2012-2013北邮概率论研究生试题答案定稿

1、2012-2013-北邮概率论研究生试题答案定稿1匕京邮电大学20122013学年第1学期概率论与随机过程试题期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容(包括填空题)做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答 题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号！一.单项选择题和填空题：(每空3分，共30分)1 .设4是定义在非空集合Q上的集代数,则下面正确的是.A(A)若Aw/ Be/,则A-Bw/；(B)若Aw/ 8uA,则Be/；(C)若4£/ = 12，则Cl'w/；Ex(D)若4 w，= 12,且44 ，则口4 w”.n=l2 .设(。3)为一可测空间，户为定义在其

2、上的有限可加测度，则下面正 确的是.c(A)若左7 BW月则P看一b) = P(A)-P(5)；X(B)若 4W，. = L2,，且4A => ，则尸(0 4J = limP(A)；(C)若Ae夕贝!|尸(AU3UC) = P(A) + P(H8) + P(XC)；88(D)若= ,，且AA.=0,Vi外，p(U4) = £p(A)H-I3 .设/为从概率空间(03P)到Borel可测空间(R,引上的实可测函数，100100f表达式为= 其中 A，4=0,ViWj，UA=。，则 JqP=;若已知p（&）=100!1Z!(100 幻！ 2项100尸(4 ),25+ 5()

3、2 =25254 .设二维随机变量（x,y）的概率密度2 f(x, 丁)=，'0<x<l,0<y <a其他，则 EEXIY=.2/35 .设随机过程XQ） = XcosW,yov，v*o,其中随机变量X服从参数为1的指数分布，。£(0,I/2)为常数，则(1) X的概率密度/(x;l)=； (2) E(jx()=.1 x e 70y>0 r-1 fY) = cosco，' E(tX«),) = J。M0, 其他，6 .设卬(/)"20是参数为/(<7>0)的维纳过程，令X(f) = W(；),则相关2函数&

4、amp; (L2) = ?. 乙7 .设齐次马氏链的状态空间为E = 1,2,3,一步转移概率为0.5 0.5 0、P= 0.5 0.5 0 、0.2 0.3 0.5;则(1)吧 P*=; (2) £；？=. 1/2,2"f3c/r-()二.概率题（共30分）l(io分)设(x,y)的概率密度为/(%>)=令U = x2+y2,v = y, (1)求(UV)的概率密度g(4,y)； (2)求U的边缘概率密度(%(),解解.解方程” =丁 +，得=±% -此必-I V = >y = V,-U11V所以雅可比行列式/ = -+2x/77=± J：

5、、01故g(j) = /(x，y)l2乃/7«2-v2 5 一 5 分0,其他.(2)对，0,8U 1_ :guM= g(,u)du='-2a" -=dvJ yJ - 271b Vw -v2= qj7=小，= ：J,2 冗bJ - J/ _ .22b -11故 gu() = < 分""'11 > 0，10 分0, 其他2 . (10分)设(UW)的概率密度g(/)= <e , u-v> 0,v > 0,0, 其他，(1)求£(心刈IU = 10),其中/心)Q) = <1, 6yeV>l

6、,0,其他,(2) D(VU).解U的边缘概率密度为gu()=所以条件概率密度gvit/(vlw) =L"0,du, u > 0, 其他,u >0, 。，其他,R(，U), 0< V<W,;=If4分0, 其他.(1)E(ZV>I) 1 = 10) = P(V>11 = 10) = J：g 改(vl/ = 10)Jv = J：；小=；.1V/乙7分/r r2(2)因为°(VIU=)=上，所以Q(VIU) = 。101212分3 .(10分)设天/2,X”独立同分布，均服从两点分布，即Px, = O) = /APx, = I=1-/A(O&

7、lt;/7<I),令y = x+x?+x“，(D 求y的 特征函数；(2)求征尸).解：(1)因为y服从二项分布8(国)，所以y的特征函数") = (p + qe")”5 分(2) E(Y3) = E(Xi+X2+-+XJ=£砧：+ £ E(X；Xj) +£ E(XKjXQ1-1.互不相等=nq + n(n - l)q + n(n 1)( - 2)cf10分三.随机过程题(共40分)1. (10分)设为«)(/之0)是参数为>0)的泊松过程，即满足: X,(O) = O;(2) X为独立增量过程；,攵=0,1，.对VsjN

8、O,有 PX(s + /) X(s) = Z =兀(d0)也是参数为>0)的泊松过程，且与毛 独立，令 y(/)= x1(0+x2(0,(1)求必和国($")； (2)求尸y= 1.解：因为丫=”,)+工是参数为”的泊松过程， 所以(1 ) y/r (/) = 22, Ry(5, t) = 2A min5, / + 4A2st5 分(2 )尸y(i)= i=2k”io分2 .(10分)设X(f),YOVfVoo是平稳过程,/(是其谱密度函数，(1) 证明：对于任意的人>o, y(r)=x(f+»-x是平稳过程;(2)求y«)的谱 密度.解(1) Ey(

9、r) = E X (r+/?) - X (r) = / - 7/ = 0,EY(t + r)y(r) = EX(t + r+h)-X(t + r)X(t+h)-X (t)=2Hx (7) - & + r)- Rx (r - h)与无关,贝!I r（t）=x（t+h） -x（t）是平稳过程。e-iAr2Rx (r) - Rx (h + r)-& h)dr=2/(2)(l-cosh 2) .3 .（10分）设齐次马氏链X/NO的状态空间为E = 0,2, 一步转移概率矩阵为1/2 1/4 1/41/2 0 1/21/2 1/2 0初始分布为 口 X。= 0 = P X。= 1 =

10、P X。= 2=：,求(1)尸%=1,、2=1,*4=2和 PX1=LX2 = 1,X4=21Xo=O;(2) X2的分布律.-1/2 1/4 1/4-解(1) P? = 1/2 3/8 1/81/2 1/8 3/8_P X = 1，X? = 1,鸠=2 = Z / X。=讣斓斓竭=0 rP X =1,X2= 1, X4= 2IX0=O=外必p$2) = o1/21/41/41/23/81/81/21/83/8111(2) = (0)尸=J10分4. (10分)齐次马氏链X,0的状态空间为1,2,3, 一步转移概率P =20J20000000020200000012020000000000I0000000444400000000001323000000000323000000000323000000000323确定该链的空间分解，状态分类，各状态的周期，并求平稳分布.解.(D链可分,1,43是不可分闭集,状态空间七=1,45352,5,6,7,2分(2)周期4分