《结构力学》-龙驭球-10-动力学(5)解析

1、10-5 两个自由度体系的自由振动两个自由度体系的自由振动一、刚度法一、刚度法 （1）两个自由度体系）两个自由度体系m1m2y1(t)y2(t)m1m211ym 22ym K2K1K2K1y1(t)y2(t)121k11k112k22k0111 Kym 0222 Kym 2121111ykykK2221212ykykK0)()()(0)()()(2221212221211111tyktyktymtyktyktym 两自由度体系自由振动微分方程两自由度体系自由振动微分方程0)()()(0)()()(2221212221211111tyktyktymtyktyktym 设解为设解为)sin()()

2、sin()(2211tYtytYty1122( )( )y tYy tY常数=常数常数0)(0)(2222212121211211YmkYkYkYmk当然当然 Y1=Y2=0 为其解，为了求得不全为零的解，令为其解，为了求得不全为零的解，令0)()(222221121211mkkkmkD特征方程特征方程频率方程频率方程0)(211222221211kkmkmk1）在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角；）在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角；2）在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但其比值始）在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但其比值始终

3、保持不变。终保持不变。振动过程中，结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型。振动过程中，结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型。0)(211222221211kkmkmk2121122211222211122211122121mmkkkkmkmkmkmk（1）主振型）主振型112111122111CmkkYY212211122212CmkkYY（2）按主振型振动的条件：）按主振型振动的条件： 初位移或初速度与此振型相对应；初位移或初速度与此振型相对应；m1m2Y21Y11Y12Y220)(0)(2222212121211211YmkYkYkYmk最小圆频率称为第一最小圆频率称为第一(基本

4、基本)圆频率：圆频率：,12第二率圆频第二圆频率第二圆频率由此可见：由此可见： 多自由度体系如果按某个主振型自由振动多自由度体系如果按某个主振型自由振动，其振动形式保持不变，此时，其振动形式保持不变，此时，多自由度体系实际上是像多自由度体系实际上是像一个单自由度体系在振动一个单自由度体系在振动。实际上，多自由度体系在零时刻的实际上，多自由度体系在零时刻的 y0 或或 vo 通常不能完全与某一振型相对应。通常不能完全与某一振型相对应。例例7：设图示刚架横梁刚度为无限大，层间侧移刚度分别为：设图示刚架横梁刚度为无限大，层间侧移刚度分别为k1和和 k2 ，试求刚架，试求刚架水平振动时的自振动频率和主

5、振型。水平振动时的自振动频率和主振型。m1m2k1k2解：（解：（1）求频率方程中的刚度系数）求频率方程中的刚度系数1221kk2111kkk1212kk222kkk11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2（3）一般振动）一般振动)sin()sin()()sin()sin()(2222211212222122111111tYAtYAtytYAtYAty两自由度体系自由振动是两种频率及其主振型的组合振动两自由度体系自由振动是两种频率及其主振型的组合振动多自由度体系自由多自由度体系自由振动的振型分解振动的振型分解mkmk61803.238197.02221mkmk61803.161803

6、.021（3）求主振型）求主振型618.1138197.02:121111221111kkkmkkYY618.0161803.22:22122kkkYY1.6181.01.00.618第第1振型振型第第2振型振型（2）求频率）求频率0)(222221221kmkmkk0)(211222221211kkmkmkk11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2代公式代公式若有若有kkkmmm212122222114)12(21mknnn（3）求主振型）求主振型221221211211:mkkYY（2）求频率）求频率0)(222221221kmkmkk若有若有2121knknmm0)() 1(2

7、2222222kmknmkn4121n222221212222:mkkYY4121n若若 n = 90 则第一振型和第二振型分别为：则第一振型和第二振型分别为：11019可见当顶端质点的质量和刚度很小时，顶端水平侧移很大。可见当顶端质点的质量和刚度很小时，顶端水平侧移很大。 建筑结构抗震设计中，将这种因顶端质点质量和刚度突变，而导致顶端巨建筑结构抗震设计中，将这种因顶端质点质量和刚度突变，而导致顶端巨大反应的现象，称为大反应的现象，称为鞭梢效应鞭梢效应。如：屋顶消防水池、上人屋面设计的楼电梯间，女儿墙或屋顶建筑物等。如：屋顶消防水池、上人屋面设计的楼电梯间，女儿墙或屋顶建筑物等。二、二、 柔度

