D10-1二重积分概念

1、1第十章第十章一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学1.重积分重积分2.曲线积分曲线积分3.曲面积分曲面积分重重 积积 分分 ( )yf x ,xa b ( , )zf x y ( , )x yD ( , , )uf x y z ( , , )x y z 201lim()niiiAfx 1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积2.定义定义3.推广推广 baxxf d)(01lim()niiifx (1)被积函数被积函数在在a,b为为有界函数有界函数.)(xf(2)积分区间积分区间a,b是有限区间是有限区间.(1)被积函数被积函数在在a,b为为无界函数无界函数.)(xf(2)积分区间积

2、分区间a,b是是无限区间无限区间.4.定积分思想：定积分思想：分割、近似、求和、取极限分割、近似、求和、取极限.xabyO( )yf x 1xix1ix i 3三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节一、引例一、引例 二、二重积分的概念二、二重积分的概念 二重积分的概念与性质 第十章 4柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点：特点：平顶平顶.柱体体积柱体体积=？特点：特点：曲顶柱体曲顶柱体曲顶曲顶.一、引例一、引例D5 求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积采用采用 “分割、近似、求和、分割、近似、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示6 求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积采

3、用采用 “分割、近似、求和、分割、近似、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示7 求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积采用采用 “分割、近似、求和、分割、近似、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示8 求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积采用采用 “分割、近似、求和、分割、近似、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示9 求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积采用采用 “分割、近似、求和、分割、近似、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示10 求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积采用采用 “分割、近似、求和、分割、近似、求和、

4、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示11解法解法:给定曲顶柱体给定曲顶柱体:( , )0zf x y ；底底: xoy 面上的有界闭区域面上的有界闭区域 D；顶顶: 连续曲面连续曲面侧面侧面:以以 D 的边界为准线的边界为准线,母线母线平行于平行于 z 轴的柱面轴的柱面.分割分割,近似近似,求和求和,取极限取极限. 引例引例1：求曲顶柱体的体积：求曲顶柱体的体积( , )zf x y Dxyz求其体积求其体积.xzyoD),(yxfz i ),(ii 1ni 曲顶柱体的体积：曲顶柱体的体积：0lim V1=max ()ii nd 其其中中( , )iif i 12引例引例2：

5、求平面薄片的质量：求平面薄片的质量xyo(,)iii ),(ii i 有一个平面薄片有一个平面薄片, 在在 xoy 平面上占有区域平面上占有区域 D ,( , ),x y 连连续续计算该薄片的质量计算该薄片的质量 M .度为度为其面密其面密 ( , )x y 若若设设D 的面积为的面积为 , 则则M ( , )x y 若若非非常常数数，仍可用仍可用(常数常数)“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求极限求极限” 解决解决.所求薄片总质量所求薄片总质量:01limniM 其中：其中： 为各小闭区域为各小闭区域的直径的最大者的直径的最大者.13两个问题的共性：两个问题的共性：(1) 解决问题

6、的步骤相同解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同所求量的结构式相同“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和,取极限取极限”曲顶柱体体积曲顶柱体体积: 平面薄片的质量平面薄片的质量: (3) 极限值均取决与极限值均取决与一个函数一个函数与其与其定义区域定义区域.01lim(,).niiiiVf 01lim(,).niiiiM ( , ),( , )zf x yx yD ( , ),( , )x yx yD 14二、二重积分的概念二、二重积分的概念1.定义定义:( , )f x y设设将区域将区域 D 任意任意分成分成 n 个小区域个小区域(1, 2, ),iin 任取任取一点一点(,

7、),iii 若存在一个常数若存在一个常数 I , 使使01lim(,)niiiiIf 可积可积 , ( , )f x y( , )dDf x y ( , )If x y称称 为为在在D上的上的二重积分二重积分.,x y积分和积分和( , )dDf x y 积分域积分域被积函数被积函数积分表达式积分表达式面积元素面积元素记作记作是定义在是定义在有界闭区域有界闭区域 D上的上的有界函数有界函数 , 则称则称称为积分变量称为积分变量152.说明：说明： Dyxf d),( 表示一个表示一个确定的数值确定的数值， 它只与它只与( , )f x yD, ,有关，有关， 与与D的分割法、的分割法、),(i

8、i 的取法、的取法、 积分变量所使积分变量所使用的字母用的字母无关无关，即即( , )d( , )d .DDf x yf uv (1)(2)当当),( yxf在闭区域在闭区域D上上连续连续时，时，定义中和式的定义中和式的极限极限必存在，必存在，即即二重积分必存在二重积分必存在.(3)底为底为D,顶为顶为( , )zf x y 的的曲顶柱体的体积为：曲顶柱体的体积为：( , )dDvf x y ( ( , )0)f x y 平面薄片的质量为：平面薄片的质量为：( , )d ( ( , )0)Dmx yx y 01( , )dlim( ,).niiiiDf x yf 1601( , )dlim(

