二维随机变量-ppt课件

1、四、小结四、小结 3.1 3.1 二维随机变量二维随机变量一、二维随机变量及其分布函数一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量 三、二维延续型随机变量三、二维延续型随机变量 2)(eX 图示图示 )(eY S一、二维随机变量及其分布函数一、二维随机变量及其分布函数 1.定义定义 ，是是一一个个随随机机试试验验设设E,eS 它它的的样样本本空空间间是是上上的的随随机机变变量量，是是定定义义在在和和设设SeYYeXX)()( ),(YX由由它它们们构构成成的的一一个个向向量量叫做二维随机向量叫做二维随机向量 或二维随机变量或二维随机变量. e3炮弹的弹着点的位炮弹

2、的弹着点的位 二维随机变量二维随机变量 ( X, Y ) ( X, Y ) 的性质不仅与的性质不仅与X X 、Y Y 调查某一地域学调查某一地域学 阐明阐明 实例实例1实例实例2而且还依赖于这两个随机变量的相互关系而且还依赖于这两个随机变量的相互关系. 有关有关, 构成二维随机变量构成二维随机变量(H,W). 童的身高童的身高 H 和体重和体重 W 就就 前儿童的发育情况前儿童的发育情况, 机变量机变量. 置置 (X,Y) 就是一个二维随就是一个二维随 那么儿那么儿 42.二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数 (1)分布函数的定义分布函数的定义 定义定义，是二维随机变量是二维随机变量设

3、设),(YX, yx数数二元函数二元函数:),(yxF)()(yYxXP ,yYxXP 记成记成，的分布函数的分布函数称为二维随机变量称为二维随机变量),(YX或称为随机或称为随机对于恣意实对于恣意实 .的联合分布函数的联合分布函数和和变量变量YX看看成成是是平平面面上上随随如如果果将将二二维维随随机机变变量量),(YX机点的坐标机点的坐标, 那么那么,处处的的在在分分布布函函数数),(),(yxyxF5xoy),(yx yYxX ,落落在在如如图图所所示示的的，函函数数值值就就是是随随机机点点),(YX方方的的无无穷穷矩矩形形域域为为顶顶点点而而位位于于该该点点左左下下),(yx内的概率内的

4、概率.,),(),(21xxxyxYX 落在矩形域落在矩形域随机点随机点的的概概率率为为21yyy 以以6,2121yyyxxxP ).,(),(),(),(21111222yxFyxFyxFyxF (2) 分布函数的性质分布函数的性质,),(1的不减函数的不减函数和和是变量是变量yxyxF 即对于任即对于任, y意固定的意固定的);,(),(1212yxFyxFxx 时时当当对于任对于任,x意固定的意固定的).,(),(1212yxFyxFyy 时时当当, 1),(02 yxF且且, y对于任意固定的对于任意固定的, 0),( yF7, x对对于于任任意意固固定定的的, 0),( xF, 0

5、),( F. 1),( Fxoyyx),(), 0(3yxFyxF ),()0,(yxFyxF ，右连续右连续关于关于即即xyxF),(.也右连续也右连续关于关于y8),(),(42211yxyx对于任意对于任意 ,2121yyxx 下下述不等式成立述不等式成立: . 0),(),(),(),(21111222 yxFyxFyxFyxF证明证明,2121yYyxXxP , 0 ,211212yYyxXPyYyxXP ,1222yYxXPyYxXP . 0),(),(),(),(21111222 yxFyxFyxFyxF故故,1121yYxXPyYxXP 9二、二维离散型随机变量二、二维离散型随

6、机变量 1. 定义定义 全全部部可可能能取取到到的的不不如如果果二二维维随随机机变变量量),(YX一样的值是有限对或可列无限多对一样的值是有限对或可列无限多对,是是则称则称),(YX.离散型的随机变量离散型的随机变量102. 二维离散型随机变量的分布律二维离散型随机变量的分布律 所有可能取的所有可能取的设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量),(YX),(jiyx值为值为, 2 , 1, ji,ijjipyYxXP 记记, 2 , 1, ji那么由概率的定义有那么由概率的定义有 , 0 ijp, 111 ijijp,ijjipyYxXP 称称, 2 , 1, ji,),(的分布律的分布律型随

