余弦定理基础知识及常见题型汇总

1、余弦定理一、考点、热点回忆一余弦定理及推论1、余弦定理： a2 =, b2=, c2=.2、余弦定理的推论： cos A=, cos B =, cos C =,二利用余弦定理解三角形（1） 三角形的两边及其夹角解三角形根本思路：1利用余弦定理求出第三边；2利用余弦定理的推论求出一个未知角；3利用三角形内角和定理求出第三个角；（2） 三边解三角形根本思路：1利用余弦定理的推论求出一个角；2利用余弦定理的推论求出第二个角；3利用三角形内角和定理求出第三个角；（3） 两边及其中一边的对角解三角形根本思路：1根据余弦定理列关于第三边的方程；2方程的正解就是第三边的边长,正解的个数就是三角形的解的个数.

2、二、典型例题考点一、根本概念例1、1在祥BC中,a= 9,A.而B. 8s2在 ABC 中,a 7,b 473A> -B> b=23, C=150°,那么 c等于C. 10V2D. 773c v13 ,那么ABC的最小角为C、一D、变式练习1、1在祥BC中, A=30°,且3a=V3b=12,那么c的值为A. 4B. 8C. 4或 8D.无解2在 ABC 中,假设 b2 a2 c2 ac,那么 8为 A、60°B、45 °或 135°C、120°D、30 °考点二、三角形的两边及其夹角解三角形例 2、在 4ABC

3、 中, a=2, b= 2,2 , C=15° ,求角 A.3,那么 sin BAC =变式练习2、在那BC中, ABC -,AB 72, BC4A. J0B, J0C.辽 D. J105105考点三、三角形的三边解三角形例3、在4ABC中,a= 7, b=3, c= 5,求最大角和 sinC.变式练习 3、在那BC中,假设a=2、/3, b=22, c= m + ® 求 A, B, C考点四、两边及其中一边的对角解三角形2例4、在4ABC中,角A, B, C所对的边分别为 a, b, c,a= J5 , c=2, cosA=-,那么b=()3A. -B. -C. 2D,

4、3变式练习4、在那BC中,假设b=3, c=3A/3, B= 30°,求A, C和a.考点五、判断三角形的形状例 5、在 4ABC 中,假设 b2sin2C+c2sin2B= 2bccos Bcos C,试判断 那BC 的形状.变式练习 5、(1)在4ABC中,acos A + bcos B= ccos C,试判断 AABC的形状.(2)(a+b+c)(a+b-c)=3ab 且2cosAsinB=sinC,判断此三角形的形状考点六、正余弦定理的综合应用例 6、(1) AABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, asin A+ csin C-j2asin C= b

5、sin B.1)求角B的大小；2)假设 A= 75°, b = 2,求 a, c.(2)在 AABC 中,求证 a2sin 2B+b2sin 2A= 2absin C.变式练习6、在那BC中,内角A, B, C所对的边长分别是 a, b, c.(1)假设c=2, C=£且 "BC的面积为 品 求a, b的值； 3(2)假设 sin C+ sin(B-A)=sin 2A,试判断 AABC 的形状.三、课后练习,. 一11 .在ABC 中,如果 BC=6, AB=4, cosB = -,那么 AC 等于3A. 6C. 3 ,6解析：选A.由余弦定理,得AC= MAB2

6、 + BC2 2AB BCcosB= y42+ 62-2>4X6X1=6.C= 30°,那么c等于B. ,2D . 22.在ABC 中,a=2, b= V3-1,A. 3C. 5解析：选B.由余弦定理,得 c2= a2+ b2- 2abcosC= 22+陋12-2X2XtJ3-1cos30°=2,c= 2.3 .在 ABC 中,a2= b2+c2+Wbc,那么/A 等于A. 60°C. 120解析：选D.cos/A=B. 45°D. 150b2 + c2 a2 一置bc2bc2bc兀A.-6兀,、,5兀C.或国66cosB =a2+c2b2 亚2a

7、c2 tanB.3 cosB.2 sinB0°<Z A< 180°, .A= 150°.4 .在 ABC 中,/ A、/ B、/C 的对边分别为 a、b、c,假设a2+c2b2tanB = 43ac,那么/ B 的值为兀叼兀,、,2兀D.£或工33解析：选D.由(a2+c2b2)tanB= mac,联想到余弦定理,代入得显然/哼,sinB=乎.安5.在 ABC中,a、b、c分别是 A、B、C的对边,那么 acosB+bcosA等于(A. aC. c8. bD.以上均不对解析：选C.a$A + b巳守=竽=c. 2ac2bc 2c6 .如果把直

8、角三角形的三边都增加同样的长度,那么这个新的三角形的形状为A .锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度决定解析：选 A.设三边长分别为 a, b, c且a2+b2=c2.设增加的长度为m,那么 c+ m>a+m, c+m>b+m,又(a+m)2+ (b+ m)2= a2+b2 + 2(a+ b)m + 2m2>c2+ 2cm + m2= (c+ m)2, ,三角形各角均为锐角,即新三角形为锐角三角形.7 .锐角三角形 ABC中,|AB|=4, |AC|=1, ABC的面积为 J3,那么ABaC的值为()A. 2B. 2C. 4D. - 4、心 如八U 1斛析：