9、,)niiiiDf x yf (4)二重积分的几何意义二重积分的几何意义 Dyxf d),( Dyxf d),(即即1)当被积函数当被积函数大于大于零时，零时，2)当被积函数当被积函数小于小于零时，零时， 二重积分二重积分二重积分是曲顶柱体的体积二重积分是曲顶柱体的体积特殊地：特殊地：若在若在D上上,，1),( yxf则则 Dyxf d),( D dD的面积的面积是是曲顶柱体的体积的负值曲顶柱体的体积的负值.) 0),( yxf, v) 0),( yxf, v xzyoD),(yxfz i ),(ii xzyo),(yxfz Di ),(ii 222222dxyRRxy 例例如如？172222

10、22dxyRRxy 例例如如: :？例例1. 设设 由锥面由锥面22zxy和球面和球面2224xyz 所围成所围成 , 请用二重积分表示请用二重积分表示 的体积的体积.zoxy222zxy 2224xyz 解解: 所求体积可以看成所求体积可以看成是两个曲顶柱体的是两个曲顶柱体的体积之差体积之差.D224dDVxy 22dDxy 323R xzyRo222zRxy 18d( , )Df x y dd dx y 则面积元素为：则面积元素为：xyoD(5)直角坐标系下的面积元素直角坐标系下的面积元素d( ,.d)Dxfyx y 如果如果 在在D上可积上可积,( , )f x y也常也常d d dx

11、y二重积分记作：二重积分记作：,kkkxy 这时这时分区域分区域D , 因此面积元素因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划可用平行坐标轴的直线来划 记作：记作：19(二重积分与定积分有类似的性质二重积分与定积分有类似的性质)三、二重积分的性质三、二重积分的性质性质性质1.(k为常数为常数) Dyxkf d),(性质性质2. Dyxgyxf d),(),(.d),(d),( DDyxgyxf .d),( Dyxfk 性质性质3. Dyxf d),(12()D DD 1d),(Dyxf .d),(2 Dyxf 性质性质4. 若若 为为D的面积，的面积， D d1.d D20性质性质5.若在若在D上上

12、),(),(yxgyxf Dyxf d),(特殊地特殊地.d),(d),( DDyxfyxf 则有则有.d),( Dyxg 性质性质6. Dyxf d),(二重积分估值不等式二重积分估值不等式)设设M、m分别是分别是f(x,y)在闭区域在闭区域D上的上的最大值最大值和和最小值，最小值， 为为D的面积，的面积， 则则 m M(二重积分中值定理二重积分中值定理) Dyxf d),(性质性质7. 设函数设函数f(x,y)在闭区域在闭区域D上上连续，连续， 为为D的面积，的面积，则在则在D上至少存在一点上至少存在一点( , ), 使得使得 ),(f21(二重积分中值定理二重积分中值定理) Dyxf d

13、),(性质性质7.设函数设函数f(x,y)在闭区域在闭区域D上上连续，连续， 为为D的面积，的面积，则在则在D上至少存在一点上至少存在一点( , ), 使得使得 ),(f证：证：( , ),f x yD在在 上上连连续续( , )d,Dmf x yM 0, 当当时时1( , )d,Dmf x yM 由闭区域上连续函数的介值定理，由闭区域上连续函数的介值定理，( , )D ，使使1( , )( , )dDff x y ，( , )d( , ) .Df x yf 22的大小顺序为的大小顺序为( ) 123312321213( );( );( );().A IIIB IIIC IIID III By

14、ox1D例例2. 设设D 是第二象限的一个有界闭域是第二象限的一个有界闭域 , 且且 0 y 1, 则则132332123d,d,dDDDIyxIy xIyx 提示提示: 因因 0 y 1, 故故122;yyy故在故在D上有上有:30,x 又又因因133232y xyxy x 22( , )1()d d (1,2,3,4),.().kkkDDDx y xykIyxx y k 设设是是圆圆域域位位于于第第 象象限限的的部部分分，记记则则练练习习(2013)数数二二，三三1234( )0,( )0,( )0,()0.A IB IC ID I Byox1yx 23. 422 yx解：解： 在在D上，

15、上， 9422yx2 2 22(49)dDxy 36.100例例3. 估计积分估计积分 d) 94(22 yxID的值，的值， 其中其中D是是圆形区域：圆形区域：而区域而区域D的面积的面积由性质由性质6知知:9 9)(422yx4 4925 4， I即即94 ，254 P137T5(4)24四、利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化四、利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化计算二重积分计算二重积分.(1)Dy若若区区域域 关关于于 轴轴对对称称, ,1( , ) ( , ),0,Dx yx yD x 记记则则( , )dDf x y (, )( , )fx yf x y 当当时时12(

