2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(1)学案新

1、A.周期为n的奇函数B.周期为n的偶函数142正弦函数、余弦函数的性质(一)学习目标 1. 了解周期函数、周期、最小正周期的定义(重点).2.会求函数y=Asin(3x+0)及y=Acos(3x+0)的周期(重点).3.掌握函数y= sinx、y= cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性(重点)I ilii預习I自$学习小诜基讹知识点 i 周期函数i 周期函数条件对于函数f(x)，存在一个非零常数T、当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)结论函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期2.最小正周期条件周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数结论这个最小正

2、数叫做f(x)的最小正周期【预习评价】(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 周期函数y=f(x)的定义域可以为a,b(a,bR).(I 7(2) 任何周期函数都有最小正周期.()(3)若存在正数使f(x+T)=-f(x)，则函数f(x)的周期为 2T.()提示(1)X,周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界.(2)X,常数函数f(x) =C,任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期.(3)V,f(x+ 2T) =f(x+T) +T =-f(x+T) =- f(x) =f(x)，所以f(x)的周期1/C为 2T.知识点 2 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性-Z f函数y= sinx

3、y= cosx周期2kn（k Z 且k工 0）2kn（k Z 且k工 0）最小正周期2n2n奇偶性奇函数偶函数【预习评价】2函数y= sin(x+ n)是()3n解析 因为y= sin(X+ ) = cosx,所以该函数是周期为2n的偶函数.答案 D課堂互动题型一求三角函数的周期【例 1】 求下列函数的周期:(1)y= 2sin( *x+ 6) ,X R；ny=12cos( yX),X R;(3)y= |sinx| ,x R.函数y= 2sin x + -6 ,x R 的值才能重复出现,函数y= 2sin4x+n,x R 的周期是 4n.2nnn/ 12cos(x+4)=12cos(x+2n)

4、=12cos(x),2、22n自变量x只需并且至少要增加到x+ 4，函数y= 1 2cos(x) ,x R 的值才能重复 需并且至少2出现，n函数y= 1 2cos(2x) ,x R 的周期是 4.作图如下:TV2 IT I观察图象可知最小正周期为n.C.周期为 2n的奇函数D.周期为 2n的偶函数题型剖析.可动操究1解(1)T2sin |zX+4n2sin2x+?，自变量X只要并且至少要增加到X+4n,2n=2sin |gx+24规律方法求三角函数周期的方法(1)定义法，即利用周期函数的定义求解.公式法，对形如y=Asin(3x+0)或y=Acos(3x+0)(A,3, 0是常数，A 0,5

5、(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期.三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解.(1)下列是定义在 R 上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是【训练 1】/乃i,V/4-3-2-O1 2 S 4 X? 1y-辛ia1yo解析对于x ( 1,1)时的图象与其他区间图象不同，不是周期函数.答案 DA.C.F列函数中,xy= sin 2xy= cos二周期为n的是()B.y= sin 2xD.y= cos 4x解析 选项 A,周期T=亍=4n;选项 B,周期T=2n;选项 C,周期2nT=8 n；4选项D,周期T=答案 D题型二 三角函数的奇偶性【例 2】 判断下列函

6、数的奇偶性：r( 1n、(1)f(x) = sin i 尹+ ;(2)f(x) = lg(1 sinx) lg(1 + sinx);1 + sinx cos2x(3)f(x)=1+ sinx解(1)显然x R,f(x) = cos ,c61 - sinx0,由得一 1sin x0,解得定义域为 径|X R且XMkn+才,k Z f(x)的定义域关于原点对称.又：f(x) = lg(1 sinx) lg(1 + sinx)f( x) = lg1 sin( x) lg1 + sin( x)=lg(1 + sinx) lg(1 sinx) = f(x).f(x)为奇函数.(3) .1 + sinXM

7、0, sinx工一 1,一nxR 且xM2kn ,kZ.2 定义域不关于原点对称，该函数是非奇非偶函数.规律方法判断函数奇偶性的两个关键点关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f( x)与f(x)的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.【训练 2】 判断下列函数的奇偶性：(P(1)f(x) = |sinx| + cosx；f(x) = 1 cosx+ cosx 1.解(1)函数的定义域为 R,又f(x) = |sin(x)| + cos( x) = |sinx| + cosx=f(x)，所以f(x)是偶函数.t1 (2) 由 1 cosx0且

8、 cosx 1 0,得 cosx= 1，从而x= 2kn,k Z,此时f(x) = 0,故该函数既是奇函数又是偶函数乂典例迁移题型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用【例 3】(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是n的函数是()A.y= cos|2x|B.y= |sinx|,-nc、C.y= sin + 2xD.y= cosni2+ 2x= cos 2x是偶函t7数，y= cos 竽2x= sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T=n.8_32 .2 017n2 018n ，+f3- +f-3-的直厂厂) )=f(672n +才才) )=f(才才) )=sin； = 2 018n2n2

9、nnnn3f(3)=f(672n +亍亍) )=f(石石) )=f()=f(亍亍) )=siny=于于,2 017n2 018n3厂所以f(3) +f(3)=+-7 =.3.规律方法三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1) 探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y=Asin(3x+ )或y=Acos(3x+0)的形式，再利用公式求解.(2) 判断函数y=Asin(3x+0)或y=Acos(3x+0)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y=Asin3x(A30)或y=Acos3x(A工 0)其中的一个.【训练 3】若函数f(x)是以专为周期的偶函数，且f片!=1,则f一号丿

