikiiiYYYY (2.3.5)于是，得到关于待估参数估计值的正规方程组正规方程组： kiikikikiiiiikikiiiiiikikiiikikiiXYXXXXXYXXXXXYXXXXYXXX)()()()(221102222110112211022110 (2.3.6) 解该（k+1）个方程组成的线性代数方程组，即可得到(k+1)个待估参数的估计值, , ,jjk 012 。最简单的多元线性回归模型是二元线性回归模型。二元线性最简单的多元线性回归模型是二元线性回归模型。二元线性回归模

42、型的一般形式为：回归模型的一般形式为：iiiiuXXY22110 （i=1，2，n）其参数的最小二乘估计量如下：其参数的最小二乘估计量如下： 22122212122211xxxxxxyxxyx 2211022122212112122XXYxxxxxxyxxyx 1、2称偏回归系数。称偏回归系数。1的数值结果表明，当的数值结果表明，当2X保持不变时，保持不变时，1X每增加每增加 1 个单位，个单位，Y 平均增加平均增加1个单个单位；位；2的数值结果表明，当的数值结果表明，当1X保持不变时，保持不变时，2X每增加每增加 1 个单位，个单位，Y 平均增加平均增加2个单个单位。位。Back由矩阵推导求

43、参数值由矩阵推导求参数值XYxxxxxxxxxyyynnkkknknnnkknn即：1211)1(210)1(212221212111121111XYeXYeeexxxxxxxxxyyynnkkknknnnkknn1111211)1(210)1(212221212111121即：或者则上式可写成：、得到参数估计值如果根据实际数据已经,10k按最小二乘原则：)()(),()(21211212XYXYeeeeeeeeeyyQnnniiniii离差平方和为：0)()(XYXYQ0)()(XYXYQ0)(XYXY0)(XXXYYXYY0)2(XXXYYY(1(k+1)(k+1)n)(n1)(1n)(n

44、(k+1)(k+1)1)复习：AXXAXX2)(AXXAXX2)(WAXWAX)(AXWWAX)(0)2(XXXYYY022XXXYXYXXYXXXYXXX1)(kjeXeeeeXXXXXXeXeXXXXXYXXX、iijiinknkkneXY, 2 , 1, 00011102212111211乘估计离差形式的普通最小二kknkknnnkknikikiiiikkikiiikkkkikikiiiXXXYyxxxeeeexxxxxxxxxxyyyyexyniexxxynieXXXXXXYYXXXYeXXXYnieXXXY)(:, 2 , 1, 2 , 1,)()()(, 2 , 1,2211012

45、121212221212111212211222111221102211022110二乘估计结果离差形式的参数的最小其中即即则 0ie3、关于随机干扰项、关于随机干扰项：0)(E111)(112122kneekneknyyknQniiniii)10. 2 . 3(四、参数估计量的性质四、参数估计量的性质1、线性性CYYXXX1)(2、无偏性)(E即：)()(1YXXXEBE证明：)()(1XXXXE)()(11XXXXXXXE)(1XXXE)()(1EXXX)17. 2 . 3(3、有效性：即方差最小性。YXXX1)(证明：)()(1XXXX1)(XXX1)(XXX即：2)()()(EEVar

46、又0)(I2EI)(2E即：的协方差矩阵定义为：B)var(),cov(),cov(),cov()var(),cov(),cov(),cov()var()(1011010100kkkkkCov)()(EEE)()()(EEECov)(E11)()(XXXXXXE)()(11XXXXXXE11)()()(XXXEXXX121)()(XXIXXXX112)()(XXXXXX12)(XX估计量中方差最小的。，上述方差是所有无偏椐高斯马尔可夫定理)18. 2 . 3(五、样本容量问题1、最小样本容量YXXX1)(由于必须存在，则要得出参数估计值1)X(X为滿秩矩阵。，也就是则要求XXX0X)1(212

47、221212111111knknnnkkxxxxxxxxxX由于的滿秩矩阵。应为那么，)1() 1(XkkX)(),(min()(XRXRXXR而)(1XRk即）矩阵，是（) 1( knX可能的。时才是的条件，只有在要满足11)(knkXR1)( kXR亦即。的解释变量的数目数项在内必须不少于模型包括常最小样本容量即) 1(:kn2、满足基本要求的样本容量（1）当nk+1时，不能得出参数估计量；（2）当nk+1时，可以得出参数估计量；但问题是:参数估计质量不高 统计检验没法进行（3）满足基本要求的样本容量： 一般经验认为：n30 ， 或者或者n3（k+1）六参数估计实例六参数估计实例例：例：第