8、法柔度法m1m2y1(t)y2(t)22ym 11ym 122211111)()()(tymtymty 222221112)()()(tymtymty 设解为设解为)sin()()sin()(2211tYtytYty此时惯性力此时惯性力)sin()()sin()(2222212111tYmtymtYmtym 幅值幅值222112YmYm12222111121)()(YmYmY22222211122)()(YmYmY在自由振动过程中任意时刻在自由振动过程中任意时刻t，质量，质量m1、m2的位移的位移y1(t)、y2(t)应当等于体系在当时惯性力作用下的静应当等于体系在当时惯性力作用下的静力位移。

9、力位移。主振型的位移幅值等于主振型主振型的位移幅值等于主振型惯性力幅值作用下产生的静力惯性力幅值作用下产生的静力位移。位移。m1m2Y1Y2222Ym112Ym0)1(0)1(222221121221212111YmYmYmYm 当然解当然解 Y1=Y2=0，为了求得不全为了求得不全为零的解，令为零的解，令01122221212122111mmmmD令令210)()(2121122122112221112mmmmmm2121122211222211122211121)(4)()(21mmmmmm221111主振型主振型22111212221221111212211111mmYYmmYY1222

10、2111121)()(YmYmY22222211122)()(YmYmY几点说明：几点说明：1.1.按振型作自由振动时，各质点的按振型作自由振动时，各质点的 速度的比值也为常数，且与位移速度的比值也为常数，且与位移 比值相同。比值相同。2111111211111121)cos()cos()()(YYtYtYtyty2.2.发生按振型的自由振动是有条件的发生按振型的自由振动是有条件的. .211121211121) 0() 0(,) 0() 0(YYyyYYyy3.3.振型与频率是体系本身固有的属性振型与频率是体系本身固有的属性, , 与外界因素无关与外界因素无关. .4.N4.N自由度体系有自

11、由度体系有N N个频率和个频率和N N个振型个振型 02mk频率方程频率方程解频率方程得解频率方程得N N个个 从小从小到大排列到大排列N21,依次称作第一频率依次称作第一频率, ,第二频率第二频率.第一频率称作基本频率第一频率称作基本频率, ,其它为高其它为高阶频率阶频率. .将频率代入振型方程将频率代入振型方程 ), 2 , 1(NiYi得得N N个振型个振型 0)(2YmkN N个振型彼此之间是线性无关的个振型彼此之间是线性无关的. .5 5。若已知柔度矩阵时。若已知柔度矩阵时6 6。求振型、频率可列幅值方程。求振型、频率可列幅值方程. .4 4。N N自由度体系有自由度体系有N N个频

12、率和个频率和N N个振型个振型 02mk频率方程频率方程解频率方程得解频率方程得 的的N,N,从小从小到大排列到大排列N21,依次称作第一频率依次称作第一频率, ,第二频率第二频率.第一频率称作基本频率第一频率称作基本频率, ,其它为高其它为高阶频率阶频率. .将频率代入振型方程将频率代入振型方程 ), 2 , 1(NiYi得得N N个振型个振型 0)(2YmkN N个振型是线性无关的个振型是线性无关的. .振型方程振型方程 0)(2YmI频率方程频率方程 02mI按振型振动时按振型振动时)sin()sin(2211tYytYy)sin()sin(222211tYytYy )sin()()si

13、n()(22222111tYmtFtYmtFII5 5。若已知柔度矩阵时。若已知柔度矩阵时6 6。求振型、频率可列幅值方程。求振型、频率可列幅值方程. .振型方程振型方程 0)(2YmI频率方程频率方程 02mI按振型振动时按振型振动时)sin()()sin()(2211tYtytYty)sin()()sin()(222211tYtytYty )sin()()sin()(22222111tYmtFtYmtFII11Y22Y121Ym222Ym2222212121222212121111YmYmYYmYmY 0)(2XmI 02mI振型可看作是体系按振型振动时，振型可看作是体系按振型振动时，惯性