10、=_ .解析f(罟)=f(年 + 3n) =f(青)=f(nn-寺)=f(-专)=f(专)=1 .答案 1答案 D定义在 R 上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为n,且当x 0,守时，f(x) = sinx，则f 53n等于()1A. 2B.C.D.解析5n5n2n2nf(丁丁) )=f(-3- n )=f(丁丁) =f (_3, n , nn )=f(_3)=f() = sin答案【迁移1】 若将例 3(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变,结果如何?5n5n解仁三)=f(亏n)=f(2n)=f(2n3rn. n，”n)=f()=f(三三) )=si

11、n5=【迁移 2】 若将例 3(2)题条件不变，求解f(2 017 n91毎堂反at课堂达标自丰反囹.检测成效101 函数f(x)= Sin 2x+ n的最小正周期为()nA. 4nB2nC. nD.2解析由题意T=n，故选 C.答案 Cn n2 .函数f(x) = cos( gx)的周期是(A. 3C. 6”丄 l2n解析T= 6.nT答案C)B. 3nD. 6n3函数y= sin(wx+亍)的最小正周期为”丄 l2n解析T= 2 ,. |w| =n ,. w=n.丨丨w |答案 土n4.函数f(x)是周期函数，10 是f(x)的一个周期,且f(2) =2,则f(22)=解析f(22) =f

12、(22 20) =f(2) = 2.答案三5.判断下列函数的奇偶性：33n(1)f(x) = sin i4x+2f(x) =x cosx.解(1)f(x)的定义域是 R,且f(x) = sin 扌x+3n=cos/:4所以f( x) =f(x)，则f(x)是偶函数.(2)f(x)的定义域是 R,又f( x) = ( x) cos( x) = xcosx=f(x), 所以f(x)是奇函数.课堂小结1.求函数的最小正周期的常用方法：(1) 定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使+T) =f(x)成立的T.(2) 图象法，即作出y=f(x)的图象，观察图象可求出T,女

13、口y= |sinx| .f(x1112结论法，一般地，函数y=Asin(3x+ $ )(其中 A,3,为常数，AM0,w0,x R）的周期T=2n.32 判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键如果定义域关于原点对称，再看f( -x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性.|课后非业序化训念訓砒升基础过关1 .函数f(x) =x+ sinx,x尺尺)A. 是奇函数，但不是偶函数B. 是偶函数，但不是奇函数C. 既是奇函数，又是偶函数D. 既不是奇函数，又不是偶函数解析 由f( x) =-x sinx= - (x+ sinx) =-f(x)可

14、知f(x)是奇函数.答案 A2.下列函数中，周期为 2n的是( )xA.y= sinB.y= sin 2xxC.y= |sin空空1D.y= |sin 2x|x2n解析y= sin q 的周期为T=4n;22ny= sin 2x的周期为T= 亍=n;xy= |sin m 的周期为T= 2n;冗y= |sin 2x| 的周期为T=.故选 C.答案 C3. 定义在 R 上的函数f(x)周期为n,且是奇函数，f匚=1,则f的值为()A. 1B. - 1C. 0D. 213解析f471=f冗一一4=f7f亍亍1.14答案 B14.若函数f(x) = sin( x+0)是偶函数，则0=由诱导公式得若f(

15、x)是偶函数0 =-2 +kn,k乙乙答案7t2-+kn ,kZ5若f(x)是 R 上的偶函数，当x0时，f(x) = sinx，则f(x)的解析式为解析当x0,所以f( x) = sin( x) = sinx,又f(x) =f(x)，所以f(x) = sinx,sinx,x0,即f(x)=sinx,x0,答案f(x)=sinx,x06 判断下列函数的奇偶性:(1)f(x) = cos2+2xcos(f(x) =1+ sinx+1 sinx；sin xsin xe+ e(3)f(x) =snxsine en +x);解(1)x R,f(x) = cos( 2 +2x)cos(n +x)=sin

16、 2x ( cosx) = sin 2xcosx.f( x) = sin( 2x)cos( x) = sin 2xcosx丄、亠=f(x).是奇函数.(2)对任意x R, 1wsinx0,1 sinx0.f(x) =1 + sinx+ sinx的定乂域是 R.f( x) = w f 1 +x+喽 1 x,1 sinx+ , 1 + sinx=f(x),y=f(x)是偶函数.sin xsin x(3) - e e丰0, sinXM0,xR 且XMkn ,kZ.定义域关于原点对称.解析15 x |0,寺时，f(x) = 1 sinx,-f (3n x)=1sin(3n x)=1sinx又Tf(x)

17、是以n为周期的偶函数， -f(3n x)=f(x)=f(x),-f(x)的解析式为f(x) = 1 sinx,x |n, 3n能力提升&函数y=画1sin x的奇偶性为()1 sinxA. 奇函数B. 既是奇函数也是偶函数C. 偶函数D. 非奇非偶函数解析由题意知，当 1 sinx工 0,即 sinx工1时，|sin x I sinxy= Eh=|sinx|，所以函数的定义域为 ix|x2kn +-|,k Z ,由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数.答案 De 工又:f( X)=sin xsin xe+ esinxsinxe ef(x),该函数是奇函数.7已知f(x)是以n为周期的偶函数，且x 0, -2 时,f(x) = 1 sinx,求当x兀5 5一2 2一兀3 331,rn 应应n，3n时时，3n-x，T，f(x)的解析式.解x169 .设f(x)是定义域为3nR ,最小正周期为的函数，若f(x)=cosx,sinx,00,若两处等号同时取到，则sinx= 0 且 sinx=- 1 矛盾,对x R 都有 sinx+ . 1 + sin2x0./f( x) = ln( sinx+1 + sin2x)A. 1B.C. 0D.解析=336 sin3“245+sinn +sinn +sinn +sinn +si