48、三章第六节受约束回归 受约束回归：受约束回归：模型施加约束条件后进行回归，称为受约束回归。 无约束回归：无约束回归：不加任何约束的回归，称为无约束回归。一、模型参数的线性约束)(),1(,)()()1 (, 1)(112, 11310113311011211021112111021112111012122110121kkkOLSkkkkkkkkkkkkkkkkkkkXXXYXXXXXYXXXXXYXXXXYXXXY的约束施加如参数的估计一)2 . 6 . 3()4 . 6 . 3()3 . 6 . 3() 1 . 6 . 3()()()(2)()()()()()()()()(:3,:2:1)(

49、2XXeXeeXXXeeXeeXeXeXeXeeeRSSXeXeXXYeeXYeXY、tF、R受约束模型的受约束无约束对解释能力的影响施加约束条件后的模型检验检验检验检验的方法约束条件某一具体问题能否施加检验的目的检验二)6 . 6 . 3()5 . 6 . 3(.,:.,),6 . 6 . 3()5 . 6 . 3(:)()()()()()()()()(2将降低模型的解释能力模型施加约束条件即无约束回归平方和有约束回归平方和即故有相同则总离差平方和数据样本相同被解释变量相同与对于无约束残差平方和有约束残差平方和即则标量必非负且是两个转置矩阵相乘为一标量URURUURESSESSTSSRSSR

50、SS，XXXXXXRSSXXeXRSSeeRSS)0:60(eXP)8 . 6 . 3()7 . 6 . 3()() 1(),1()(:)(:),(42222222102RUURRRUUURURURkkRSSRSSknRSSknRSSRSSRSSHRSSRSSESSESS、HF、约束条件为真书后右尾检验方法一差异大与约束条件无效差异很小与释能力无约束模型有相同的解受约束约束条件为真检验检验检验) 1,() 1/()/()()() 1(),1()(:)(:22222210URUUURUURRUURRRUUURURURknkkFknRSSkkRSSRSSkkRSSRSSknRSSknRSSFRSS

51、RSSHRSSRSSESSESS、H约束条件为真书后右尾检验方法二差异大与约束条件无效差异很小与释能力无约束模型有相同的解受约束约束条件为真) 1/(/) 1/(/ )0() 1/()0/()() 1/()/()(:0:021022110knRSSkESSknRSSkRSSTSSknRSSkRSSESSTSSknRSSkkRSSRSSFYHXXXYUUUUUURUURUURkkk受约束模型现检验无约束模型例)1(,()1(/(/ )() 1)(/()/()() 1/()/()(0:21112211022110qknqFqknRSSqESSESSqknRSSkqkESSESSknRSSkkRSS

52、RSSFXXXXXYXXXY、URUURUUURUURqkkkqkqkkkkkkk约束条件无约束回归受约束回归解释变量对回归模型增加或减少二)1(/()1 (/ )()1(/(/ )()1(,()1(/(/ )(222qknRqRRqknTSSRSSqTSSESSTSSESSFqknqFqknRSSqESSESSFURUURUURU第三章第三节多元线性回归模型的统计检验变量的显著性检验方程的显著性检验拟合优度检验模型的统计检验一、拟合优度检验1、拟合优度检验：拟合优度检验：检验模型对样本观测值的拟合程度。2、最小二乘法所保证的最好拟合最小二乘法所保证的最好拟合与拟合优度检拟合优度检验验最小二乘

53、法所保证的最好拟合：同一问题内部的比较（指最小二乘法比其它方法能更好地拟合）拟合优度检验：是不同问题的比较（变量的变化、增减、模型形式的改变）消费总额消费总额人均可支配收入国内生产总值3、总离差平方和、残差平方和、回归平方和、总离差平方和、残差平方和、回归平方和2)(YYTSSi总离差平方和2)(YYESSi回归平方和2)(iiYYRSS残差平方和RSSESSTSS222)()()(iiiiYYYYYY关系：222)()()(iiiiYYYYYY可以证明：22)()()(YYYYYYiiii证明：22)()(2)(YYYYYYYYiiiiii)(YYYYiii)()(iiiiiYYYYYY)(

54、)(22110iiiikikiiYYYYYXXX)()()()()(22110iiiikikiiiiiiiiYYYYYXYYXYYXYY022110iikikiiiiieYeXeXeXe0)(YYYYiii222)()()(iiiiYYYYYY从而有RSSESSTSS回归平方和残差平方和统计量与、224RRTSSRSSTSSRSSTSSTSSESSR12总离差平方和回归平方和的特点：2R; 10)1(2 R；，回归方程拟合得越好值越接近1)2(2R度的影响。的不足：没有考虑自由2)3(R) 1( n为总离差平方和：自由度k回归平方和：自由度为) 1( kn残差平方和：自由度为数。不含常数项的自

