2018届高考数学艺术生短期集训专题知识突破：考点18函数y=Asin(ωxφ)的图象与性质

1、考点十八函数 y=Asin（ ”+妨的图象和性质知识梳理1.五点法作 y=Asin（3x+$）个周期内的简图点的坐标，描点得到图象2.三角函数图象变换法一3.函数y=Asin( wx+妨的几个概念若函数 y = Asin(wx+ (A0,典例剖析题型一三角函数的图象变换.（填序号）1向左平移利单位向右平移芸个单位向左平移 3 个单位向右平移訐单位答案用“五点法”作图，就是令3X+ 取下列 5 个特殊值:n3n0,2，ny, 2n通过列表，计算五向右（ec平移|判个单位 得到尸血（；+则的图象卜横坐标变为原来的舟倍II得到y=Bin（wr+的图象一纵坐标醛为原来的冲倍-画出尸gin f的图象横坐

2、标变为应来的寻倍得劃ywin如工的图象回左或 冋右佃0）14 得到虫斗卩）的图象纵坐标变为1原来的A倍得到尸/kin（33t+0,x（a, +s）表示一个振动量时，则 A 叫做振幅,T=2n叫做周期，f=1叫做频率，3I3X+ 叫做相位，叫做初相.例 1（2015 山东文）要得到函y = sin4x -才的图象，只需将函数y= sin 4x 的图象解析Ty= sin 4x 步骤3步骤步骤步骤sin-n12 ，考点十八函数 y=Asin（ ”+妨的图象和性质要得到 y = sin 4x 寸的图象，只需将函数y= sin 4x 的图象向右平移 =个单位._n1变式训练把函数 y= sin（x+ &

3、amp;）图象上各点的横坐标缩短到原来的-（纵坐标不变），再将图象向右平移 3 个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为 _.答案 x=-nn1解析 将 y = sin（x+舌）图象上各点的横坐标缩短到原来的 2（纵坐标不变），得到函数 y = sin（2x +n）;再将图象向右平移个单位长度，得到函数 y = sin2（x-3） +=sin（2x-,故 x=-扌是其图象的一条对称轴方程.解题要点图象平移时要注意平移量的求解，由y= sinx 的图象变换到 y= Asin（x+妨的图象，两种变换区别在于：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移量是制个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，

4、平移量是凶（30）个单位.原因在于相位变换和周期变换都是 针对 x而言，即 x 本身加减多少值，而不是依赖于3X加减多少值.题型二三角函数的五点法作图例 2 设函数 y= 2sin ?x+訂（1）用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；说明函数 f（x）的图象可由 y= sin x 的图象经过怎样的变换而得到的.解析（1）列表,xn6n12n37n125n6y= sin x010-10(n y= 2sin+3 丿020-20描点画出图象:（2） 方法再把 y= sin”才的图象上的点的横坐标缩短到原来的 1 倍（纵坐标不变），得到 y= singx+寸的图象，最后把 y = sin 2

5、x+扌上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍(横坐标不变),即可得到解析（1）由题中图象得 A= 1 ,T= n=n,所以 T = 2n,贝U 3=1.43621，又n林n，所以$=n，因此函数 f(x)=si ny+n(2)由于一 曲 xw n 严三 x+詐n，所以10, 30)的步骤和方法M m M + m(1)求 A, b:确定函数的最大值M 和最小值 m,贝 U A=厂,b=;求3：确定函数的周期 T,则可得3=2jn；y= 2sin2x+n的图象1方法二 将 y= sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的-倍，纵坐标不变，得到 y= sin2x 的图象；再将 y= sin 2x

6、 的图象向左平移f个单位长度，得到丫= sin 2x +总=sin ?x+图象；再将 y= sin 2x+扌的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2 倍,得到 y= 2sin ?x+扌勺图象.解题要点(1)五点法作简图:用“五点法”作 y= Asin(+ 的简图，主要是通过变量代换,设 z= 3x+購由 z 取 o, n3n2n来点后得出图象.图象变换：由函数 y=sin x 的图象通过变换得到 y=Asin(3x+$)的图象，有两种主要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.题型三 由图象求 y= Asin( (3x+的解析式例 3 函数 f(x)=Asin(3x+$)$0,

7、30,寺 府，xRj的部分图象如图所示.(1)求函数 y= f(x)的解析式;当 x，求 f(x)的取值范围.12,将点in，1)(3)求():常用的方法有：1代入法：把图象上的一个已知点代入(此时 A,3,b 已知)或代入图象与直线 y= b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)2五点法：确定0值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口具体如下：“第一点”(即图象上升时与 X 轴的交点)时3X+ 0=0 ； “第二点”(即图象的“峰点”)时3X n+0=2; “第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)时3x+ 0= n“第四点”(即图象的“谷 点”)时3x+0= ；“