16、 , )dDf x y ，(, )( , )fx yf x y 当当时时0，xyO2DD(2)Dx若若区区域域 关关于于 轴轴对对称称, ,2( , ) ( , ),0,Dx yx yD y 记记则则( , )dDf x y ( ,)( , )f xyf x y 当当时时22( , )dDf x y ，( ,)( , )f xyf x y 当当时时0，00 ( )( )d2( )d ( )aaaf xf xxf xxf x 奇奇偶偶25yzxxyz26(3)()Dyx 轮轮若若区区域域 关关于于称称换换对对称称性性对对则则注意注意:,使使用用时时必必须须兼兼顾顾被被积积函函数数和和积积分分区区

17、域域两两方方面面只只有有被被积积,.函函数数的的奇奇偶偶性性和和积积分分区区域域的的对对称称性性相相匹匹配配时时 才才能能使使用用( ,)d d( ,)d dDDfx yfyyxxx y ,.DyxDx y 关关于于对对称称, ,即即在在 的的边边界界方方程程中中互互换换后后方方注注程程保保持持不不变变：1( , )d( , )d ,2DDf x yf y x 1( )d( )d( )d( )d 2DDDDf xf yf xf y 特特别别的的有有2722( , )4,0,0,( )Dx y xyxyf xD 设设区区域域为为例例4.(2005), a b上上的的正正值值连连续续函函数数, ,

18、为为常常数数, ,则则( )( )d()( )( )Da f xb f yf xf y ( ); ( ); ( )() ; ( ).22ababA abBC abD 解解:由轮换对称性，有由轮换对称性，有( )( )d( )( )Da f xb f yf xf y ( )( )d( )( )Da f yb f xf xf y ( )( )( )( )1dd2( )( )( )( )DDa f xb f ya f yb f xf xf yf xf y ( )( )( )( )1d2( )( )Daf xf ybf yf xf xf y d2Da b .2a b D( )1f x 令令( )( )

19、( )( )1d2( )( )( )( )Da f xb f ya f yb f xf xf yf xf y 28五、平面区域的两种简单类型五、平面区域的两种简单类型1.如果平面区域为：如果平面区域为：, bxa ).()(21xyx X型区域的特点：型区域的特点：区域边界相交不多于区域边界相交不多于两个两个交点交点.穿过区域穿过区域且且平行于平行于y轴的直线轴的直线与与其中函数其中函数12( ),( )xx X型型 )(2xy D)(1xy xyoab在区间在区间a,b上上连续连续.2.如果平面区域为：如果平面区域为：, dyc ).()(21yxy Y型型 )(2yx )(1yx Dxyo

20、dcY型区域的特点：型区域的特点：的左右边界相交的左右边界相交不多于两个交点不多于两个交点.穿过区域穿过区域且且平行于平行于x轴的直线轴的直线与区域与区域xy29例例5. 用不等式组表示平面区域用不等式组表示平面区域D，其中，其中 2:1,2,2Dyxxyx 由由曲曲线线所所围围区区域域. .解解:oxy如图，如图，:D12x 1221yx 2xy 2x 1思考：思考： 平面区域平面区域D能表示为能表示为Y型区域吗？怎么写出不等型区域吗？怎么写出不等式组？试试看式组？试试看! D221yxx 25112:;22yDxy 225:12yDyx 12DDD 3001( , )d dlim( , )

21、.niiiiDf x yx yf 六、内容小结六、内容小结2.二重积分二重积分: 0 1( )dlim( )nbiiaif xxfx 二重积分与定积分有类似的性质二重积分与定积分有类似的性质.1.定积分定积分:要求要求:复习上期所学的积分公式和积分法则复习上期所学的积分公式和积分法则(直接法直接法,换元法换元法,分部法分部法).作业作业:复习本节课的概念复习本节课的概念预习预习:P137-P1443132 dbax 思考：曲顶柱体体积的计算思考：曲顶柱体体积的计算设曲顶柱体的底为设曲顶柱体的底为12( , )( )( )Dx y axbxyx ，0 , ,xa b 0 xx 平平面面故曲顶柱体

22、体积为故曲顶柱体体积为( , )dDVf x y 2010()00()()(, )dxxA xf xyy 21( )0( )(, )dxxf x yy ( )dbaA xx 截柱体的截面积为截柱体的截面积为2( )yx 1( )yx zxyoabD0 x20()yx 10()yx zyo0 x( , )zf x y 0(, )zf x y 33复习不定积分公式复习不定积分公式(22个个)幂幂2个个指指2个个三角三角10个个有理式有理式4个个无理式无理式4个个dd K xxx ，ddxxexax ，sin dcos dx xx x ，22secdcscdx xx x ，sec tan dxx x

23、 ，csc cot d .xx x 2dd,1xxxx ，22211d ,d ,1xxxax sec dcsc d ,x xx x ，tan dcot d ,x xx x，2222dd.xxaxxa ，221d .xxa 34幂函数，指数函数的积分公式：幂函数，指数函数的积分公式：Kx+C1(1);1xC (1)dK x (2)d x x ;Cex .lnxaCa (3)dxex (4)dxax 35Cxx cotcsclnCx coslnCx sinlnCxx tansecln(3) tandx x (4) cotdx x (6) cscdx x (5) sec dx x cos;x C sin;xC (1