圆锥曲线地极坐标方程焦半径公式焦点弦公式

1、实用文档圆锥曲线的极坐标方程极坐标处理二次曲线问题教案知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点（焦点）的距离 和一条定直线（准线）的距离的比等于常数e的点的轨迹.以椭圆的左焦点（双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，过点F作相 应准线的垂线，垂足为K,以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系.椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为:ep1 一ecos 二其中p是定点F到定直线的距离，p> 0 .当0<e<1时，方程表示椭圆；当e>1时，方程表示双曲线，若p > 0,方程只表示双曲线右支，若允 许P < 0,方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程

2、表示开口向右的抛物线.引论（1）若P=-ep 1+ecos?则0<e<1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线当e>1方程表示极点在左焦点上的双曲线（2 ）若P= 4口1-esin 丁当0<e<1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线当e>1时！方程表示极点在上焦点的双曲线1+esin 二当0<e<1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当e>1时！方程表示极点在下焦点的双曲线例题选编(1)二次曲线基本量之间的互求长短轴长例1.确定方程P= 10

3、表示曲线的离心率、焦距、5 - 3cos 13 10解法一：。=-2 = 5 33 33.1 C0S1 1COS155-3一 5,P="310 -c 3=a 5 _2二b 10c 一 35a 一”325a =815c 二-8二方程表示椭圆的离心率 e = 3,焦距15,长轴长25,短轴长5544解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0,因此只需令e=0,右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义，简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。 下面的弦长问题的解决使极坐标处理

4、的优势显的淋漓尽致。(2)圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦MNS过焦点F,2卜21、椭圆中，p=W c=一,ccMN =2ab21 -ecos1 1 -ecos（-： -） a2 -c2cos212、双曲线中，(注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。若M N在双曲线同一支上,MN2ab2222.i1 -ecos 1-ecos（二-二） a - c cos i若M N在双曲线不同支上,MNepep2ab222 -2 .1 ecos1 1 -ecosi c cos【-a3、抛物线中,MN2p1-cosi 1-cos（二-二） sin2i22_例1过双曲线-.1的右焦点,弓I倾斜角为泊直线，

5、交双曲线与A B两点，求I AB )解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系2 -3cos。所以 A（ ：-i,-）,B（；%/： 3）又由 AB =| J ：2 |得=|L.802 -3cos3 2-3cos（二 ）注释：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需对 V加绝对值，但 求双曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。点睛由于椭圆，抛物线的弦的两个端点极径均为正值，所以弦长都 是已+y2对于两个端点都在双曲线右支上的弦，其端点极径均为正值，所以弦长也是H tp2对于两个端点分别在双曲线左、右支上的弦,其端点极径一个为正值一个为负值，所以弦长是 ( -1+2 )或为统一起

6、见，求双曲线时一律加绝对值，使用|Pi + P2变式练习：等轴双曲线长轴为2,过其右有焦点，引倾斜角为 三的直6线，交双曲线于A,B两点，求|AB1AB =| 丹 七 |11 一，2 cos 二=1 |, un、， r- . n. 11 - J2 co s(n +) 1 - J2 cos(-一)66附录直角坐标系中的焦半径公式设P (x,y)是圆锥曲线上的点，1、若'、F2分别是椭圆的左、右焦点，则|PF1 =a+ex, |PF2|=a-ex；2、若F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，当点P在双曲线右支上时，PF1 =ex + a, PF21=ex-a;当点P在双曲线左支上时，PF1

7、=-a-ex, PF2 =a-ex;3、若F是抛物线的焦点，PF =x+E.2利用弦长求面积22身考题(08年海南卷)过椭圆十，=1的焦点F作一条斜率为2的 54直线与椭圆交于A, B两点，O为坐标原点，求&AOB的面积.简解首先极坐标方程中的焦点弦长公式| AB|=lep-求弦长，然后1 -e cos -利用公式Saob = ；| AB|OF |sinjAFO直接得出答案。2变式(2005年全国高考理科)已知点F为椭圆5 + y 4 = 1的左焦点.过点 F的直线li与椭圆交于P、Q两点，过F且与li垂直的直线12交椭圆于 M、 N两点，求四边形PMQN面积的最小值和最大值.解析以点

