分式方程的概念及例题与解法

1、分式方程的概念及例题与解法知识点梳理知识点一：分式方程的定义分母里含有未知数的方程叫 分式方程。要点诠释：1 .分式方程的三个重要特征：是方程；含有分母；分母里含有未知量。2 .分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知1-2 = 7数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于 工的方程X 和3 71x 1,4 二 3_ 2 = x d5 - 2 - 2工+1都是分式方程，而关于 I的方程a -和8 。都是整式方程。知识点二：分式方程的解法1 .解分式方程的其本思想把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母

2、，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。2 .解分式方程的一般方法和步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。(2)解这个整式方程。(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公 分母等于零的根是原方程的增根。注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方 程的分母为零。3 .增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的 值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，

3、这种限制 取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许 值之外的值，那么就会出现增根。规律方法指导1. 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0,因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解.经典例题透析：类型一：分式方程的定义例1、下列各式中，是分式方程的是()x + 2 _ 2y-z1y _gA 1+j = 5 B.53C, X D. x + 5举一反三：-3=-2【变式】方程以b 中，x为未知量，a,b为已知数，且QHb ,则

4、这个方程是()B. 一兀一次方程C.二兀一次方程D .三兀一次方程类型二：分式方程解的概念 a 1j = b0这样的分式例2、请选择一组修步的值，写出一个关于X的形如X-2的分式方程，使它的解是x方程可以是.举一反三：匕;0【变式】在1=Q,1=1,1二-1中，哪个是分式方程 1-1 的解，为什么？类型三：分式方程的解法i-i 1 JF 例3、解方程x - 2 2-工举一反三：345【变式】解方程：（1） 1 1 = X； （2） 21-1+ 12x = 2.类型四：增根的应用-2x = 例4、当m为何值时，方程 X-31-3会产生增根（）A. 2 B. -1 C. 3 D.-3举一反三：z-

5、3 那【变式】.若方程X-2 = 2-x无解，则m=。学习成果测评基础达标选择题（请将唯一正确答案的代号填入题后的括号内）1 .要把分式方程2a-4 x化成整式方程，方程两边需要同时乘以().A. 2x-4 B. x C. 2(x-2) D. 2x(x-2)1 _ 12 .方程x-1 的解是（）.A. 1B. -1C.±1D. 03 .把分式方程x-2 2-1的两边同时乘以（x-2）,约去分母得（）.A . 1- （1-x） =1B. 1+（1-x）=1C. 1- （1-x） =x-2D. 1+（1-x）=x-2填空题1x2 = - + 2,-x3=-+3?-x4=- + 47 -x

6、l0 = +10贝U a+b的值是4 .已知1122 33 若b b（a、b都是整数），1/X + = 4-75=5 .已知 X ，则工 +工 + 1.1 1? 2x + 3xy-2y6 .已知7 y，则分式 x-2xy-y 的值为.解答题7 .解方程x 3 _ 2 _ _3（1）4 - x x-4 ；（2）"18.观察图示的图形(每个正方形的边长均为1)和相应的等式，探究其中的规律:453303x-=3-<44-44 4 x= 4 +(1)写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示.(2)猜想并写出与第 n个图形相对应的等式.综合探究解答题9.先阅读下列一段

7、文字，然后解答问题. 已知：1.11方程 X- 二1 一的解是 Xl=2 , X2= -一；X22、如121方程 X-=2 的解是 X1=3, X2=-一 ；x3313一一1方程 X=3一的解是 X1=4, X2=;X44-1. 4一1方程X=4 一的解是X1=5, X2=.X55问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程X_1=10竺的解，并写出检验.X 1110.阅读理解题：阅读下列材料，关于 X的方程:X+ =c+的解是 X1=c, X2=;Xcc22 2X+ =c+的解是 X1=c, X2=一；Xcc333X 十一=c 十一的解是 X1=c, X2=一 ； .Xcc(1)请观察上述方程与解

8、的特征，比较关于X的方程X+m = c + m (mw0)与它们的关系, X c?猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证.(2)由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：？如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数,方程右边的形式与左边完全相同，只把其中未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用22这个结论解关于 x的方程：x= a.X -1a -1答案与解析：选择题1 .D （提示：关键是要将分式方程化成整式方程，所以选项A、B、C均不能达到目的.）2 .D （提示：本题不用考虑选项 A、B、C,因为x=1或者-1时，原方程没有意义.只需要将 x=0带 入原方程检验即可

9、.）3 .D （提示：本题有两个地方需要注意： （1）去分母时第二个分式的分子要带括号，这样可以避免符 号出错；（2）方程的右边也要乘以（x-2）.）填空题n n=+同4.19 （提示：本题的关键是找出通项,次一 1 四一 1,即可求出 a、b的值.）1 1 1x + = 4-75. 15 （提示：先将 X两边平方，可得x2+产=14,然后将所求代数式取倒数，求得/+ / +1r 二15,最后再取倒数即可.）1 1-1=36.5 （提示：由X y得出x-y=-3xy,带入所求分式的分子和分母即可.）解答题7.（1）3 （提示：按解方程的步骤，注意不要跳步.）（2）无解（提示：本题要注意解方程后一定要检验.）5x-