8、第五点”时3x+ 0=2n.题型四 函数 y= Asin(g+0的对称性、周期性、奇偶性例 4 函数 f(x) = cos(2x的最小正周期是 _ 答案n2n2n解析最小正周期为 T =25=乎兀32变式训练已知函数 f(x) = sinp+3ny(xR)，下面结论错误的是 _(填序号)1函数 f(x)的最小正周期为n2函数 f(x)是偶函数3函数 f(x)的图象关于直线 x=n对称4函数 f(x)在区间 0,寸上是增函数答案解析 f(x) = sin gx+于=cos 2x,故其最小正周期为n,故正确；易知函数 f(x)是偶函 数，正确；由函数 f(x) = cos 2x 的图象可知，函数

9、f(x)的图象不关于直线 x=n对称， 错误；由函数 f(x)的图象易知，函数 f(x)在 0,才上是增函数，正确，故选 .解题要点1三角函数的奇偶性的判断技巧：首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断.2求三角函数周期的方法：利用周期函数的定义.2n2利用公式：y = Asin(wx+)和 y= Acos(x+的最小正周期为 ，y = tan(x+)的最小正3利用图象.3三角函数的对称性：正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形， 正切函数的图象只是中心对称图 形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用另外函数+、余

10、弦函数 y=Acos(wx+妨在对称轴处必取极值A，在对称轴处必取 0，借助这一性质 可快速解题.当堂练习nn1 函数 f(x)=2sin(wx+)(w0, -2vv?)的部分图象如图所示，贝Uw的值分别是答案 2, -n解析由图象可得，3T=- -n=3f,T =n,则w=牛=2,再将点2/弋入 f(x) = 2sin(2x+ 中得，sinfj=1, 令5r+ =2kn+ ,kZ,解得，= 2kn, k Z,又T 2, 2，则取 k= 0，二 = 32.(2014 宁卷)将函数 y= 3sin 2x+扌的图象向右平移；个单位长度，所得图象对应的函数_(填序号)在区间 1n，1n上单调递减在区

11、间，1n上单调递增y=Asi n(wx?123在区间一 6， 3 上单调递减 在区间一 6， 3 上单调递增答案 解析 由题可知，将函数 y= 3sin 2x+扌的图象向右平移；个单位长度得到函数 y=3si ngx 彳”的图象，令一n+ 2knW2x-彳亦扌+ 2knk Z,即谥+ k x0 时，0min=茫2 8 8可知当 k = 0 时，函数在区间:n,7n上单调递增.5.(2015 新课标I文)函数f(x)= cos(+0)的部分图象如图所示，贝Uf(x)的单调递减区间为 答案 2k 4, 2k+ 4 , k Z解析 由已知图象可求得3与$的值，然后利用余弦函数的单调区间求解. 由图象

12、知，周期 T= 2 5 4=2,n_ n由n X+ $= + 2kn,k Z,不妨取 $= 4,n13由 2knn+42kn+n,kZ，得 2k4x0，胡0)的图象向右平移n个单位长度，所得图象经过点lijj5,0/则3的最小值是_ .答案 2n3nn解析 y= sin3(x 4)过点(才n,0), si ng3=0,23=kn 3=2k,当 k= 1 时，3最小 值为2.n9.函数 f(x) =Asin(3X+0)(AO, 30, 1 训2)的部分图象如图所示，贝 yf(x) =_ .答案 2sin+n解析 依题意得，A= J2, 2n=2 人 6 + 2)= 16,3=n38sin(診 +

13、 = 1,又W|0,(j)0,在函数 y= 2sinx与 y= 2cos 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为 23，贝 U 3=_ .答案nry=2si nwx,解析由 f得 sin x=cosw,y=2coswxntanw=1, wx=kn+4 (kZ).kn n w0,. x= +(k Z).w4w 设距离最短的两个交点分别为(X1,y1), (X2,y2)，不妨取*=亡，X2=艺,又结合图形知|y2 y1|= 2y2 普 =2y2,且(s %)与(x2, y2)间的距离为 2 3, (x2x1)2+(y2y1)2=(2.3)2,二、解答题12.已知函数 f(x) = .2sin

14、2x才 + 1.(1) 求它的振幅、最小正周期、初相；n % I(2) 画出函数 y= f(x)在一 2 2 上的图象. w+ (2 何=12,n2.解析(1)振幅为寸 2,最小正周期 T =n初相为一nY4(2)图象如图所示.14V11c1i|I11Jr-1r_i r 7111li1*111111111i-Tr T-J T_21i 1113T 7Tf HT1 / iiii11 111 1!ii 11：1/ i i i i / I I ; I1i|ftIi.111 |i11/iiii/1iiiirr rATr性ip|J1 Z1!1 N1十r T r TT_/1II1|i|i11il-K.-2-

15、K-4 m141112On n in5Bx -jJ；- iRijHIIIH- 1-4-r-1-1HnIlliI11111111111111i14_4-x4i41i11111 =iiiiiiI1111卜1沪i- =2II1III11hl111111I111k13.(2015 湖北文)某同学用“五点法”画函数f(x)= Asin( ”+妨30,寸在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：3X+ $0n2n22nxn35n 石Asi n(3x+册0550(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；将 y= f(x)图象上所有点向左平行移动 6 个单位长度，得到 y= g(x)的图象，求 y= g(x)的图 象离原点O 最近的对称中心.n解析(1)根据表中已知数据，