充分条件和必要条件含区分和例题

1、充分条件和必要条件解释：如果有事物情况 A,则必然有事物情况 B;如果没有事物情况 A,则必然没有事物情 况B, A就是B的充分必要条件（简称：充要条件） 。简单地说，满足 A,必然B;不满 足A,必然不B,则A是B的充分必要条件。（A可以推导出B ,且B也可以推导出 A）例如： 1. A= "三角形等边"；B= "三角形等角”。2. A= "某人触犯了刑律”；B= "应当依照刑法对他处以刑罚"。3. A= "付了足够的钱"；B= "能买到商店里的东西”。例子中A都是B的充分必要条件：其一、 A必然导致B

2、;其二，A是B发生必需的。区分：假设A是条件，B是结论由A可以推出B由B可以推出A则A是B的充要条件（充分且必要条件）由A可以推出B由B不可以推出 A则A是B的充分不必要条件由A不可以推出B由B可以推出A则A是B的必要不充分条件由A不可以推出B由B不可以推出 A则A是B的不充分不必要条件简单一点就是：由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件如果能由结论推出 条件，但由条件推不出结论。此条件为必要条件如果既能由结论推出条件，又能有条件推出结论。此条件为充要条件例子：1.充分条件：由条件 a推出条件b,但是条件b并不一定能推出条件 a,天下雨了，地面一定湿，但是地面湿不一定是

3、下雨造成的。2.必要条件：由后一个条件推出前一个条件，但是前一个条件并一定能推出后一个条件。我们把前面一个例子倒过来：地面湿了，天下雨了。我这里在简单说下哲学上的充分条件和必要条件1 .充分条件是指根据提供的现有条件可以直接判断事物的运行发展结果。充分条件是事物运行发展的必然性条件， 体现必然性的哲学内涵。 如父亲和儿子的关系属于亲情关系吗？答 必然属于。2 .必要性条件。事物的运行发展有其规律性，必要性条件是指一些外在或内在的条件符合该事物的运行规律的要求，但不能推动事物规律的最终运行。如亲情关系和父子关系，亲情关系符合父子关系的一种现象表达，但不能推倒出亲情关系属于父子关系。集合表示：设A

4、、B是两个集合，A是B的充分条件，即满足 A的必然满足B,表示为A包含于B;A是B的必要条件，即满足 B的必然满足 A,表示为A包含B,或B包含于A;A是B的充分不必要条件，即 A是B的真子集，表示为 A真包含于B ;A是B的必要不充分条件，即 B是A的真子集，表示为 A真包含B,或者B真包含于A;A是B的充分必要条件，即 A、B等价，表示为 A=B。其中包含与真包含的符号打不出，自己写吧。不过这种表示方法非常的不严格，实际中A、B两集合的元素未必是同一各类，而只是有一定的逻辑关系，所以这种表示法也只能在特别的情况下适用。例题：例1 已知p : x1 , x2是方程x2 + 5x 6 =。的两

5、根，q : x1 + x2 = 5 ,则p是q 的A.充分但不必要条件B .必要但不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件分析 利用韦达定理转换.解 x1 , x2是方程x2 + 5x 6 = 0的两根，x1 , x2的值分别为1 , 6 ,x1 +x2 = 1 6 = 5 .因此选A.说明：判断命题为假命题可以通过举反例.例2 p是q的充要条件的是A. p : 3x + 2>5, q： - 2x -3>- 5B . p : a >2 , b <2 , q ： a >bC. p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形D . p ： a w 0

6、 , q ：关于x的方程ax = 1有惟一解分析逐个验证命题是否等价.解 对A. p ： x> 1 , q ： xv1,所以，p是q的既不充分也不必要条件；对B . p q但q p , p是q的充分非必要条件；对C . p q且q p , p是q的必要非充分条件；说明：当a = 0时，ax = 0有无数个解.例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则 D是A成立的A.充分条件B.必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件分析 通过B、C作为桥梁联系 A、D .解,.飞是B的充分条件， A BD是C成立的必要条件，C D由得A C由得A D .D是A

7、成立的必要条件.选 B .说明：要注意利用推出符号的传递性.例4 设命题甲为：0VXV5,命题乙为|x 2| <3,那么甲是乙的 A.充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件分析先解不等式再判定.解解不等式|x - 2| v 3得1 v x v 5 .1 0<x<5 1vxv5,但一1vxv5 0vxv5，甲是乙的充分不必要条件，选A.说明：一般情况下，如果条件甲为xC A,条件乙为xC B.当且仅当A=B时，甲为乙的充要条件.例5 设A、B、C三个集合，为使 A (B U C),条件A B是A.充分条件B .必要条件C .充要条件D .既不

8、充分也不必要条件分析 可以结合图形分析.请同学们自己画图.A (B U C).但是，当 B = N, C = R, A = Z 时，显然A (B U C),住B不成立，综上所述：“ A B ”“A (B U C) ”，而“A (B U C) ”“A B ” .即“ A B ”是“ A (B U C) ”的充分条怦必'要).选A .说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况.例6 给出下列各组条件：(1)p : ab = 0, q： a2 + b2 = 0;(2)p : xy > 0 , q ： |x| + |y| = |x + y| ;(3)p : m>0

9、, q：方程 x2 x m = 0有实根；(4)p : |x 1| >2, q ： xv1.其中p是q的充要条件的有A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组分析使用方程理论和不等式性质.解(1)p是q的必要条件(2)p是q充要条件(3)p是q的充分条件(4)p是q的必要条件.选 A.说明：ab=0指其中至少有一个为零，而a2 + b2 =0指两个都为零.分析 将前后两个不等式组分别作等价变形，观察两者之间的关系.例8 已知真命题“a> b c>d”和“ av b e姆f"c*d”是“ ewf”的 条件.分析 a> b c班原命题),c< d a <

10、b(逆否命题).而 a v b e < f ,c< d e <SP c<d是e<f的充分条件.答填写“充分”.说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法.例9 ax2 + 2x + 1 = 0至少有一个负实根的充要条件是A. 0 v aw 1 B . av 1C. a< 1 D.0vaW1 或a<0分析 此题若采用普通方法推导较为复杂，可通过选项提供的信息，用排除法解之.当a =1时，方程有负根 x = -1,当a=0时，x =当aw 0时综上所述a< 1 .即ax2 + 2x + 1 = 0至少有一个负实根的充要条件是a w 1

11、.说明：特殊值法、排除法都是解选择题的好方法.例10 已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么s , r, p分别是q的什么条件？分析 画出关系图1 21 ,观察求解.解 s是q的充要条件；(s r q , q s)r是q的充要条件；(r q , q s r)p是q的必要条件；(q s r p)说明：图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系.例11 关于x的不等式分析 化简A和B,结合数轴，构造不等式(组)，求出a.解 A= x|2a WxWa2 4, B=x|(x 2)x (3a + 1) < 0B = x|2 < x < 3a 4.B = x|3a + 1 w x w 2说明：集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关.在解题时要理清思路，表达准确，推理无误.要条件？分析将充要条件和不等式同解变形相联系.说明：分类讨论要做到不重不漏.例13 设“，3是方程x2 ax + b = 0的两个实根，试分析 a>2且b>1是两根“，3均大于1的什么条件？分析把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需上述讨论可知：a>2, b>1是a>1, 3 >1的必要但不充分条件.说明：本题中的讨论内容在二次方程的根的分布理论中常被使用.例14 （1991年全