8、F为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为:、21 - - co s2设直线li的倾斜角0 ,则直线12的倾斜角为9+900 ,由极坐标系中焦点弦长公式知:.2|PQ 卜一1 , | MN | =1cos2 12用他们来表示四边形的面积11 sin2 22 16S ="| PQ Ll MN | =21即求丁的最大值与最小值1 1. 20_sin 22 16时,由三角知识易知：当sin2e = ±1时，面积取得最小值;当sn2609面积取得最大值2利用弦长公式解决常量问题22一 ，一一三 4 二 1 (a b 0),例一.过椭圆a b的左焦点F,作倾斜角为60的直线12 .

9、012 . cos (1 90 ) 1 sin 122 -sin2 Lcos2 f交椭圆于A、B两点，若fa=2FB ,求椭圆的离心率.简解，建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。设椭圆的极坐标方程为J ep1 一ecos 二e p则 fa -"一01 ecos60FB =e P1 -ecos 2400:包=2 解得e.e. e31 -1 -2 2变式求过椭圆3-cos的左焦点，且倾斜角为:的弦长| AB和左焦点到左准线的距离2解：先将方程=化为标准形式：P=31 -1 cos13贝U离心率e/，ep = 2, 33P =2所以左焦点到左准线的距为2。设A（P1,3B（P

10、2,，），代入极坐标方程，则弦长AB =斗十P222= 24oo 5 二 一173-cos 3cos44（3）定值问题例1.抛物线y2=2px（p>0）的一条焦点弦被焦点分为a,b的两段, 证明：11定值。a b解：以焦点F为极点，以FX轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为p=设A（a,8）,B（b,e+21 -cos将A,B两点代入极坐标方程，得a=7,b=p-1 - cosu1 - cos。二）则11=3>上应=2 （定值）a b pp p点睛，引申到椭圆和双曲线也是成立的推论：若圆锥曲线的弦MNS过焦点F,则有-1. . _1|MF| |NF2ep11.、例二：经过椭

11、圆的的焦点作两条相互垂直的弦 AB和弦CD,求证+ j 为定 |AB| |CD|值。证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为P = ep,1 一 ecosi又设 A ，B ：2，二 +冗1 ,Ci i'3,- + ,D ,3,2,| AB| 二2ep1 -e2 cos2 1| AB|二2ep1 -e2 sin2 u112-e2+=AB CD 2ep 注释。此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立。注意使用的范围。推广1若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦， 倒数和也为定值。需要以原点为极点建立极坐标方程。推广2若不取倒数，可以求它们和的最值。22例三化007重庆理改编）中心

12、在原点O的椭圆36 + A1,点F是其左焦点，在椭圆上任取三个不同点PiBR使/ P1FP2 = / P2FP3 =/P3FP1 =120° .111证明:为定值，并求此定值.+! +!FP1 IFP2I FP3 解析：以点F为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：9 = -,设点R对应的极角为则点B与B对应的极角分别 2 - cos1为日+120°、8-120°, P1、P2与P3的极径就分别是|FPJ= 一工、2 一 cosIFP2 尸2 - cos1120°)与 |FP3| =2 -cosC -120°)1FPi11+FP2FP32 - cos- 2 -cos(- 1200) 2 -cos(- -120°)999角函数的学习中，我们知道cos+cos(e+120°)+cos(g120°) = 0 ,因止匕FP1FP2FP3:3为定值极坐标分别表示|FPJ、|FP2|与|FP3|,这样一个角度对应一个极径.就 不会象解析几何那样，一个倾斜角，对应两个点，同时对应两条焦半径(极径)，这就是极坐标表示圆