55、变量个样本容量； :kn总离差平方和残差平方和111)1 (1) 1/() 1/(1/122knnRnTSSknRSSR自由度总体平方和自由度残差平方和作为拟合优度指标。用的不足，在实际应用中为克服22RR:R2拟合优度指标二、方程显著性检验（F检验）1、方程的显著性检验：方程的显著性检验：检验被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立。2、方程的显著性检验方程的显著性检验与拟合优度检验拟合优度检验：(1)二者都可推测模型总体线性关系是否显著成立。(2)方程的显著性检验比拟合优度检验更能给出一个在统计上更严格的结论。(3)出发点不同:方程的显著性检验是从样本观测值出发检验模型的显著

56、性；拟合优度检验是从已经估计的模型出发,检验模型对样本观测值的拟合程度。3、假设检验假设检验 (1)任务：关于总体分布的假设根据样本的信息判断 程序)2(）：（如提出假设5000 xHH正确、假定01H、根据样本资料2结论合理不合理是正确的假设0H是错误的假设0H依据)3(。中几乎是不可能发生的率事件在一次试验小概率事件原理：小概）：（如提出假设5000 xHH)(100事件假定下构造一个小概率并在正确、假定HH的样本、随机抽取一组容量为 n2试验结果该事件没有发生该事件发生了00HH接受是正确的假设00HH拒绝是错误的假设4、方程显著性的F检验0, 0, 0:210kHniXXXYikiki

57、ii, 2 , 122110。即模型线性关系不成立)()(22kYYESSi回归平方和) 1()(22knYYRSSii残差平方和) 1,() 1/(/knkFknRSSkESSF) 1,(knkF1) 1,(knkFF若;0H故拒绝则小概率事件发生了，) 1,(knkFF若。，故接受则小概率事件没有发生0H椐样本计算查表分布示意图为：则分布的概率密度函数为设FxfF),()(xfx显著性检验、拟合优度检验与方程5性。型总体线性关系的显著本观测值出发，检验模方程显著性检验：从样合程度；验其对样本观测值的拟从估计的模型出发，检拟合优度检验 :）区别：（ 1）联系：（2值越大）。关系的显著性就强（

58、越大），模型总体线性模型拟合程度越高（FR2）数量关系：（ 3kFknnR1112性检验，判断方程的显著、采用例：利用FExcel三、变量显著性检验（t检验）变量显著性检验（变量显著性检验（t检验）的任务：检验）的任务： 确保模型中的变量都是对被解释变量有显著影响的变量。t检验的对象：检验的对象：的显著性), 3 , 2 , 1(kii的分布：j服从正态分布jjjE)(12)()(63XXCovP已经证明：个元素，于是：主对角线上的第表示矩阵设jXXcjj1)(kjcVarjjj, 2 , 1,)(2),(2jjjjcN) 1 , 0(2Ncjjjj即：1、t统计量(1)建立t统计量的目的：用

59、于检验j(j=0,1,2, ,k)的显著性。(2)1 ,0(2Ncjjjj；据最小二乘法计算求得上式中:j，；检验中提出假设在0:0jjHt个元素。主对角线上的第jXXcjj1)( :是未知的。而2,2是未知的,2代之故以其估计值11)61(122knRSSknePkneei书,22后代替以分布了。的而是服从自由度为，不再服从正态分布tknNccjjjjjjjj) 1() 1 , 0(22统计量。这就是即tkntctjjjj),1(2x)(xf221) 1(2knt) 1(2kntt若;0H故拒绝则小概率事件发生了，。，故接受则小概率事件没有发生0H) 1(2 kntt若椐样本计算查表检验、t

60、20:0jH的显著性检验，判断各解释变量、采用例：利用tExcel四、参数估计量的置信区间四、参数估计量的置信区间1、要解决的问题：总体参数j以何种置信水平何种置信水平、落入某某一区域一区域之中。)1(2kntsctjjjjjjj1)(22tttP1)(22tstPjjj1)(22jjststPjjj）相应的置信概率为（，的置信区间为：1)(22jjststjjj2、如何缩小置信区间？)(122jjststjjj，）的置信区间为：的置信概率为（)1)(1)(2222knYYctknYYctiijjiiijjj，即：减小，2t减小1)(2knYYciijj减小1)(2knYYciijj减小jjc