14、力幅值作为静荷载所引起的静位移惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移0.5a例例9. 试求图示梁的自振频率和主振型，梁的试求图示梁的自振频率和主振型，梁的EI已知。已知。12aaamm解：（解：（1）计算频率）计算频率1a1M12MEIaEIaEIa6,4,322321123113231203. 3967. 0maEImaEI（2）振型）振型61. 31277. 0122122111YYYY10.27713.61第一振型第一振型第二振型第二振型3、主振型的正交性、主振型的正交性m1m211121Ym11221YmY11Y2112122Ym22222Ym由功的互等定理：由功的互等定理：整理得：整理得

15、：m1m2Y12Y222122222111222122212121211211)()()()(YYmYYmYYmYYm0)(22212121112221YYmYYm21因因 ，则存在：，则存在：02221212111YYmYYm两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。由功的互等定理：由功的互等定理：2122222111222122212121211211)()()()(YYmYYmYYmYYm)51.15(02221212111YYmYYm上式分别乘以上式分别乘以12、22，则得：，则得：0)()(0)()(21222221112

16、22122212121211211YYmYYmYYmYYm第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零；惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零；某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量不会转移到某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动；其它主振型上，不会引起其它主振型的振动；各个主振型能单独存在，而不相互干扰。各个主振型能单独存在，而不相互干扰。 若结构对称，质量分布也对称，则该体系的主振型也是对称或反对称的。若结

17、构对称，质量分布也对称，则该体系的主振型也是对称或反对称的。因此，可以用位移法中处理对称性的方法，因此，可以用位移法中处理对称性的方法，取取半边结构进行计算半边结构进行计算。例例13-5-3 利用对称性简化图示结构柔度系数的求解。利用对称性简化图示结构柔度系数的求解。5. 利用对称性简化计算利用对称性简化计算 因为结构和质量分布均对称，其振型也是对称和反对称的，分别取半边结构因为结构和质量分布均对称，其振型也是对称和反对称的，分别取半边结构计算。计算。解：解：mmmaaaaaaEIEIEI 以求对称振型为例说明以求对称振型为例说明 中系数中系数的求解。首先求出半边结构在集中质量上的求解。首先求

18、出半边结构在集中质量上分别作用分别作用有单位集中力产生的弯矩图。有单位集中力产生的弯矩图。a) M1图图b) M2 图图aaa1320a1740aaaa710a310a1求对称振型求对称振型求反对称振型求反对称振型m2=m/2m1=maaaaaaEIEIEIEIm1=mm2=m/2为了求柔度系数，可以在另外的静定基本为了求柔度系数，可以在另外的静定基本结构结构上加单位力并作弯矩图。上加单位力并作弯矩图。 利用该弯矩图与上页的弯矩图图乘，很容易求得各柔度系数。利用该弯矩图与上页的弯矩图图乘，很容易求得各柔度系数。a) c) 图乘图乘求求 ，b) d) 图乘求图乘求 ，a) d)或或b) c)图乘

19、求图乘求 ，进而求自振频率和，进而求自振频率和主振型。主振型。11221221c)图图1M图图2Md)aaa2a1aaa1a例例13-5-2 求图示结构的自振频率和主振型。求图示结构的自振频率和主振型。m2=2maaam1=mEIEI解：解：aaaEIEI1a1M 图aaaEIEI1a /22M 图1) 作作 、 如右图示，如右图示，图乘求系数。图乘求系数。1M2M11333112(23122)2312()33aaaEIaaaaaEIaEI 322212()22326aaaaEIEI 312211 1(2)2224aaaaEIEI3331112224263aaa mmmmmEIEIEI322112212211233222114()4 () (1) 2616558()()486am mmEIaa mmEIEI 2) 求自振频率求自振频率12330.93152.3518EIEIa ma m33111212(2 )4aammmmEIEI31112233211112120.51410.15260.30521.1526amYmEIaa mYmmEIEI 3) 求主振型求主振型33321,214