7、机变量型随机变量YX为二维离散为二维离散 YX和和或随机变量或随机变量.的的联联合合分分布布律律11二维随机变量二维随机变量 ( X,Y ) ( X,Y ) 的分布律也可表示为的分布律也可表示为 XY 21ixxxjyyy21 12111ippp 22212ippp 21ijjjppp12例例1四四个个整整数数中中等等可可能能在在设设随随机机变变量量4 , 3 , 2 , 1X中等可能中等可能在在另一个随机变量另一个随机变量XY1地取一个值地取一个值, 地取一整数值地取一整数值. .),(的分布律的分布律试求试求YX:,的取值情况是的取值情况是jYiX 解解 .),(的的分分布布律律用用乘乘法

8、法公公式式容容易易求求得得YX易知易知 , 4 , 3 , 2 , 1 i取不大取不大j.的正整数的正整数于于i且且 ,jYiXP iXPiXjYP ,411 i, 4 , 3 , 2 , 1 i. ij 1312341234418112116108112116100121161000161XY的分布律为的分布律为于是于是),(YX141.定义定义 三、二维延续型随机变量三、二维延续型随机变量 ),(),(yxFYX的的分分布布函函数数对对于于二二维维随随机机变变量量有有使对于任意使对于任意如果存在非负可积函数如果存在非负可积函数yxyxf,),(,dd),(),(vuvufyxFyx ,),

9、(量量是连续型的二维随机变是连续型的二维随机变则称则称YX,),(),(的的概概率率密密度度称称为为二二维维随随机机变变量量YXyxf.的联合概率密度的联合概率密度和和称为随机变量称为随机变量YX函数函数 或或 152.性质性质 . 0),(1 yxfyxyxfdd),(2 .dd),(),( GyxyxfGYXP,3平平面面上上的的区区域域是是设设xOyG ,),(),(4连连续续在在若若yxyxf ),( F. 1落在落在点点),(YX那么有那么有内的概率为内的概率为G . ),(),(2yxfyxyxF 16 3.阐明阐明 ，由由性性质质 4处有处有在连续点在连续点),(yxyxyyYy

10、xxXxPyx ,lim00 )1 . 1(由由),(),(1lim00yxxFyyxxFyxyx ),(),(yxFyyxF yxyxF ),(2 ).,(yxf17:这表示这表示很很小小时时，则则当当yx ,yyYyxxXxP ,),(yxyxf 内的内的落在小长方形落在小长方形即即,(,(),(yyyxxxYX .),(yxyxf 概率近似地等于概率近似地等于.),(表表示示空空间间的的一一个个曲曲面面在在几几何何上上yxfz 知知，由由性性质质 2, 1dd),( yxyxf. 1),(为为平平面面的的空空间间区区域域的的体体积积和和介介于于xOyyxfz 连连续续，在在点点若若),(

11、),(yxyxf18，由由性性质质 3为为底底，的的值值等等于于以以GGYXP),( .),(为为顶顶面面的的柱柱体体体体积积yxfz 以以曲曲面面.dd),(),( GyxyxfGYXP19);,()1(yxF求分布函数求分布函数具具有有概概率率密密度度设设二二维维随随机机变变量量),(YX),(yxf.)2(XYP 求求概概率率例例2 , 0, 0,e2)2( yxyx., 0其其他他20解解)1( yxyxyxfdd),(),(yxF yxyxyxyx00)2(, 0, 0,dde2.,0其他其他 ),(yxF即有即有 . 0, 0),e1)(e1(2 yxyx., 0其其他他,),(G

12、YXXY (2)即有即有 坐标，坐标，看成是平面上随机点的看成是平面上随机点的将将),(YX平面上直线平面上直线为为其中其中xOyG21XY GxyO.及其下方的部分及其下方的部分xy 于是于是 XYP yxyxfGdd),( yxyyxdde20)2( .31),(GYXP 22推行推行 定义定义 ，是是一一个个随随机机试试验验设设E它的样本空间是它的样本空间是 ,eS ),(11eXX 设设),(22eXX ,)(eXXnn ，上的随机变量上的随机变量是定义在是定义在S维维由它们构成的一个由它们构成的一个n维维随随机机维维随随机机向向量量或或叫叫做做向向量量nnXXXn),(21变量变量. n 维随机变量的概念维随机变量的概念 23,21nxxxn个个实实数数对对于于任任意意元函数元函数n,),(221121nnnxXxXxXPxxxF 的的分分布布函函数数或或随随维维随随机机变变量量称称为为),(21nXXXn.,21的联合分布函数的联合分布函数机变量机