9、选 A.Saabc='3= 2|AB| |AC| sinA1“=2X4M KinA,sinA = 3,又ABC为锐角三角形,八1Afe AC = 4X1& = 2.8.在 ABC 中,b = V3,A. .'3C.>/3或2小解析：选 C.在 ABC中,a2-3A/3a+ 6=0,解得 . cosA=-, 2c=3, B=30°,那么 2为()B. 2v3D . 2由余弦定理得b2= a2+ c2 2accosB,即 3 = a2+ 9 3j3a,a=或2术.9 . ABC的三个内角满足 2B = A+C,且AB= 1 , BC = 4,那么边BC上的中

10、线 AD的长为 一,一_TT斛析：1'1 2B= A + C, A+B+C= Tt, b B =.3在 ABD中,AD = RaB2 + BD2 2AB BD cosB= 1 + 4 2MX2X1 = p答案：310 . AABC 中,sinA : sinB : sinC =(点一1) ： “3+1)：匹,求最大角的度数.解：sinA : sinB : sinC=(地一1) ： (3+1):标,. a ： b ： c=(淄1)：(/+ 1) ： 10.设 a=(艰1)k, b=(逆+1)k, c=>/10k(k> 0),c边最长,即角 C最大.由余弦定理,得a2+b2c21

11、cosC= -2ab = 一 £,又 CC (0 °, 180°),C=120°.11 .a、b、c是AABC的三边,S是AABC的面积,假设 a = 4, b=5, S= 573,那么边c的值为 一 13,、斛析：S= 2absinC, sinC= 2, 3=60 或 120 .1. cosC=又c2= a2+ b2 - 2abcosC,d=21 或 61,c=痼或病.答案：声或舸12 .在 ABC 中,sin A ： sin B ： sin C= 2 ： 3 ： 4,那么 cos A : cos B : cos C =.解析：由正弦定理 a ： b

12、： c= sin A ： sin B ： sin C = 2 ： 3 ： 4,设 a= 2k(k>0),那么 b=3k, c=4k,cos B =a2+c2b22k 2+ 4k 2 3k 2 112ac16'2X2kx4k同理可得:cos A :八71cos A=", cos C= 7, 84cos B : cos C= 14 ： 11 ： ( 4).答案：14 ： 11 ： (4)13 .在 ABC 中,a=3也,cos C=1, Saabc=4>/3,那么 b =3解析：: cos C=t,sin C=dg.331_又 &abc= £absi

13、nC= 4v3,即1 b3必第=4圾 23b=2 3.AC=6,那么AB bC的值为答案：2 314. ABC的三边长分别为 AB=7, BC=5,解析：在 ABC中,cosB =AB2+BC2AC22AB BC49+2536=2次为_ 19=,35AB ebc=|AB| |Bci ,19=7沟Z-19) 35=-19.答案：19 cos(B)15. ABC的三边长分别是a、1斛析：2bsinC = S=1a2+ b2c2a2.b、c,且面积+ b2-c2 ab2ab 2= ,abcosC,sinC=cosC,tanC=1,C=45°.答案：45°aS=-2+ b2- c2

14、16. (2021年广州调研)三角形的三边为连续的自然数,且最大角为钝角,那么最小角的余弦值为 解析：设三边长为 k- 1, k, k+1(k>Z kC N),k2+ k-1 2 k+1 2< 0? 2<k<4,那么k+ k 1 > k+ 1 k= 3,故三边长分别为2,3,4,最小角的余弦值为32+42 2278.答案：7817.在 ABC 中,BC = a,解：A+B+C=兀且AC=b, a, b 是方程 x2243x+2=0 的两根,且 2cos(A+B) = 1,求 AB 的长. 2cos(A+B)=1,11 cos(亡C)=2,即 cosC = 2.又a

15、, b是方程x22寸3x+2=0的两根,a+ b = 2,3, ab= 2.AB2= AC2+ BC2 2AC BC cosCc 11=a2+ b2 2ab( 2)=a2+ b2+ ab= (a+ b)2 ab=(2m)22= 10, AB=回.18. ABC 的周长为6+ 1,且 sin A+sin B= V2sin C. (1)求边AB的长；. 1 一 ,(2)假设4 ABC的面积为gsin C,求角C的度数.解：(1)由题意及正弦定理得AB+BC+AC=V2+1, BC + AC = 2AB, 两式相减,得 AB= 1.1一一 一 1 一 一一 1(2)由 ABC 的面积 2BC AC

16、sin C=6sin C,得 BC AC = 3AC2 BC2-AB2由余弦7E理信 COS C = 2AC BC_ AC + BC 2-2AC BC-AB2_12AC BC 2,所以C=60°.19 .在 ABC 中,BC = 75, AC=3, sin C= 2sin A.求AB的值；(2)求 sin(2A 4)的值.AB解：1在4ABC中,由正弦定理sABCBCsin A'得 AB = SinBC = 2BC= 2aJ5.(2)在 ABC中,根据余弦定理,得AB2 + AC2 BC2 2：COS A= 2AB AC = 5 ' 于是 sin A= yjl cos2A=乎.4从而 sin 2A =2sin Acos A=-,5cos 2A= cos2 A sin2 A=5所以 sin(2A- 4)= sin ZAcosn cos 2Asin4=噜.20 .在 ABC 中,(a+b+c)(a+b c) = 3ab,且 2cos Asin B =